💡 10. Sınıf Matematik: Pascal Çözümlü Örnekler

Pascal üçgeni, her sayının üstündeki iki sayının toplamı şeklinde oluşur. En dıştaki sayılar her zaman 1'dir.

• 0. Satır: 1
• 1. Satır: 1 1
• 2. Satır: 1 2 1
• 3. Satır: 1 3 3 1
• 4. Satır: 1 4 6 4 1
• 5. Satır: 1 5 10 10 5 1

Bu satırdaki sayılar, \( (a+b)^5 \) açılımının katsayılarıdır. ✅

Pascal üçgeninin n. satırındaki elemanların toplamı \( 2^n \) formülü ile bulunur.

• Burada n = 3'tür.
• Toplam = \( 2^3 \)
• Toplam = \( 2 \times 2 \times 2 \)
• Toplam = 8

Doğrulama: 3. satır: 1, 3, 3, 1. Toplamları: \( 1 + 3 + 3 + 1 = 8 \). 👉

Pascal üçgeninin 4. satırındaki katsayıları kullanacağız. 4. satır (0'dan başlayarak): 1, 4, 6, 4, 1.

• Açılım şu şekilde olacaktır: \( 1 \cdot x^4 y^0 + 4 \cdot x^3 y^1 + 6 \cdot x^2 y^2 + 4 \cdot x^1 y^3 + 1 \cdot x^0 y^4 \)
• Bu da şu şekilde sadeleşir: \( x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \)

Katsayılar Pascal üçgeninin 4. satırından gelmektedir. 📌

Öncelikle Pascal üçgeninin 3. satırını belirleyelim: 1, 3, 3, 1. İfade \( (2a + (-b))^3 \) şeklinde düşünülebilir.

• 1. terim: \( 1 \cdot (2a)^3 \cdot (-b)^0 = 1 \cdot 8a^3 \cdot 1 = 8a^3 \)
• 2. terim: \( 3 \cdot (2a)^2 \cdot (-b)^1 = 3 \cdot 4a^2 \cdot (-b) = -12a^2b \)
• 3. terim: \( 3 \cdot (2a)^1 \cdot (-b)^2 = 3 \cdot 2a \cdot b^2 = 6ab^2 \)
• 4. terim: \( 1 \cdot (2a)^0 \cdot (-b)^3 = 1 \cdot 1 \cdot (-b^3) = -b^3 \)

Bu terimleri toplarsak: \( 8a^3 - 12a^2b + 6ab^2 - b^3 \) olur. ✅

Bu problem, kombinasyon prensibi ile çözülür. "n'in r'li kombinasyonu" formülü \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) şeklinde ifade edilir. Burada:

• n = Toplam öğrenci sayısı = 5
• r = Seçilecek ekip üyesi sayısı = 3

Hesaplama:

• \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} \)
• \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} \)
• \( C(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} \)
• \( C(5, 3) = \frac{120}{(6)(2)} \)
• \( C(5, 3) = \frac{120}{12} \)
• \( C(5, 3) = 10 \)

Yani, 5 öğrenci arasından 3 kişilik bir ekip 10 farklı şekilde seçilebilir. 💡

Bir zarın üst yüzüne gelebilecek olası sonuçlar kümesi \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) şeklindedir. Toplamda 6 olası sonuç vardır. Tek sayılar kümesi ise \( \{1, 3, 5\} \) şeklindedir. Tek sayı gelme durumu 3'tür. Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Olası Durum Sayısı)

• İstenen Durum Sayısı = 3 (1, 3, 5)
• Tüm Olası Durum Sayısı = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6)
• Olasılık = \( \frac{3}{6} \)
• Olasılık = \( \frac{1}{2} \)

Yani, zar atıldığında üst yüze gelen sayının tek olma olasılığı \( \frac{1}{2} \)'dir. 👉

Bu tür problemler, çarpma prensibi ile çözülür. Eğer bir işlem için 'm' farklı yol ve bu işlemden sonra başka bir işlem için 'n' farklı yol varsa, bu iki işlemin birlikte yapılması için \( m \times n \) farklı yol vardır. Burada:

• Kek seçimi için farklı yol sayısı (m) = 3
• Kurabiye seçimi için farklı yol sayısı (n) = 4

Toplam farklı seçim sayısı = \( m \times n \)

• Toplam seçim = \( 3 \times 4 \)
• Toplam seçim = 12

Müşteri, 12 farklı şekilde bir kek ve bir kurabiye seçebilir. 💡

Bu, çarpma prensibinin bir başka günlük hayat uygulamasıdır.

• Tişört seçenekleri sayısı = 2
• Pantolon seçenekleri sayısı = 3

Yapılabilecek toplam kombin sayısı, tişört seçenekleri ile pantolon seçeneklerinin çarpımına eşittir.

• Toplam Kombin = \( 2 \times 3 \)
• Toplam Kombin = 6

Kişi, 6 farklı tişört-pantolon kombinasyonu yapabilir. ✅