🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Permütasyon ve kombinasyon Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Permütasyon ve kombinasyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
5 farklı renkteki boya kaleminden 3 tanesi kullanılarak kaç farklı şekilde bir sıralama yapılabilir? Bu, permütasyon kavramının temelini anlamak için harika bir başlangıç! 🎨
Çözüm:
Bu soruda, 5 farklı renkten 3'ünü seçip sıralayacağız. Bu, P(n, k) formülü ile bulunur, burada n toplam eleman sayısı ve k seçilip sıralanacak eleman sayısıdır.
- Adım 1: Formülü belirleyelim. Permütasyon formülü şöyledir: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \).
- Adım 2: Verilen değerleri yerine koyalım. Burada \( n=5 \) (toplam boya kalemi sayısı) ve \( k=3 \) (kullanılacak boya kalemi sayısı).
- Adım 3: Hesaplamayı yapalım. \( P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} \).
- Adım 4: Faktöriyelleri açalım. \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) ve \( 2! = 2 \times 1 \).
- Adım 5: Sonucu bulalım. \( P(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \).
Örnek 2:
Bir sınıfta 12 öğrenci bulunmaktadır. Bu öğrencilerden 3 tanesi seçilerek bir komite oluşturulacaktır. Bu komite kaç farklı şekilde oluşturulabilir? Bu soruda kombinasyon mantığını kullanacağız, çünkü seçilen kişilerin sırası önemli değil. 🧑🤝🧑
Çözüm:
Bu soruda, 12 öğrenciden 3'ünü seçmemiz gerekiyor ve seçilen öğrencilerin sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanacağız. Kombinasyon formülü C(n, k) = \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) şeklindedir.
- Adım 1: Formülü belirleyelim. Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
- Adım 2: Verilen değerleri formüle yerleştirelim. Burada \( n=12 \) (toplam öğrenci sayısı) ve \( k=3 \) (komiteye seçilecek öğrenci sayısı).
- Adım 3: Hesaplamayı yapalım. \( C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} \).
- Adım 4: Faktöriyelleri sadeleştirerek hesaplayalım. \( C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{3 \times 2 \times 1 \times 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} \).
- Adım 5: Sonucu bulalım. \( C(12, 3) = \frac{1320}{6} = 220 \).
Örnek 3:
Bir restoranda 4 çeşit ana yemek, 3 çeşit salata ve 2 çeşit tatlı bulunmaktadır. Bir kişi bu menüden bir ana yemek, bir salata ve bir tatlı seçerek kaç farklı öğün oluşturabilir? Bu, sayma prensibinin günlük hayattaki bir uygulamasıdır. 🍽️
Çözüm:
Bu tür sorularda, her bir seçim için mevcut seçenek sayısını çarparak toplam farklı öğün sayısını buluruz. Bu, temel sayma prensibidir.
- Adım 1: Ana yemek seçeneklerini belirleyelim. 4 farklı ana yemek seçeneği var.
- Adım 2: Salata seçeneklerini belirleyelim. 3 farklı salata seçeneği var.
- Adım 3: Tatlı seçeneklerini belirleyelim. 2 farklı tatlı seçeneği var.
- Adım 4: Toplam farklı öğün sayısını bulmak için bu seçenekleri çarpalım.
- Adım 5: Hesaplamayı yapalım: \( 4 \times 3 \times 2 = 24 \).
Örnek 4:
"MATEMATİK" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir? Bu soruda tekrarlı permütasyon kavramını kullanacağız. ✍️
Çözüm:
"MATEMATİK" kelimesinde toplam 9 harf bulunmaktadır. Ancak bazı harfler tekrarlıdır. Tekrarlı permütasyon formülü, toplam eleman sayısının faktöriyelinin, tekrar eden elemanların sayılarının faktöriyellerine bölünmesiyle bulunur.
- Adım 1: Kelimedeki toplam harf sayısını sayalım: 9 harf.
- Adım 2: Tekrar eden harfleri belirleyelim:
- 'M' harfi 2 kez tekrarlanıyor.
- 'A' harfi 2 kez tekrarlanıyor.
- 'T' harfi 2 kez tekrarlanıyor.
- Adım 3: Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayalım: \( \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!} \), burada \( n \) toplam harf sayısı ve \( n_i \) tekrar eden harflerin sayısıdır.
