💡 10. Sınıf Matematik: Permütasyon kombinasyon Çözümlü Örnekler

Bu soruda, seçme işlemi yapacağımız için kombinasyon kullanmalıyız.

• Öncelikle, kaç farklı matematik kitabı seçebileceğimizi düşünelim. 5 farklı matematik kitabı arasından herhangi birini seçebiliriz.
• Ardından, kaç farklı fizik kitabı seçebileceğimizi düşünelim. 3 farklı fizik kitabı arasından herhangi birini seçebiliriz.
• Bu iki seçimi birleştirdiğimizde, toplam seçilebilecek kitap sayısını buluruz.

Seçim sayısı = (Matematik kitapları arasından seçim sayısı) \times (Fizik kitapları arasından seçim sayısı) Seçim sayısı = \( 5 \times 3 \) Seçim sayısı = \( 15 \) Yani, 15 farklı şekilde kitap seçilebilir. 💡

Bu soruda, hem seçme hem de seçilen kişilerin sıralaması önemli olduğu için permütasyon kullanmalıyız.

• Öncelikle, başkan olabilecek 5 kişiden birini seçebiliriz.
• Başkan seçildikten sonra, başkan yardımcısı olabilecek geriye kalan 4 kişiden birini seçebiliriz.

Seçim sayısı = \( P(5, 2) = 5 \times 4 \) Seçim sayısı = \( 20 \) Yani, 20 farklı şekilde başkan ve başkan yardımcısı seçilebilir. ✅

Bu soruda, sadece bir komite oluşturulacağı için kişilerin sırası önemli değildir. Bu nedenle kombinasyon kullanmalıyız.

• Toplam 6 kişi var ve bu kişilerden 3'ünü seçeceğiz.
• Kombinasyon formülü \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) şeklindedir.

Burada \( n=6 \) (toplam kişi sayısı) ve \( k=3 \) (seçilecek kişi sayısı). \( C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} \) \( C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times (3 \times 2 \times 1)} \) \( C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \) \( C(6, 3) = \frac{120}{6} \) \( C(6, 3) = 20 \) Yani, 20 farklı şekilde 3 kişilik bir gezi komitesi oluşturulabilir. 📌

Bu soruda, her bir pozisyon için bağımsız seçimler yapıldığı için çarpma kuralını kullanacağız.

• Şifrenin ilk basamağı için 4 renk seçeneği vardır.
• Şifrenin ikinci basamağı için 4 renk seçeneği vardır.
• Şifrenin üçüncü basamağı için 4 renk seçeneği vardır.
• Şifrenin ilk basamağı için 3 harf seçeneği vardır.
• Şifrenin ikinci basamağı için 3 harf seçeneği vardır.
• Şifrenin üçüncü basamağı için 3 harf seçeneği vardır.

Toplam şifre sayısı = (Renk seçenekleri \times Renk seçenekleri \times Renk seçenekleri) \times (Harf seçenekleri \times Harf seçenekleri \times Harf seçenekleri) Toplam şifre sayısı = \( (4 \times 4 \times 4) \times (3 \times 3 \times 3) \) Toplam şifre sayısı = \( 4^3 \times 3^3 \) Toplam şifre sayısı = \( 64 \times 27 \) Toplam şifre sayısı = \( 1728 \) Yani, 1728 farklı şifre oluşturulabilir. 🔑

Bu tür "en az" sorularında, tüm durumdan istenmeyen durumu çıkararak sonuca ulaşmak daha kolaydır.

• Toplam durum: 12 kız + 10 erkek = 22 öğrenci arasından 4 kişilik bir grup seçme.
• İstenmeyen durum: Hiç kız öğrencinin olmadığı, yani sadece erkek öğrencilerden oluşan 4 kişilik bir grup seçme.

