💡 10. Sınıf Matematik: Pascal Ucgeni Çözümlü Örnekler

Pascal üçgeni, her sayının üstündeki iki sayının toplamı ile elde edildiği bir sayı dizisidir. Kenarlarda her zaman 1 bulunur.

• 0. Satır: 1
• 1. Satır: 1 1
• 2. Satır: 1 2 1
• 3. Satır: 1 3 3 1
• 4. Satır: 1 4 6 4 1
• 5. Satır: 1 5 10 10 5 1
• 6. Satır: 1 6 15 20 15 6 1

Bu satırlar, \( (a+b)^n \) şeklindeki ifadelerin açılımlarındaki katsayıları verir. 👉

Pascal üçgeninin 3. satırı (0. satırdan başlayarak) 1, 3, 3, 1'dir. Bu sayılar, \( (x+y)^3 \) ifadesinin açılımındaki katsayılardır.

• \( x^3 \) teriminin katsayısı: 1
• \( x^2y \) teriminin katsayısı: 3
• \( xy^2 \) teriminin katsayısı: 3
• \( y^3 \) teriminin katsayısı: 1

Dolayısıyla, \( (x+y)^3 = 1x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 1y^3 \) şeklinde açılır. 💡

Öncelikle Pascal üçgeninin 4. satırını bulalım (0. satırdan başlayarak): 1, 4, 6, 4, 1. Bu katsayıları \( (a-b)^4 \) açılımında kullanacağız. Terimler sırasıyla \( a^4, a^3b, a^2b^2, ab^3, b^4 \) şeklinde ilerler. Katsayılar pozitif ve negatif olarak işaretlenir: \( +1, -4, +6, -4, +1 \).

• \( a^4 \) terimi: \( +1 \cdot a^4 \)
• \( a^3b \) terimi: \( -4 \cdot a^3b \)
• \( a^2b^2 \) terimi: \( +6 \cdot a^2b^2 \)
• \( ab^3 \) terimi: \( -4 \cdot ab^3 \)
• \( b^4 \) terimi: \( +1 \cdot b^4 \)

Bu nedenle, \( (a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 \) olur. ✨

Pascal üçgeninin n. satırındaki elemanların toplamı \( 2^n \) formülü ile bulunur. Burada n = 7'dir.

• 7. satırın elemanları: \( \binom{7}{0}, \binom{7}{1}, \binom{7}{2}, \binom{7}{3}, \binom{7}{4}, \binom{7}{5}, \binom{7}{6}, \binom{7}{7} \)
• Bu elemanların toplamı: \( \sum_{k=0}^{7} \binom{7}{k} \)

Bu toplam \( 2^7 \) eşittir. \( 2^7 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 128 \). Dolayısıyla, Pascal üçgeninin 7. satırındaki elemanların toplamı 128'dir. 💯

Pascal üçgeninin 3. satırı 1, 3, 3, 1'dir. Bu katsayılar \( (a+b)^3 \) açılımında kullanılır. Genel açılım \( (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3 \) şeklindedir. Bizim ifademizde \( a = 2x \) ve \( b = 3y \)'dir. \( x^2y \) terimini elde etmek için açılımdaki \( a^2b \) terimini kullanmalıyız.

• \( a^2b \) terimi: \( 3a^2b = 3(2x)^2(3y) \)
• Bu terimi hesaplayalım: \( 3 \cdot (4x^2) \cdot (3y) \)
• Katsayıları çarpalım: \( 3 \times 4 \times 3 = 36 \)
• Değişkenleri birleştirelim: \( x^2y \)

Bu nedenle, \( x^2y \) teriminin katsayısı 36'dır. 🚀

Öğrencinin bulduğu katsayılar Pascal üçgeninin 5. satırına (0. satırdan başlayarak) karşılık gelir: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Öğrenci, \( (x+1)^5 \) açılımında \( a=x \) ve \( b=1 \) almalıdır.

