📄 10. Sınıf Matematik: Permütasyon kombinasyon olasılık Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bu problemde hem başkan hem de başkan yardımcısı seçimi söz konusu olduğu için sıralama önemlidir. Yani bir permütasyon problemi vardır. Toplam öğrenci sayısı \(15 + 10 = 25\)'tir. 25 öğrenci arasından 2 kişi seçilip bu kişilere farklı görevler verilecektir. Bu durumda \(P(n,r)\) formülünü kullanırız.

\(P(25,2) = \frac{25!}{(25-2)!} = \frac{25!}{23!} = 25 \times 24 = 600\)

Dolayısıyla, 600 farklı şekilde başkan ve başkan yardımcısı seçimi yapılabilir.

💡 Çözüm Adımları:

Toplam bilye sayısı \(6 + 4 = 10\)'dur.

İki bilyenin de aynı renkte olması durumu iki farklı senaryoyu içerir: İkisi de sarı veya ikisi de kırmızı.



1. İkisinin de sarı olma olasılığı:

İlk bilyenin sarı olma olasılığı: \(P(\text{1. Sarı}) = \frac{6}{10}\)

İkinci bilyenin sarı olma olasılığı (ilk bilye sarı çekildikten sonra): \(P(\text{2. Sarı | 1. Sarı}) = \frac{5}{9}\)

İkisinin de sarı olma olasılığı: \(P(\text{Sarı ve Sarı}) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}\)



2. İkisinin de kırmızı olma olasılığı:

İlk bilyenin kırmızı olma olasılığı: \(P(\text{1. Kırmızı}) = \frac{4}{10}\)

İkinci bilyenin kırmızı olma olasılığı (ilk bilye kırmızı çekildikten sonra): \(P(\text{2. Kırmızı | 1. Kırmızı}) = \frac{3}{9}\)

İkisinin de kırmızı olma olasılığı: \(P(\text{Kırmızı ve Kırmızı}) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}\)



İki olayın da aynı renkte olma olasılığı, bu iki durumun olasılıklarının toplamıdır (çünkü bu durumlar ayrık olaylardır):

\(P(\text{Aynı Renk}) = P(\text{Sarı ve Sarı}) + P(\text{Kırmızı ve Kırmızı}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{15} = \frac{5}{15} + \frac{2}{15} = \frac{7}{15}\)



Alternatif olarak kombinasyon kullanarak:

Toplam durum sayısı: 10 bilyeden 2'sini seçmek \(C(10,2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45\)

İkisi de sarı olma durumu: 6 sarıdan 2'sini seçmek \(C(6,2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\)

İkisi de kırmızı olma durumu: 4 kırmızıdan 2'sini seçmek \(C(4,2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)

İstenen durum sayısı: \(15 + 6 = 21\)

Olasılık: \(\frac{21}{45} = \frac{7}{15}\)

💡 Çözüm Adımları:

Bu problemde, 8 öğrenci arasından 3 öğrencinin seçilmesi söz konusudur ve seçilen öğrencilerin sırası önemli değildir. Bu nedenle bir kombinasyon problemidir. \(C(n,r)\) formülünü kullanırız.

\(C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

Burada \(n=8\) (toplam öğrenci sayısı) ve \(r=3\) (seçilecek öğrenci sayısı) dir.

\(C(8,3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{(3 \times 2 \times 1) \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56\)

Dolayısıyla, 56 farklı şekilde takım oluşturulabilir.