💡 10. Sınıf Matematik: Permutasyon ve faktoriyal Çözümlü Örnekler

Bu problemde hem seçim yapma hem de dizme işlemi olduğu için permutasyon kullanırız. 5 farklı renkten 3 tanesini seçip sıralayacağımız için \( P(5,3) \) şeklinde gösterilir.

• Adım 1: Permutasyon formülünü hatırlayalım: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \).
• Adım 2: Burada \( n=5 \) (toplam tişört sayısı) ve \( k=3 \) (dizilecek tişört sayısı).
• Adım 3: Formülde yerine koyalım: \( P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} \).
• Adım 4: Faktöriyelleri açalım: \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) ve \( 2! = 2 \times 1 \).
• Adım 5: Hesaplamayı yapalım: \( \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \).

Sonuç olarak, 5 farklı renkteki tişörtten 3 tanesi yan yana 60 farklı şekilde dizilebilir. 💡

Faktöriyel, bir sayma sayısının kendisinden 1'e kadar olan tüm pozitif tam sayılarla çarpımını ifade eder.

• Adım 1: 4! demek, 4'ten başlayıp 1'e kadar olan sayıların çarpımı demektir.
• Adım 2: Yani, \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 \).
• Adım 3: Çarpma işlemini yapalım: \( 4 \times 3 = 12 \), \( 12 \times 2 = 24 \), \( 24 \times 1 = 24 \).

Bu nedenle, 4! değeri 24'tür. ✅

Bu tür sorularda, kelimedeki harf sayısına bakarak permutasyon kullanırız. Eğer kelimedeki harfler farklıysa, harf sayısı kadar faktöriyel alınır.

• Adım 1: "ANKARA" kelimesi 6 harflidir.
• Adım 2: Bu 6 harfin tamamı birbirinden farklıdır.
• Adım 3: Bu durumda, 6 harfin tüm farklı dizilişlerinin sayısı \( 6! \) ile bulunur.
• Adım 4: \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \).
• Adım 5: Hesaplamayı yapalım: \( 6 \times 5 = 30 \), \( 30 \times 4 = 120 \), \( 120 \times 3 = 360 \), \( 360 \times 2 = 720 \), \( 720 \times 1 = 720 \).

Yani, "ANKARA" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 720 farklı kelime yazılabilir. 💯

Bu problemde hem seçim hem de seçilen kişilerin görevlerinin farklı olması (başkan ve başkan yardımcısı) söz konusudur. Bu nedenle sıralı seçim yani permutasyon kullanırız.

• Adım 1: Toplam kişi sayısı \( n=7 \).
• Adım 2: Seçilecek pozisyon sayısı \( k=2 \) (başkan ve başkan yardımcısı).
• Adım 3: Seçim sıralı olduğu için \( P(n, k) \) formülünü kullanırız: \( P(7,2) = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} \).
• Adım 4: Hesaplamayı yapalım: \( \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \).
• Adım 5: Sadeleştirme yaparak: \( 7 \times 6 = 42 \).

Dolayısıyla, bir başkan ve bir başkan yardımcısı 42 farklı şekilde seçilebilir. 👉

Bu soruda, öğrenci 10 sorudan 7 tanesini seçecektir. Hangi soruları cevaplayacağının sırasının önemli olmaması, kombinasyon konusuna işaret eder. Ancak 10. sınıf müfredatında henüz kombinasyon konusu işlenmediği için, bu soruyu permütasyon mantığıyla açıklayabiliriz ancak sonucun kombinasyon olduğunu belirtmek önemlidir. (Not: Bu soru, 10. sınıf müfredatı için biraz ileri düzeydedir, ancak permütasyonun mantığını pekiştirmek için kullanılabilir.)

• Adım 1: Öğrenci 10 sorudan 7 tanesini seçecek. Eğer soruların sırası önemli olsaydı, bu bir permutasyon sorusu olurdu: \( P(10,7) \).
• Adım 2: Ancak soruda "hangi soruları cevaplayacağına karar verebilir" deniyor ve sıranın önemli olmadığı belirtiliyor. Bu, aslında kombinasyon problemidir. Kombinasyon formülü \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) şeklindedir.
• Adım 3: Bu soruyu permütasyon mantığıyla düşünürsek, önce 7 soruyu seçip sıraladığını varsayabiliriz: \( P(10,7) = \frac{10!}{(10-7)!} = \frac{10!}{3!} \).
• Adım 4: Sonra bu 7 sorunun kendi içindeki sıralamalarını (ki bunlar önemsizdir) bölerek kombinasyon sonucunu bulabiliriz. 7 sorunun kendi içindeki sıralaması \( 7! \) olur.
• Adım 5: Dolayısıyla, \( C(10,7) = \frac{P(10,7)}{7!} = \frac{10! / 3!}{7!} = \frac{10!}{7!3!} \).
• Adım 6: Hesaplayalım: \( C(10,7) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120 \).

