💡 10. Sınıf Matematik: Özdeş verilerde sıralama Çözümlü Örnekler

Özdeşlik, her \( x \) değeri için doğru olan eşitliktir.

• Seçenek A: \( 2x + 3 = 7 \) denklemini çözersek \( 2x = 4 \) ve \( x = 2 \) buluruz. Bu eşitlik sadece \( x=2 \) için doğrudur, bu yüzden bir özdeşlik değildir. ❌
• Seçenek B: \( x + x = 2x \) ifadesi, \( 2x = 2x \) şeklinde sadeleşir. Bu eşitlik her \( x \) değeri için doğrudur. ✅
• Seçenek C: \( 3y - 1 = 5 \) denklemini çözersek \( 3y = 6 \) ve \( y = 2 \) buluruz. Bu eşitlik sadece \( y=2 \) için doğrudur. ❌
• Seçenek D: \( 4a = a + 3a \) ifadesi, \( 4a = 4a \) şeklinde sadeleşir. Bu eşitlik her \( a \) değeri için doğrudur. ✅

Bu durumda hem B hem de D seçenekleri özdeşliktir. Soruda tek doğru cevap beklendiği varsayılırsa, genellikle en temel ve net özdeşlikler sorulur. Ancak verilen seçeneklere göre hem B hem de D özdeşliktir. Eğer soruda "hangisi bir özdeşliktir?" diye sorulup tek cevap hakkı varsa, bu bir yazım hatası olabilir. Genellikle bu tür sorularda tek bir doğru cevap olur. Biz burada B ve D'nin özdeşlik olduğunu belirtelim.

Evet, \( (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \) eşitliği bir özdeşliktir. 💡
Bunun nedeni, sol tarafı açtığımızda sağ tarafı elde etmemizdir:
\( (x+2)^2 = (x+2)(x+2) \)
Dağılma özelliğini kullanarak açalım:
\( (x+2)(x+2) = x(x+2) + 2(x+2) \)
\( = x^2 + 2x + 2x + 4 \)
\( = x^2 + 4x + 4 \)
Gördüğümüz gibi, sol taraf \( x^2 + 4x + 4 \) olarak elde edildi ve bu, eşitliğin sağ tarafına eşittir. Bu eşitlik \( x \) değişkeninin aldığı her gerçek değer için doğrudur. ✅

Verilen özdeşlik \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) şeklindedir. 📌
Bizden \( (7-3)^2 \) işleminin sonucunu bu özdeşliği kullanarak hesaplamamız isteniyor.
Bu durumda \( a=7 \) ve \( b=3 \) alabiliriz.
Özdeşlikte yerine koyalım:
\( (7-3)^2 = 7^2 - 2 \times 7 \times 3 + 3^2 \)
Şimdi hesaplamaları yapalım:

• \( 7^2 = 49 \)
• \( 2 \times 7 \times 3 = 14 \times 3 = 42 \)
• \( 3^2 = 9 \)

Bu değerleri yerine koyarsak:
\( (7-3)^2 = 49 - 42 + 9 \)
\( = 7 + 9 \)
\( = 16 \)
Doğrudan \( (7-3)^2 = 4^2 = 16 \) olarak da hesaplanabilir. Özdeşlik kullanımı, özellikle daha karmaşık sayılarla uğraşırken veya cebirsel ifadeleri basitleştirirken faydalıdır. ✅

Başlangıçta bahçenin bir kenar uzunluğu \( x \) cm'dir. Karenin çevresi \( 4 \times \text{kenar uzunluğu} \) formülüyle bulunur.

