💡 10. Sınıf Matematik: Permütasyon, kombinasyon ve olasılık Çözümlü Örnekler

• Adım 1: Tüm olası durumları belirleyelim. Elimizde 5 farklı renkte bilye olduğu için toplam 5 olası durum vardır.
• Adım 2: İstenen durumu belirleyelim. Bizim istediğimiz durum, çekilen bilyenin mavi olmasıdır. Bu durumda sadece 1 istenen durum vardır.
• Adım 3: Olasılığı hesaplayalım. Olasılık, istenen durum sayısının tüm olası durum sayısına bölünmesiyle bulunur.

Olasılık = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}} \) = \( \frac{1}{5} \)
Cevap: Çekilen bilyenin mavi olma olasılığı \( \frac{1}{5} \)'tir. ✅

• Adım 1: Birinci mektup için kaç seçenek olduğunu düşünelim. Birinci mektup, 3 farklı posta kutusundan herhangi birine atılabilir. Yani 3 seçeneğimiz var.
• Adım 2: İkinci mektup için seçenekleri değerlendirelim. İkinci mektup da aynı şekilde 3 farklı posta kutusundan birine atılabilir.
• Adım 3: Üçüncü mektup için seçenekleri belirleyelim. Üçüncü mektup için de 3 seçeneğimiz bulunmaktadır.

Bu tür durumlarda, her bir mektup için olan seçenek sayılarını çarparak toplam farklı atılma sayısını buluruz. Bu, temel çarpma prensibidir.
Toplam Farklı Atılma Sayısı = \( 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27 \)
Cevap: 3 mektup, 3 farklı posta kutusuna 27 farklı şekilde atılabilir. ✌️

• Adım 1: Sınıftaki toplam öğrenci sayısını bulalım.

Toplam Öğrenci Sayısı = Erkek Öğrenci Sayısı + Kız Öğrenci Sayısı = \( 10 + 8 = 18 \)

• Adım 2: İstenen durumu (erkek öğrenci seçilmesi) belirleyelim.

Erkek Öğrenci Sayısı = 10

• Adım 3: Olasılığı hesaplayalım.

Erkek Olma Olasılığı = \( \frac{\text{Erkek Öğrenci Sayısı}}{\text{Toplam Öğrenci Sayısı}} \) = \( \frac{10}{18} \)
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem pay hem de payda 2'ye bölünebilir.
Erkek Olma Olasılığı = \( \frac{10 \div 2}{18 \div 2} = \frac{5}{9} \)
Cevap: Rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı \( \frac{5}{9} \)'dur. 💯

• Adım 1: Matematik kitapları arasından 1 kitap seçme yollarını bulalım. 4 farklı matematik kitabı olduğu için, 1 matematik kitabı seçmek için 4 farklı yol vardır. Bu, \( C(4,1) \) ile de gösterilebilir ve \( C(4,1) = 4 \) olur.
• Adım 2: Fizik kitapları arasından 1 kitap seçme yollarını bulalım. 3 farklı fizik kitabı olduğu için, 1 fizik kitabı seçmek için 3 farklı yol vardır. Bu, \( C(3,1) \) ile de gösterilebilir ve \( C(3,1) = 3 \) olur.
• Adım 3: Toplam farklı seçme sayısını bulmak için bu iki sayıyı çarpalım (Temel Çarpma Prensibi).

Toplam Farklı Seçim Sayısı = (Matematik Kitabı Seçim Sayısı) \( \times \) (Fizik Kitabı Seçim Sayısı)
Toplam Farklı Seçim Sayısı = \( 4 \times 3 = 12 \)
Cevap: 1 matematik kitabı ve 1 fizik kitabı 12 farklı şekilde seçilebilir. 👍

• Adım 1: Başkan seçimi için kaç aday olduğunu belirleyelim. Grupta 6 kişi olduğu için, başkan olmak için 6 farklı aday vardır.
• Adım 2: Başkan yardımcısı seçimi için kalan aday sayısını belirleyelim. Bir kişi başkan seçildikten sonra geriye 5 kişi kalır. Bu 5 kişiden biri başkan yardımcısı seçilecektir.
• Adım 3: Toplam farklı seçim sayısını bulmak için bu iki sayıyı çarpalım.