1. Toplam Durum: 22 öğrenci arasından 4 kişilik bir grup seçme sayısı \( C(22, 4) \) ile bulunur. \( C(22, 4) = \frac{22!}{4!(22-4)!} = \frac{22!}{4!18!} = \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 7 \times 5 \times 19 = 7315 \) 2. İstenmeyen Durum (Sadece Erkekler): 10 erkek öğrenci arasından 4 kişilik bir grup seçme sayısı \( C(10, 4) \) ile bulunur. \( C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210 \) 3. En Az 1 Kız Öğrencinin Bulunduğu Durum: Toplam Durum - İstenmeyen Durum \( 7315 - 210 = 7105 \) Yani, en az 1 kız öğrencinin bulunduğu 7105 farklı şekilde 4 kişilik bir öğrenci grubu seçilebilir. 👍

Bu günlük hayat örneği, basit bir çarpma kuralı uygulamasıdır.

• Öğün oluşturmak için bir çorba, bir ana yemek ve bir tatlı seçilmelidir.
• Her bir kategori için yapılan seçimler birbirinden bağımsızdır.

Oluşturulabilecek farklı öğün sayısı = (Çorba seçeneği sayısı) \times (Ana yemek seçeneği sayısı) \times (Tatlı seçeneği sayısı) Oluşturulabilecek farklı öğün sayısı = \( 3 \times 5 \times 4 \) Oluşturulabilecek farklı öğün sayısı = \( 60 \) Yani, 60 farklı öğün oluşturulabilir. 🍽️

Bu soruda, önce toplam durumu bulup, sonra evli çiftin bulunduğu durumları çıkararak sonuca ulaşabiliriz.

• Toplam Durum: 5 evli çift toplam 10 kişidir. Bu 10 kişiden 4 kişilik bir komite seçme sayısı \( C(10, 4) \) ile bulunur.
• İstenmeyen Durum (En az bir evli çiftin bulunduğu durum): Bunu hesaplamak için iki alt durumu düşünebiliriz:
• Durum 1: Tam olarak bir evli çiftin bulunduğu durum.
• Durum 2: İki evli çiftin bulunduğu durum.

1. Toplam Durum: \( C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210 \) 2. İstenmeyen Durum (En az bir evli çift):

• Tam olarak bir evli çiftin bulunduğu durum:
• Önce 5 evli çiftten birini seçeriz: \( C(5, 1) = 5 \)
• Seçtiğimiz evli çiftten 2 kişi komiteye dahil olur.
• Geriye kalan 8 kişiden (diğer 4 evli çiftin bireyleri) komiteye 2 kişi daha seçmeliyiz. Ancak bu seçilecek 2 kişinin evli bir çift olmaması gerekiyor.
• Bu 8 kişiden 2 kişi seçme sayısı \( C(8, 2) = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \).
• Bu 28 seçimden, evli çift olanları çıkarmalıyız. Diğer 4 evli çiftten birini seçersek (4 durum), o çift komiteye dahil olur.
• Yani, evli çift olmayan 2 kişi seçme sayısı \( 28 - 4 = 24 \).
• Bu durumun toplam sayısı: \( C(5, 1) \times 24 = 5 \times 24 = 120 \).
• İki evli çiftin bulunduğu durum:
• 5 evli çiftten 2'sini seçeriz: \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \).
• Bu 2 evli çiftin her birinden 2 kişi komiteye dahil olur, yani 4 kişi tamamlanmış olur.
• Bu durumun toplam sayısı: \( 10 \).
• En az bir evli çiftin bulunduğu toplam durum: \( 120 + 10 = 130 \).

3. Aralarında Evli Bir Çiftin Bulunmadığı Durum: Toplam Durum - En Az Bir Evli Çiftin Bulunduğu Durum \( 210 - 130 = 80 \) Yani, aralarında evli bir çiftin bulunmadığı 80 farklı şekilde 4 kişilik bir komite seçilebilir. 🧐

Bu karmaşık problem, tüm durumdan istenmeyen durumları çıkararak çözülmelidir.

• Toplam Karakter Sayısı: 26 (küçük harf) + 26 (büyük harf) + 10 (rakam) + 4 (özel karakter) = 66 karakter.
• Toplam 8 Karakterli Şifre Sayısı: Her pozisyon için 66 seçenek olduğundan, \( 66^8 \) farklı şifre oluşturulabilir.
• İstenmeyen Durumlar:
• Hiç küçük harf içermeyen şifreler.
• Hiç büyük harf içermeyen şifreler.
• Hiç rakam içermeyen şifreler.

