💡 10. Sınıf Matematik: Permütasyon kombinasyon olasılık Çözümlü Örnekler

Bu tür sıralama problemlerinde permütasyon kullanırız.
n farklı nesnenin n'li permütasyonu \( n! \) ile hesaplanır.
Burada 5 farklı topumuz var ve hepsini sıralayacağız.

• n = 5
• Sıralama sayısı = \( 5! \)
• \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)

Yani 5 top, 120 farklı şekilde sıralanabilir. ✅

Olasılık hesaplamalarında temel formül şudur:
Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Olası Durumlar Sayısı)

• Tüm öğrenci sayısı = 12 (kız) + 10 (erkek) = 22
• İstenen durum (erkek öğrenci seçmek) = 10
• Erkek öğrenci seçme olasılığı = \( \frac{10}{22} \)

Bu kesri sadeleştirebiliriz:
\( \frac{10}{22} = \frac{5}{11} \)
Dolayısıyla, seçilen öğrencinin erkek olma olasılığı \( \frac{5}{11} \)'dir. 💡

Bu soruda hem seçim yapıyoruz hem de seçilenlerin kendi içindeki sıralaması önemli (başkan ve başkan yardımcısı farklı rollerdir). Bu yüzden permütasyon kullanmalıyız.
n elemanlı bir kümenin r elemanlı permütasyonlarının sayısı \( P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \) formülüyle bulunur.

• Gruptaki kişi sayısı (n) = 6
• Seçilecek pozisyon sayısı (r) = 2 (başkan ve başkan yardımcısı)
• Seçim sayısı = \( P(6,2) = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} \)
• \( \frac{6!}{4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 = 30 \)

Yani 6 kişilik bir gruptan 30 farklı şekilde bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçilebilir. 👉

Bu soruda seçim yapıyoruz ve seçilen kitapların kendi içindeki sıralaması önemli değil. Bu yüzden kombinasyon kullanmalıyız.
n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonlarının sayısı \( C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) formülüyle bulunur.

• Matematik kitapları arasından 2 tane seçme: \( C(4,2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \)
• Fizik kitapları arasından 1 tane seçme: \( C(3,1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3}{1} = 3 \)

Bu iki seçimi birleştirmek için çarparız:
Toplam seçim sayısı = \( C(4,2) \times C(3,1) = 6 \times 3 = 18 \)
Yani 18 farklı şekilde bu kitaplar seçilebilir. 👍

Bu, iki bağımsız olayın olasılığının çarpımıdır.

• Zarın Durumu:
• Zarda olası sonuçlar: {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Toplam 6 durum)
• Tek sayılar: {1, 3, 5} (3 durum)
• Zarın tek sayı gelme olasılığı = \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
• Madeni Paranın Durumu:
• Madeni parada olası sonuçlar: {Yazı, Tura} (Toplam 2 durum)
• Tura gelme olasılığı = \( \frac{1}{2} \)

İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir:
Olasılık = (Zarın tek sayı gelme olasılığı) \( \times \) (Paranın tura gelme olasılığı)
Olasılık = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
Bu olayın gerçekleşme olasılığı \( \frac{1}{4} \)'tür. 💯

Bu, basit bir toplama kuralı problemidir. Müşteri ya elma seçebilir ya da portakal seçebilir.

• Seçenek 1: Elma seçmek. 3 farklı elma çeşidi var.
• Seçenek 2: Portakal seçmek. 2 farklı portakal çeşidi var.

Toplam seçenek sayısı = (Elma çeşitleri sayısı) + (Portakal çeşitleri sayısı)
Toplam seçenek sayısı = 3 + 2 = 5
Müşterinin seçebileceği 5 farklı meyve seçeneği vardır. 🛒

Bu tür "en az" sorularını çözmenin en kolay yolu, tüm olası komite sayısından "hiç doktorun olmadığı" komite sayısını çıkarmaktır.

• Toplam kişi sayısı: 5 doktor + 4 hemşire = 9 kişi
• Tüm 3 kişilik komiteler:
• 9 kişi arasından 3 kişilik komite seçimi (kombinasyon):
• \( C(9,3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84 \)
• Hiç doktorun olmadığı komiteler (sadece hemşirelerden oluşan):
• 4 hemşire arasından 3 kişilik komite seçimi:
• \( C(4,3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4 \)

Şimdi, tüm komitelerden hiç doktorun olmadığı komiteleri çıkaralım:
En az 1 doktorun olduğu komite sayısı = (Tüm komiteler) - (Sadece hemşirelerden oluşan komiteler)
En az 1 doktorun olduğu komite sayısı = 84 - 4 = 80
Bu komite 80 farklı şekilde oluşturulabilir. 🏥

Bu soruda "veya" bağlacı olduğu için, iki olayın olasılığını toplayacağız (çünkü bu olaylar ayrık olaylardır, yani aynı anda gerçekleşemezler).

• Toplam top sayısı: 3 (kırmızı) + 4 (mavi) + 2 (yeşil) = 9 top
• Kırmızı top çekme olasılığı:
• İstenen durum (kırmızı top): 3
• Tüm durumlar: 9
• P(Kırmızı) = \( \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
• Yeşil top çekme olasılığı:
• İstenen durum (yeşil top): 2
• Tüm durumlar: 9
• P(Yeşil) = \( \frac{2}{9} \)

Kırmızı veya yeşil top çekme olasılığı = P(Kırmızı) + P(Yeşil)
Olasılık = \( \frac{1}{3} + \frac{2}{9} \)
Kesirleri toplamak için paydaları eşitleyelim:
Olasılık = \( \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9} \)
Torbadan çekilen topun kırmızı veya yeşil olma olasılığı \( \frac{5}{9} \)'dur. 👍