10. Sınıf Özdeş Nesnelerin Sıralanımı Çözümlü Sorular ve Örnekler

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

Özdeş Nesnelerin Sıralanımı: Temel Kavramlar 💡

Birbirinden ayırt edilemeyen (özdeş) nesnelerin farklı dizilişlerini hesaplamak, kombinatorik problemlerin önemli bir parçasıdır. Örneğin, bir kelimedeki harflerin kaç farklı şekilde dizilebileceğini bulmak gibi.

Diyelim ki elimizde 3 tane özdeş kırmızı top ve 2 tane özdeş mavi top var. Bu 5 topu yan yana kaç farklı şekilde dizebiliriz?

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Kelime Permütasyonları ✍️

Bir kelimedeki harflerin tekrar etmesi durumunda, o kelimenin harflerinin kaç farklı şekilde dizilebileceğini hesaplayabiliriz. Bu, özdeş nesnelerin sıralanımı mantığıyla aynıdır.

Örneğin, "BAHAR" kelimesindeki harflerin kaç farklı şekilde dizilebileceğini bulalım.

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Tekrarlı Harflerle Kelime Dizilişleri 🔠

Şimdi, içinde tekrar eden harfler bulunan bir kelimenin harflerinin kaç farklı şekilde dizilebileceğini hesaplayalım.

Örneğin, "KARAKTER" kelimesinin harfleri kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözümlü Örnek

Yeni Nesil Soru

LGS Tarzı Soru: Renkli Boncuklar 🌈

Bir kutuda 4 tane özdeş mavi boncuk, 3 tane özdeş kırmızı boncuk ve 2 tane özdeş yeşil boncuk bulunmaktadır. Bu 9 boncuğun tamamı, bir ipe kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözümlü Örnek

Günlük Hayattan Örnek

Günlük Hayattan Örnek: Pasta Dilimleri 🍰

Bir pastanede, 2'si çikolatalı, 3'ü vişneli ve 1'i fıstıklı olmak üzere toplam 6 dilim pasta yan yana dizilmiştir. Bu pasta dilimlerinin dizilişleri kaç farklı şekilde olabilir?

Çözümlü Örnek

Zor Seviye

YKS Tarzı Soru: Kitap Dizme 📚

Bir rafta 5 matematik kitabı, 4 fizik kitabı ve 3 kimya kitabı bulunmaktadır. Matematik kitapları özdeş, fizik kitapları özdeş ve kimya kitapları özdeştir. Bu 12 kitabın tamamı rafta kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

Basit Tekrarlı Diziliş 🔢

Elimizde 4 tane özdeş 'A' harfi ve 2 tane özdeş 'B' harfi bulunmaktadır. Bu 6 harf yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Yol Problemleri ve Özdeş Adımlar 🚶‍♂️

Bir kişi, A noktasından B noktasına gitmek istemektedir. Bu yolculukta, 3 adım sağa ve 2 adım yukarı olmak üzere toplam 5 adım atmalıdır. Eğer tüm sağ adımlar özdeş ve tüm yukarı adımlar özdeş ise, bu kişi B noktasına kaç farklı yoldan ulaşabilir?

Çözümlü Örnek

Yeni Nesil Soru

PISA Tarzı Soru: Şifre Oluşturma 🔑

Bir teknoloji firması, çalışanları için 4 haneli bir şifre sistemi tasarlamaktadır. Bu şifrede sadece 'A', 'B', 'C' harfleri kullanılacaktır. Ancak, şifredeki 'A' harfleri kendi içinde özdeş, 'B' harfleri kendi içinde özdeş ve 'C' harfleri kendi içinde özdeş kabul edilecektir. Eğer şifrede tam olarak 2 tane 'A' harfi, 1 tane 'B' harfi ve 1 tane 'C' harfi bulunması gerekiyorsa, kaç farklı şifre oluşturulabilir?

10. Sınıf Matematik: Özdeş Nesnelerin Sıralanımı Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Özdeş Nesnelerin Sıralanımı: Temel Kavramlar 💡

Diyelim ki elimizde 3 tane özdeş kırmızı top ve 2 tane özdeş mavi top var. Bu 5 topu yan yana kaç farklı şekilde dizebiliriz?