• İlk çevre: \( C_1 = 4x \)

Bahçenin etrafına, her bir köşesine \( y \) cm uzunluğunda çit direği dikiliyor. Bu, bahçenin her bir kenarının her iki ucuna \( y \) cm eklenmesi anlamına gelir. Ancak soruda "köşesine" ifadesi biraz muğlak. Eğer köşelere dikilen direkler bahçenin dışına doğru uzanıyorsa ve bahçenin kenarlarını uzatıyorsa, durumu şöyle yorumlayabiliriz: Köşelere dikilen \( y \) cm'lik direkler, bahçenin her bir kenarının uzunluğunu \( y \) cm artırır. Yani yeni kenar uzunluğu \( x+y \) olur. Ancak bu durumda "köşesine" yerine "kenarının ucuna" daha uygun olurdu. Daha yaygın bir yorumla, eğer köşelere dikilen direkler bahçenin köşelerine sabitlenir ve bahçenin kenarlarını uzatmazsa, çevrede bir değişiklik olmaz. Sorunun "köşesine \( y \) cm uzunluğunda birer çit direği dikilecektir" ifadesini, bahçenin kenarlarının her birinin uzunluğunun \( y \) cm arttığı şeklinde yorumlarsak (yani her kenarın iki ucuna \( y \) eklenirse), bu durumda yeni kenar uzunluğu \( x + 2y \) olurdu. Ancak "köşesine" ifadesi bu yorumu da tam desteklemez. En olası yorum, bahçenin her bir kenarının uzunluğunun \( y \) cm kadar uzatılmasıdır. Bu durumda yeni kenar uzunluğu \( x+y \) olur. Yeni kenar uzunluğu \( x' = x+y \) olsun.
Yeni çevre: \( C_2 = 4 \times (x+y) \)
Özdeşliği açalım: \( C_2 = 4x + 4y \)
İlk çevre \( C_1 = 4x \) idi.
Çevredeki değişim: \( \Delta C = C_2 - C_1 \)
\( \Delta C = (4x + 4y) - 4x \)
\( \Delta C = 4y \)
Bu, çevre uzunluğunun \( 4y \) cm arttığı anlamına gelir. ✅ Eğer soru, her bir kenarın uzunluğunun \( y \) cm arttığı anlamına geliyorsa, o zaman özdeşlik \( C_{yeni} = 4(x+y) = 4x + 4y \) olur. Bu durumda çevre \( 4y \) kadar artar. Eğer soru, bahçenin her bir kenarının her iki ucuna \( y \) cm eklenirse, yani yeni kenar \( x+2y \) olursa, o zaman \( C_{yeni} = 4(x+2y) = 4x + 8y \) olurdu. Bu durumda çevre \( 8y \) kadar artardı. Sorunun "köşesine" ifadesi nedeniyle belirsizlik olsa da, en yaygın kabul gören yorumla kenar uzunluğunun \( y \) arttığı varsayılmıştır.

Bu soruda \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) özdeşliğini kullanacağız. 💡
Burada \( a = 2x \) ve \( b = 3y \) olarak alacağız.
Şimdi bu değerleri özdeşlikte yerine koyalım:
\( (2x-3y)^2 = (2x)^2 - 2 \times (2x) \times (3y) + (3y)^2 \)
Şimdi her bir terimi hesaplayalım:

• \( (2x)^2 = 2^2 \times x^2 = 4x^2 \)
• \( 2 \times (2x) \times (3y) = 4x \times 3y = 12xy \)
• \( (3y)^2 = 3^2 \times y^2 = 9y^2 \)

Bu sonuçları yerine koyduğumuzda:
\( (2x-3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2 \)
Bu, \( (2x-3y)^2 \) ifadesinin açılmış halidir ve bir özdeşliktir. ✅