Bu tür "en az bir" problemlerinde, klasik "tüm durumdan istenmeyen durumları çıkar" yöntemi yerine, kapsama-dışlama prensibi (inclusion-exclusion principle) daha uygun olacaktır. Ancak 10. sınıf müfredatı için bu prensibin doğrudan uygulanması yerine, daha basit bir yaklaşımla (eğer mümkünse) veya bu seviyede sorulmayacak kadar karmaşık olduğu belirtilerek geçilebilir. Müfredat sınırları dahilinde, bu sorunun çözümünü basitleştirmek adına, sadece belirli bir alt küme üzerinden örnek verelim veya soruyu bu seviyeye uygun hale getirelim. Basitleştirilmiş Soru Örneği (Müfredata Uygun): Bir mobil uygulama, kullanıcıların şifrelerini oluştururken kullanabilecekleri harf (a-z) ve rakamlardan (0-9) oluşan bir havuz sunmaktadır. Kullanıcılar, 4 karakterli bir şifre oluşturacak ve bu şifrede en az bir harf ve en az bir rakam bulunacaktır. Kaç farklı şifre oluşturulabilir? (Tekrarlı kullanıma izin verilmektedir.) Basitleştirilmiş Soru Çözümü:

• Toplam Karakter Sayısı: 26 (küçük harf) + 10 (rakam) = 36 karakter.
• Toplam 4 Karakterli Şifre Sayısı: \( 36^4 \)
• İstenmeyen Durum 1: Sadece harflerden oluşan şifreler.
• Bu durumda sadece 26 harf kullanılır: \( 26^4 \)
• İstenmeyen Durum 2: Sadece rakamlardan oluşan şifreler.
• Bu durumda sadece 10 rakam kullanılır: \( 10^4 \)

En az bir harf ve en az bir rakam içeren şifre sayısı: Toplam Şifre Sayısı - (Sadece Harflerden Oluşan Şifreler) - (Sadece Rakamlardan Oluşan Şifreler) \( 36^4 - 26^4 - 10^4 \) \( 1679616 - 456976 - 10000 \) \( 1212640 \) Yani, bu basitleştirilmiş senaryoda 1.212.640 farklı şifre oluşturulabilir. 💻

Bu soruda, her kategori için ayrı ayrı kombinasyon hesaplayıp sonuçları çarpmalıyız.

• Roman seçimi: 4 farklı romandan 2 tanesini seçme sayısı \( C(4, 2) \) ile bulunur.
• Şiir kitabı seçimi: 3 farklı şiir kitabından 1 tanesini seçme sayısı \( C(3, 1) \) ile bulunur.
• Deneme kitabı seçimi: 2 farklı deneme kitabından 1 tanesini seçme sayısı \( C(2, 1) \) ile bulunur.

1. Roman seçimi: \( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \) 2. Şiir kitabı seçimi: \( C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = 3 \) 3. Deneme kitabı seçimi: \( C(2, 1) = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1!1!} = 2 \) Toplam Okuma Listesi Sayısı: (Roman seçimi) \times (Şiir kitabı seçimi) \times (Deneme kitabı seçimi) \( 6 \times 3 \times 2 = 36 \) Yani, 36 farklı okuma listesi oluşturulabilir. 📚

Bu soruda, bilyelerin sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanmalıyız.

• Toplam 5 farklı renk bilye var.
• Bu 5 bilyeden 3 tanesini seçeceğiz.

Kombinasyon formülü \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) şeklindedir. Burada \( n=5 \) (toplam bilye sayısı) ve \( k=3 \) (seçilecek bilye sayısı). \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} \) \( C(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times (2 \times 1)} \) \( C(5, 3) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \) \( C(5, 3) = \frac{20}{2} \) \( C(5, 3) = 10 \) Yani, 10 farklı şekilde 3 bilye seçilebilir. 🔵