Öğrenci, hangi 7 soruyu cevaplayacağına 120 farklı şekilde karar verebilir. 📌

Bu durum, belirli sayıda nesnenin tamamının sıralanması problemidir ve faktöriyel ile çözülür.

• Adım 1: Kütüphanede 6 farklı roman bulunmaktadır.
• Adım 2: Bu 6 romanın tamamı rafta yan yana dizilecektir.
• Adım 3: Bu dizilişlerin sayısı, 6'nın faktöriyeli (\( 6! \)) ile bulunur.
• Adım 4: \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \).
• Adım 5: Hesaplamayı yapalım: \( 6 \times 5 = 30 \), \( 30 \times 4 = 120 \), \( 120 \times 3 = 360 \), \( 360 \times 2 = 720 \), \( 720 \times 1 = 720 \).

Öğrenci, 6 farklı romanı rafta 720 farklı şekilde dizebilir. ✨

Bu soruda, belirli bir özellikteki (sadece erkek) nesnelerden bir alt küme seçimi söz konusudur ve sıra önemli değildir. Bu nedenle kombinasyon kullanılır. 10. sınıf müfredatında kombinasyon henüz işlenmediği için, bu soruyu permütasyon mantığıyla açıklayıp, kombinasyonun temel fikrini verebiliriz.

• Adım 1: Toplamda 5 erkek öğrenci var.
• Adım 2: Bu 5 erkek öğrenciden 3 tanesi seçilecektir.
• Adım 3: Soruda "seçilebilir" ifadesi ve sıra önemli olmadığı belirtildiği için bu bir kombinasyon problemidir. Kombinasyon formülü \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) şeklindedir.
• Adım 4: Burada \( n=5 \) (erkek öğrenci sayısı) ve \( k=3 \) (seçilecek öğrenci sayısı).
• Adım 5: Formülü uygulayalım: \( C(5,3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} \).
• Adım 6: Hesaplayalım: \( C(5,3) = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10 \).

Sadece erkek öğrencilerden oluşan 3 kişilik bir grup 10 farklı şekilde seçilebilir. 🌟

Bu işlem, faktöriyel kavramının anlaşılmasını ve sadeleştirme becerisini ölçmektedir.

• Adım 1: Faktöriyelleri açalım: \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) ve \( 3! = 3 \times 2 \times 1 \).
• Adım 2: İşlemi yazalım: \( \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} \).
• Adım 3: Ortak olan \( 3 \times 2 \times 1 \) terimlerini sadeleştirelim.
• Adım 4: Geriye kalan çarpma işlemini yapalım: \( 6 \times 5 \times 4 = 30 \times 4 = 120 \).

Bu nedenle, \( \frac{6!}{3!} \) işleminin sonucu 120'dir. 👍

Bu problem, gruplama ve sıralama prensiplerini bir arada kullanır.

• Adım 1: Önce her dersin kitaplarını bir grup olarak düşünelim. Yani 3 grup var: Matematik (M), Fizik (F), Kimya (K).
• Adım 2: Bu 3 grubu kendi aralarında sıralayabiliriz. 3 grubun sıralanması \( 3! \) farklı şekilde olur. \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \).
• Adım 3: Şimdi her grubun içindeki kitapların kendi aralarındaki sıralamalarına bakalım.
• Adım 4: Matematik kitapları (4 tane) kendi içinde \( 4! \) farklı şekilde sıralanabilir. \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \).
• Adım 5: Fizik kitapları (3 tane) kendi içinde \( 3! \) farklı şekilde sıralanabilir. \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \).
• Adım 6: Kimya kitapları (2 tane) kendi içinde \( 2! \) farklı şekilde sıralanabilir. \( 2! = 2 \times 1 = 2 \).
• Adım 7: Toplam farklı diziliş sayısını bulmak için tüm bu sıralamaları çarparız: (Grup sıralaması) \( \times \) (Matematik sıralaması) \( \times \) (Fizik sıralaması) \( \times \) (Kimya sıralaması).
• Adım 8: \( 3! \times 4! \times 3! \times 2! = 6 \times 24 \times 6 \times 2 \).
• Adım 9: Hesaplamayı yapalım: \( 6 \times 24 = 144 \), \( 144 \times 6 = 864 \), \( 864 \times 2 = 1728 \).

Bu kitaplar, aynı derse ait olanlar bir arada olmak koşuluyla 1728 farklı şekilde dizilebilir. 🗄️