- Adım 4: Değerleri yerine koyarak hesaplayalım: \( \frac{9!}{2! \times 2! \times 2!} \).
- Adım 5: Faktöriyelleri açıp sadeleştirelim: \( \frac{362880}{2 \times 2 \times 2} = \frac{362880}{8} = 45360 \).
Örnek 5:
4 kişilik bir öğrenci grubundan 2 kişi, yan yana duracak şekilde kaç farklı şekilde seçilip dizilebilir? Bu, permütasyon sorusudur çünkü seçilen kişilerin sırası önemlidir. 🧍🧍
Çözüm:
Bu soruda, 4 kişiden 2'sini seçip yan yana dizeceğiz. Sıra önemli olduğu için permütasyon kullanacağız. Permütasyon formülü \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \) şeklindedir.
- Adım 1: Formülü belirleyelim: \( P(n, k) \).
- Adım 2: Değerleri yerine koyalım: \( n=4 \) (toplam öğrenci sayısı) ve \( k=2 \) (seçilip dizilecek öğrenci sayısı).
- Adım 3: Hesaplamayı yapalım: \( P(4, 2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} \).
- Adım 4: Faktöriyelleri açıp sadeleştirelim: \( \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 4 \times 3 = 12 \).
Örnek 6:
Bir kitaplıkta bulunan 7 farklı kitaptan 4 tanesi kaç farklı şekilde seçilebilir? Burada seçilen kitapların sırası önemli olmadığından kombinasyon kullanacağız. 📚
Çözüm:
Bu soruda, 7 farklı kitaptan 4 tanesini seçeceğiz. Seçilen kitapların sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanmamız gerekiyor. Kombinasyon formülü \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) şeklindedir.
- Adım 1: Kombinasyon formülünü hatırlayalım: \( C(n, k) \).
- Adım 2: Verilen değerleri formüle yerleştirelim: \( n=7 \) (toplam kitap sayısı) ve \( k=4 \) (seçilecek kitap sayısı).
- Adım 3: Hesaplamayı yapalım: \( C(7, 4) = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} \).
- Adım 4: Faktöriyelleri açıp sadeleştirelim: \( C(7, 4) = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \).
- Adım 5: Sonucu bulalım: \( C(7, 4) = \frac{210}{6} = 35 \).
Örnek 7:
Bir spor mağazasında bulunan 5 farklı tişört ve 4 farklı pantolondan birer tane alarak kaç farklı kombin oluşturulabilir? Bu da sayma prensibinin pratik bir kullanımıdır. 👕👖
Çözüm:
Bu soruda, birbirinden bağımsız iki seçim yapacağız: bir tişört seçimi ve bir pantolon seçimi. Bu iki seçeneğin toplam kombinasyonunu bulmak için sayma prensibini kullanacağız.
- Adım 1: Tişört seçeneklerini belirleyelim. Mağazada 5 farklı tişört var.
- Adım 2: Pantolon seçeneklerini belirleyelim. Mağazada 4 farklı pantolon var.
- Adım 3: Toplam farklı kombin sayısını bulmak için seçenek sayılarını çarpalım.
- Adım 4: Hesaplamayı yapalım: \( 5 \times 4 = 20 \).
Örnek 8:
Bir banka şubesine 5 müşteri gelmiştir. Bu 5 müşterinin, gişe görevlisi tarafından kaç farklı sırada hizmet alabileceği hesaplanacaktır. Bu, permütasyon ile çözülen bir sıralama problemidir. 🏦
Çözüm:
Bu soruda, 5 farklı müşterinin kaç farklı sırada hizmet alabileceğini bulmamız gerekiyor. Müşterilerin sırası önemli olduğu için bu bir permütasyon problemidir.
- Adım 1: Sorunun permütasyon olduğunu anlayalım çünkü hizmet alma sırası önemlidir.
- Adım 2: Toplam müşteri sayımız \( n=5 \) ve hizmet alacak sıra sayısı da \( k=5 \) (çünkü herkes sıraya girecek).
- Adım 3: Permütasyon formülünü uygulayalım: \( P(n, k) = n! \). Bu durumda \( P(5, 5) = 5! \).
- Adım 4: Faktöriyeli hesaplayalım: \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-permutasyon-ve-kombinasyon/sorular