💡 10. Sınıf Matematik: Parabol Çözümlü Örnekler

💡 Bir parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için x ve y yerine sıfır yazma yöntemini kullanırız.

• 👉 y-eksenini kestiği nokta:
  y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) yazılır.
  \[ f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3 \]
  Yani parabol y-eksenini (0, 3) noktasında keser.
• 👉 x-eksenini kestiği noktalar:
  x-eksenini kestiği noktaları bulmak için \( f(x) = 0 \) (yani \( y = 0 \)) denklemi çözülür.
  \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım:
  \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \]
  Buradan \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) ve \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \) bulunur.
  Yani parabol x-eksenini (1, 0) ve (3, 0) noktalarında keser.

📌 Bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) ile gösterilir ve \( r = -\frac{b}{2a} \) ile \( k = f(r) \) formülleriyle bulunur.

• 👉 r değerini bulma:
  Verilen fonksiyonda \( a = 1 \), \( b = 6 \) ve \( c = 5 \).
  Tepe noktasının x-koordinatı \( r \)'yi bulalım:
  \[ r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(1)} = -\frac{6}{2} = -3 \]
• 👉 k değerini bulma:
  Tepe noktasının y-koordinatı \( k \)'yi bulmak için \( x = r = -3 \) değerini fonksiyonda yerine yazarız:
  \[ k = f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 5 \]
  \[ k = 9 - 18 + 5 \]
  \[ k = -9 + 5 \]
  \[ k = -4 \]

💡 Parabolün kollarının yönü, \( x^2 \) teriminin katsayısı olan \( a \) değerine bağlıdır. Bu yön, parabolün en büyük veya en küçük değerini belirler.

• 👉 Kolların yönü:
  Verilen fonksiyonda \( a = -2 \).
  \( a < 0 \) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur.
  Kollar aşağı doğru olduğunda parabolün bir en büyük değeri vardır ve bu değer tepe noktasının y-koordinatıdır (\( k \)).
• 👉 En büyük değeri bulma (k):
  Önce tepe noktasının x-koordinatı \( r \) bulunur:
  \[ r = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \]
  Şimdi \( k = f(r) \) yani \( f(2) \) hesaplanır:
  \[ k = -2(2)^2 + 8(2) - 1 \]
  \[ k = -2(4) + 16 - 1 \]
  \[ k = -8 + 16 - 1 \]
  \[ k = 8 - 1 \]
  \[ k = 7 \]

👉 Bir nokta, bir fonksiyonun grafiği üzerindeyse, o noktanın koordinatları fonksiyon denkleminde yerine yazıldığında denklemi sağlamak zorundadır.

• 👉 Noktayı fonksiyonda yerine yazma:
  Verilen nokta \( (x, y) = (1, 4) \) olduğundan, \( x = 1 \) ve \( f(x) = y = 4 \) değerlerini fonksiyonda yerine yazalım.
  \[ 4 = a(1)^2 - 3(1) + 5 \]
• 👉 a değerini bulma:
  Denklemi çözerek \( a \) değerini bulalım:
  \[ 4 = a - 3 + 5 \]
  \[ 4 = a + 2 \]
  \[ a = 4 - 2 \]
  \[ a = 2 \]

📌 Bir parabolün simetri ekseni, tepe noktasının x-koordinatından geçen düşey doğrudur. Yani \( x = r \) doğrusudur.

• 👉 r değerini belirleme:
  Soruda simetri ekseninin \( x = 3 \) olduğu verilmiş. Bu, tepe noktasının x-koordinatının \( r = 3 \) olduğu anlamına gelir.
• 👉 r formülünü kullanarak m'yi bulma:
  Parabol denklemimiz \( f(x) = ax^2 + bx + c \) genel formunda \( a = 1 \) ve \( b = -2(m-1) \)'dir.
  Tepe noktasının x-koordinatı \( r = -\frac{b}{2a} \) formülüyle bulunur:
  \[ 3 = -\frac{-2(m-1)}{2(1)} \]
  Paydadaki 2'ler sadeleşir ve eksiler birbirini götürür:
  \[ 3 = m - 1 \]
  Denklemi çözerek \( m \)'yi bulalım:
  \[ m = 3 + 1 \]
  \[ m = 4 \]

💡 Bir parabol ile bir doğrunun kesim noktalarını bulmak için, her iki denklemi birbirine eşitleyerek ortak çözüm yapılır.