• Öğrencinin Hatalı Açılımı: Öğrenci, \( b=1 \) yerine \( b \)'nin kuvvetlerini \( x^0, x^1, x^2, ... \) şeklinde yanlış yazmıştır. Bu nedenle hatalı açılımı şöyle olur: \( 1x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x^1 + 1x^0 \). Bu aslında \( (x+1)^5 \) değil, \( (x+x)^5 \) gibi bir açılıma benzemektedir.
• Doğru Açılım: \( (x+1)^5 \) ifadesinde \( a=x \) ve \( b=1 \) alınır.
• \( \binom{5}{0} x^5 1^0 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 = x^5 \)
• \( \binom{5}{1} x^4 1^1 = 5 \cdot x^4 \cdot 1 = 5x^4 \)
• \( \binom{5}{2} x^3 1^2 = 10 \cdot x^3 \cdot 1 = 10x^3 \)
• \( \binom{5}{3} x^2 1^3 = 10 \cdot x^2 \cdot 1 = 10x^2 \)
• \( \binom{5}{4} x^1 1^4 = 5 \cdot x \cdot 1 = 5x \)
• \( \binom{5}{5} x^0 1^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)
Dolayısıyla doğru açılım: \( x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1 \) olur. ✅

Verilen katsayılar \( 1, 4, 6, 4, 1 \) Pascal üçgeninin 4. satırına (0. satırdan başlayarak) karşılık gelir. Bu, \( (a+b)^4 \) şeklindeki bir ifadenin açılımındaki katsayılardır. Formül \( h(t) = 1 \cdot t^4 + 4 \cdot t^3 + 6 \cdot t^2 + 4 \cdot t + 1 \) olarak verilmiş. Burada \( a=t \) ve \( b=1 \) alınırsa, \( (t+1)^4 \) ifadesinin açılımı \( 1t^4 + 4t^3(1)^1 + 6t^2(1)^2 + 4t^1(1)^3 + 1(1)^4 \) olur. Bu da \( t^4 + 4t^3 + 6t^2 + 4t + 1 \) sonucunu verir. Dolayısıyla, evet, bu durum Pascal üçgeninin 4. satırı ile ilişkilidir ve bu formül \( (t+1)^4 \) ifadesinin açılımıdır. 💡

Pascal üçgeninin 6. satırındaki katsayılar \( \binom{6}{k} \) şeklindedir. \( (x-y)^6 \) açılımında baştan n. terim \( \binom{6}{n-1} x^{6-(n-1)} (-y)^{n-1} \) formülüyle bulunur. Biz baştan 4. terimi arıyoruz, yani \( n=4 \).

• Terim numarası \( n=4 \).
• Kombinasyon: \( \binom{6}{4-1} = \binom{6}{3} \)
• \( \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \)
• Kuvvetler: \( x^{6-(4-1)} = x^{6-3} = x^3 \) ve \( (-y)^{4-1} = (-y)^3 = -y^3 \)
• Terim: \( 20 \cdot x^3 \cdot (-y^3) = -20x^3y^3 \)

Baştan 4. terimin katsayısı -20'dir. 📌

Pascal üçgeninin 4. satırı 1, 4, 6, 4, 1'dir. \( (a+b)^4 \) açılımı \( 1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b^4 \) şeklindedir. Bizim ifademizde \( a \) yerine \( 3a \) ve \( b \) yerine \( 2b \) gelmektedir. \( a^2b^2 \) terimini elde etmek için açılımdaki \( 6a^2b^2 \) terimini kullanacağız.

• \( 6a^2b^2 \) terimini kendi değişkenlerimizle yerine koyalım: \( 6(3a)^2(2b)^2 \)
• Kuvvetleri hesaplayalım: \( 6 \cdot (9a^2) \cdot (4b^2) \)
• Katsayıları çarpalım: \( 6 \times 9 \times 4 = 54 \times 4 = 216 \)
• Değişkenleri birleştirelim: \( a^2b^2 \)

Bu nedenle, \( a^2b^2 \) teriminin katsayısı 216'dır. 🏆