Manavın toplam domates miktarı \( y \) kilogramdır. 🍅
Her bir kasaya \( x \) kilogram domates konulmaktadır.
Kullanılan kasa sayısını \( k \) ile gösterelim.
Toplam domates miktarı, kasa sayısı ile her kasadaki domates miktarının çarpımına eşittir.
Bu durumu ifade eden denklem şöyledir:
\( y = k \times x \)
Bu denklem, \( k \) ve \( y \) arasındaki ilişkiyi gösterir. Bu denklem bir özdeşlik değildir. ❌
Neden özdeşlik değildir? Çünkü bu eşitlik, \( x \) ve \( y \) değerlerine bağlı olarak her zaman doğru olmayabilir. Örneğin, manavın 100 kg domatesi varsa (\( y=100 \)) ve her kasaya 5 kg koyuyorsa (\( x=5 \)), o zaman \( 100 = k \times 5 \) olur ve \( k=20 \) bulunur. Bu durumda denklem doğrudur. Ancak manavın 100 kg domatesi varken ve her kasaya 10 kg koyarsa (\( x=10 \)), o zaman \( 100 = k \times 10 \) olur ve \( k=10 \) bulunur. Bu da doğrudur.
Ancak, eğer \( y \) ve \( x \) sabit değerler olarak verilirse ve biz \( k \) için bir çözüm ararsak, bu bir denklemdir. Örneğin, \( y=100 \) ve \( x=5 \) ise, \( 100 = k \times 5 \) denklemini çözerek \( k=20 \) buluruz. Bu eşitlik sadece \( k=20 \) için doğrudur. Bir özdeşlik ise, değişkenin aldığı her değer için doğru olmalıdır. Örneğin \( k \times x = k \times x \) bir özdeşliktir. Ancak \( y = k \times x \) ifadesinde \( y \) ve \( x \) değişkenleri, \( k \) ile belirli bir ilişki içindedir ve bu ilişki her zaman geçerli olmayabilir (örneğin, \( k \) tam sayı olmak zorundaysa ve \( y \), \( x \)'e tam bölünmüyorsa).
Bu nedenle, \( y = kx \) ifadesi, \( k \) için bir denklem kurmadır. ✅

\( a^2 - b^2 \) ifadesi, iki kare farkı özdeşliğinin açılımıdır. 💡
İki kare farkı özdeşliği şu şekildedir:
\( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)
Bu özdeşlik, \( a \) ve \( b \) değişkenlerinin aldığı her gerçek değer için doğrudur. ✅

Bize verilen eşitlik \( (x+y)(x-y) = 25 \) şeklindedir. 📌
İki kare farkı özdeşliğini biliyoruz: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).
Bu özdeşliği tersine uygularsak, \( (x+y)(x-y) \) ifadesinin \( x^2 - y^2 \) olduğunu görebiliriz. ✅
Dolayısıyla, bize verilen \( (x+y)(x-y) = 25 \) eşitliğinde, \( (x+y)(x-y) \) yerine \( x^2 - y^2 \) yazabiliriz.
Bu durumda, \( x^2 - y^2 = 25 \) olur.
Yani, \( x^2 - y^2 \) ifadesinin değeri 25'tir. 💯

Bu soruda iki farklı özdeşlik kullanabiliriz: \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) ve \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \). 💡
Ayrıca iki kare farkı özdeşliği olan \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) de işimize yarayacaktır.
Önce verilen ifadenin tamamını \( A^2 - B^2 \) şeklinde düşünelim, burada \( A = (3a+2b) \) ve \( B = (3a-2b) \).
İki kare farkı özdeşliğini uygulayalım: \( A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \).
Şimdi \( A \) ve \( B \) yerine ifadelerini yazalım:
\( A-B = (3a+2b) - (3a-2b) \)
\( A-B = 3a+2b - 3a + 2b \)
\( A-B = 4b \)
Şimdi \( A+B \) kısmını hesaplayalım:
\( A+B = (3a+2b) + (3a-2b) \)
\( A+B = 3a+2b + 3a - 2b \)
\( A+B = 6a \)
Şimdi bu iki sonucu \( (A-B)(A+B) \) çarpımında yerine koyalım:
\( (A-B)(A+B) = (4b)(6a) \)
\( = 24ab \)
Dolayısıyla, \( (3a+2b)^2 - (3a-2b)^2 \) ifadesinin sadeleşmiş hali \( 24ab \) 'dir. ✅