• 👉 Denklemleri eşitleme:
  Her iki denklemin de \( y \) değerleri birbirine eşit olduğu için, \( x \) ifadelerini eşitleyebiliriz:
  \[ x^2 - 2x + 5 = x + 3 \]
• 👉 İkinci dereceden denklemi düzenleme:
  Tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayarak standart bir ikinci dereceden denklem elde edelim:
  \[ x^2 - 2x - x + 5 - 3 = 0 \]
  \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]
• 👉 x değerlerini bulma:
  Bu denklemi çarpanlarına ayıralım:
  \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \]
  Buradan \( x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1 \) ve \( x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2 \) bulunur.
• 👉 y değerlerini bulma:
  Bulduğumuz \( x \) değerlerini doğrunun denkleminde (\( y = x + 3 \)) yerine yazarak karşılık gelen \( y \) değerlerini bulalım:
  
  • \( x_1 = 1 \) için: \( y_1 = 1 + 3 = 4 \). İlk kesim noktası (1, 4).
  • \( x_2 = 2 \) için: \( y_2 = 2 + 3 = 5 \). İkinci kesim noktası (2, 5).

💡 Bu tür maksimum/minimum problemlerinde, genellikle parabolün tepe noktasının koordinatları bize en uygun çözümü verir.

• 👉 Değişkenleri tanımlama:
  Dikdörtgenin duvar kenarına paralel olan kenarına \( y \), diğer iki kenarına (duvara dik olanlar) \( x \) diyelim.
  Tavuk kümesinin boyutları \( x \) ve \( y \) olsun.
• 👉 Çevre denklemini yazma:
  Çiftçi 40 metre tel kullanacak ve duvar kenarına tel çekmeyecek. Bu durumda kullanılan telin uzunluğu \( x + y + x = 2x + y \) olur.
  \[ 2x + y = 40 \]
• 👉 Alan denklemini yazma:
  Dikdörtgenin alanı \( A = x \cdot y \)'dir.
  Çevre denkleminden \( y \)'yi çekip alan denkleminde yerine yazalım:
  \( y = 40 - 2x \)
  \[ A(x) = x(40 - 2x) \]
  \[ A(x) = 40x - 2x^2 \]
  Bu ifadeyi standart parabol denklemi formuna getirelim: \( A(x) = -2x^2 + 40x \).
• 👉 Maksimum alanı bulma (tepe noktası):
  Bu parabolün \( x^2 \) katsayısı \( a = -2 \) olduğu için kolları aşağı doğrudur, bu da bir maksimum değerin var olduğu anlamına gelir. Maksimum değer, tepe noktasının y-koordinatıdır.
  Önce tepe noktasının x-koordinatı \( r \) bulunur:
  \[ r = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2(-2)} = -\frac{40}{-4} = 10 \]
  Yani \( x = 10 \) metre olduğunda alan maksimum olur.
• 👉 Boyutları ve en büyük alanı hesaplama:
  \( x = 10 \) ise, \( y = 40 - 2(10) = 40 - 20 = 20 \) metre olur.
  Kümenin boyutları 10 metreye 20 metre olmalıdır.
  En büyük alan \( A(10) = -2(10)^2 + 40(10) = -2(100) + 400 = -200 + 400 = 200 \) metrekare olur.

🏗️ Parabolik yapılar, mühendislikte yükü eşit şekilde dağıtma özellikleri nedeniyle sıkça tercih edilir.

• 👉 Koordinat sistemini belirleme:
  Soruda belirtildiği gibi, tepe noktasının x-koordinatını 0 alarak koordinat sistemini ayarlayalım.
  Kemerin en alçak noktası (tepe noktası) yol seviyesinden 5 metre yükseklikte olduğuna göre, tepe noktasının koordinatları \( T(0, 5) \) olur.
  Tepe noktası \( (r, k) \) olan parabol denklemi \( y = a(x - r)^2 + k \) şeklinde olduğundan, bizim denklemimiz \( y = a(x - 0)^2 + 5 \Rightarrow y = ax^2 + 5 \) olur.
• 👉 Uç noktaların koordinatlarını bulma:
  Kemerin iki ucu arasındaki yatay mesafe 60 metredir. Tepe noktası tam ortada \( x = 0 \) olduğundan, uç noktaların x-koordinatları \( -30 \) ve \( 30 \) olacaktır.
  Bu uçların yol seviyesine uzaklığı 25 metredir. Yani uç noktaların koordinatları \( (-30, 25) \) ve \( (30, 25) \) olur.
• 👉 a değerini bulma:
  Parabol denklemi \( y = ax^2 + 5 \) idi. Uç noktalardan birini (örneğin \( (30, 25) \)) denklemde yerine yazalım:
  \[ 25 = a(30)^2 + 5 \]
  \[ 25 = a(900) + 5 \]
  \( 25 - 5 = 900a \)
  \( 20 = 900a \)
  \[ a = \frac{20}{900} \]
  Sadeleştirme yaparsak:
  \[ a = \frac{2}{90} \]
  \[ a = \frac{1}{45} \]
• 👉 Parabolün denklemini yazma:
  Bulduğumuz \( a \) değerini denklemde yerine yazalım.
  \[ y = \frac{1}{45}x^2 + 5 \]