Çözüm:

Bu tür problemler, tekrarlı permütasyon formülü ile çözülür.

Toplam nesne sayısı \( n \) ve bu nesnelerden sırasıyla \( n_1, n_2, \dots, n_k \) tanesi kendi içinde özdeş ise, bu \( n \) nesnenin farklı dizilişlerinin sayısı şu formülle bulunur:

\[ \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!} \]

Şimdi örneğimize dönelim:

Toplam top sayısı \( n = 5 \).
3 tane özdeş kırmızı top var, yani \( n_1 = 3 \).
2 tane özdeş mavi top var, yani \( n_2 = 2 \).

Formülü uygulayalım:

\[ \frac{5!}{3! 2!} \]

Hesaplamayı yapalım:

\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
\( 2! = 2 \times 1 = 2 \)

Sonuç:

\[ \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]

Yani, 3 özdeş kırmızı ve 2 özdeş mavi top 10 farklı şekilde dizilebilir. ✅

Örnek 2:

Kelime Permütasyonları ✍️

Bir kelimedeki harflerin tekrar etmesi durumunda, o kelimenin harflerinin kaç farklı şekilde dizilebileceğini hesaplayabiliriz. Bu, özdeş nesnelerin sıralanımı mantığıyla aynıdır.

Örneğin, "BAHAR" kelimesindeki harflerin kaç farklı şekilde dizilebileceğini bulalım.

Çözüm:

Bu kelimede toplam 5 harf bulunmaktadır. Harflerin hiçbiri tekrar etmemektedir. Bu durumda, her harf farklı kabul edilir ve standart permütasyon formülü kullanılır.

Toplam harf sayısı \( n = 5 \).

Farklı diziliş sayısı:

\[ n! = 5! \]

Hesaplama:

\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

Yani, "BAHAR" kelimesinin harfleri 120 farklı şekilde dizilebilir. 👉

Önemli Not: Eğer kelimede tekrar eden harfler olsaydı, tekrarlı permütasyon formülünü kullanacaktık.

Örnek 3:

Tekrarlı Harflerle Kelime Dizilişleri 🔠

Şimdi, içinde tekrar eden harfler bulunan bir kelimenin harflerinin kaç farklı şekilde dizilebileceğini hesaplayalım.

Örneğin, "KARAKTER" kelimesinin harfleri kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm:

Öncelikle kelimedeki toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirleyelim:

Kelime: "KARAKTER"
Toplam harf sayısı \( n = 9 \).
Tekrar eden harfler:

'K' harfi 2 kez tekrar ediyor (\( n_1 = 2 \)).
'A' harfi 2 kez tekrar ediyor (\( n_2 = 2 \)).
'R' harfi 2 kez tekrar ediyor (\( n_3 = 2 \)).

Tekrar etmeyen harfler: 'T' (1 kez).

Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayalım:

\[ \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!} \]

Bu durumda:

\[ \frac{9!}{2! 2! 2!} \]

Hesaplamayı yapalım:

\( 9! = 362880 \)
\( 2! = 2 \)

Formüldeki yerine koyarsak:

\[ \frac{362880}{2 \times 2 \times 2} = \frac{362880}{8} = 45360 \]

Yani, "KARAKTER" kelimesinin harfleri 45360 farklı şekilde dizilebilir. ✨

Örnek 4:

LGS Tarzı Soru: Renkli Boncuklar 🌈

Bir kutuda 4 tane özdeş mavi boncuk, 3 tane özdeş kırmızı boncuk ve 2 tane özdeş yeşil boncuk bulunmaktadır. Bu 9 boncuğun tamamı, bir ipe kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm:

Bu problem, özdeş nesnelerin sıralanımı prensibiyle çözülür.

Adım 1: Toplam boncuk sayısını belirleyelim.

Toplam boncuk sayısı \( n = 4 (\text{mavi}) + 3 (\text{kırmızı}) + 2 (\text{yeşil}) = 9 \).