Bu durum, sıralamanın önemli olduğu bir permütasyon problemidir (örneğin, Ali'nin başkan, Veli'nin başkan yardımcısı olması ile Veli'nin başkan, Ali'nin başkan yardımcısı olması farklıdır). Bu, \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \) formülü ile de hesaplanabilir. Burada \( n=6 \) (toplam kişi sayısı) ve \( k=2 \) (seçilecek pozisyon sayısı).
Toplam Farklı Seçim Sayısı = \( 6 \times 5 = 30 \)
Alternatif olarak permütasyon formülüyle: \( P(6,2) = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 = 30 \)
Cevap: Bir başkan ve bir başkan yardımcısı 30 farklı şekilde seçilebilir. ✨

• Adım 1: Bir zar atıldığında elde edilebilecek tüm olası sonuçları listeleyelim.

Olası Sonuçlar = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Toplam 6 olası sonuç vardır.

• Adım 2: Bu sonuçlar arasından asal olanları belirleyelim. Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır.

Asal Sayılar = {2, 3, 5}. Bu durumda 3 tane asal sayı vardır. (Not: 1 asal sayı değildir.)

• Adım 3: Olasılığı hesaplayalım.

Asal Sayı Olma Olasılığı = \( \frac{\text{Asal Sayıların Adedi}}{\text{Toplam Olası Sonuç Sayısı}} \) = \( \frac{3}{6} \)
Bu kesri sadeleştirebiliriz.
Asal Sayı Olma Olasılığı = \( \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2} \)
Cevap: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı \( \frac{1}{2} \)'dir. 🌟

• Adım 1: Müşterinin kurabiye seçeneklerini belirleyelim. Pastanede 4 çeşit kurabiye bulunmaktadır.
• Adım 2: Müşterinin kek seçeneklerini belirleyelim. Pastanede 3 çeşit kek bulunmaktadır.
• Adım 3: Müşterinin yapabileceği toplam farklı seçim sayısını bulmak için kurabiye ve kek seçeneklerini çarpalım. Bu, farklı kategorilerden seçim yaparken kullanılan temel çarpma prensibidir.

Toplam Farklı Seçim Sayısı = (Kurabiye Çeşit Sayısı) \( \times \) (Kek Çeşit Sayısı)
Toplam Farklı Seçim Sayısı = \( 4 \times 3 = 12 \)
Cevap: Müşteri, 12 farklı şekilde bir kurabiye ve bir kek seçebilir. 😋

• Adım 1: "En az 2 kişilik" komite demek, 2 kişilik, 3 kişilik, 4 kişilik veya 5 kişilik komiteler anlamına gelir. Bu durumları ayrı ayrı hesaplayıp toplamamız gerekir.
• Adım 2: 2 kişilik komite seçme sayısını hesaplayalım. Bu bir kombinasyon problemidir çünkü komitede kimin seçildiği önemlidir, sıralama önemli değildir. \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) formülü kullanılır.

2 kişilik komite: \( C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)

• Adım 3: 3 kişilik komite seçme sayısını hesaplayalım.

3 kişilik komite: \( C(5,3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)

• Adım 4: 4 kişilik komite seçme sayısını hesaplayalım.

4 kişilik komite: \( C(5,4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5}{1} = 5 \)

• Adım 5: 5 kişilik komite seçme sayısını hesaplayalım.

5 kişilik komite: \( C(5,5) = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = 1 \) (0! = 1 kabul edilir)

• Adım 6: Tüm bu durumları toplayarak en az 2 kişilik komite seçme sayısını bulalım.

Toplam Seçim Sayısı = \( C(5,2) + C(5,3) + C(5,4) + C(5,5) = 10 + 10 + 5 + 1 = 26 \)
Alternatif Yöntem: Toplam komite sayısından (herhangi bir sayıda üye) 0 kişilik ve 1 kişilik komiteleri çıkarabiliriz.
Toplam olası komite sayısı (hiçbir kısıtlama olmadan): \( 2^5 = 32 \)
0 kişilik komite: \( C(5,0) = 1 \)
1 kişilik komite: \( C(5,1) = 5 \)
En az 2 kişilik komite = Toplam Komite Sayısı - (0 kişilik komite + 1 kişilik komite) = \( 32 - (1 + 5) = 32 - 6 = 26 \)
Cevap: En az 2 kişilik bir komite 26 farklı şekilde seçilebilir. 🚀