Adım 2: Özdeş boncuk gruplarını belirleyelim.

Özdeş mavi boncuk sayısı \( n_1 = 4 \).
Özdeş kırmızı boncuk sayısı \( n_2 = 3 \).
Özdeş yeşil boncuk sayısı \( n_3 = 2 \).

Adım 3: Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayalım.

\[ \frac{n!}{n_1! n_2! n_3!} \]

Değerleri yerine koyalım:

\[ \frac{9!}{4! 3! 2!} \]

Adım 4: Hesaplamayı yapalım.

\( 9! = 362880 \)
\( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
\( 2! = 2 \times 1 = 2 \)

Sonuç:

\[ \frac{362880}{24 \times 6 \times 2} = \frac{362880}{288} = 1260 \]

Bu 9 boncuk, ipe 1260 farklı şekilde dizilebilir. 💯

Örnek 5:

Günlük Hayattan Örnek: Pasta Dilimleri 🍰

Bir pastanede, 2'si çikolatalı, 3'ü vişneli ve 1'i fıstıklı olmak üzere toplam 6 dilim pasta yan yana dizilmiştir. Bu pasta dilimlerinin dizilişleri kaç farklı şekilde olabilir?

Çözüm:

Bu durum, özdeş nesnelerin sıralanımı problemine benzemektedir. Pasta dilimlerinin türlerine göre özdeş olduklarını düşünebiliriz.

Adım 1: Toplam pasta dilimi sayısını belirleyelim.

Toplam dilim sayısı \( n = 2 (\text{çikolatalı}) + 3 (\text{vişneli}) + 1 (\text{fıstıklı}) = 6 \).

Adım 2: Özdeş dilim gruplarını belirleyelim.

Özdeş çikolatalı dilim sayısı \( n_1 = 2 \).
Özdeş vişneli dilim sayısı \( n_2 = 3 \).
Özdeş fıstıklı dilim sayısı \( n_3 = 1 \).

Adım 3: Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayalım.

\[ \frac{n!}{n_1! n_2! n_3!} \]

Değerleri yerine koyalım:

\[ \frac{6!}{2! 3! 1!} \]

Adım 4: Hesaplamayı yapalım.

\( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)
\( 2! = 2 \)
\( 3! = 6 \)
\( 1! = 1 \)

Sonuç:

\[ \frac{720}{2 \times 6 \times 1} = \frac{720}{12} = 60 \]

Bu 6 pasta dilimi, 60 farklı şekilde yan yana dizilebilir. 😋

Örnek 6:

YKS Tarzı Soru: Kitap Dizme 📚

Çözüm:

Bu problem, özdeş nesnelerin sıralanımı formülünün doğrudan bir uygulamasıdır.

Adım 1: Toplam kitap sayısını belirleyelim.

Toplam kitap sayısı \( n = 5 (\text{matematik}) + 4 (\text{fizik}) + 3 (\text{kimya}) = 12 \).

Adım 2: Özdeş kitap gruplarını belirleyelim.

Özdeş matematik kitabı sayısı \( n_1 = 5 \).
Özdeş fizik kitabı sayısı \( n_2 = 4 \).
Özdeş kimya kitabı sayısı \( n_3 = 3 \).

Adım 3: Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayalım.

\[ \frac{n!}{n_1! n_2! n_3!} \]

Değerleri yerine koyalım:

\[ \frac{12!}{5! 4! 3!} \]

Adım 4: Hesaplamayı yapalım.

\( 12! = 479001600 \)
\( 5! = 120 \)
\( 4! = 24 \)
\( 3! = 6 \)

Sonuç:

\[ \frac{479001600}{120 \times 24 \times 6} = \frac{479001600}{17280} = 27720 \]

Bu 12 kitap, rafta 27720 farklı şekilde dizilebilir. 📖

Örnek 7:

Basit Tekrarlı Diziliş 🔢

Elimizde 4 tane özdeş 'A' harfi ve 2 tane özdeş 'B' harfi bulunmaktadır. Bu 6 harf yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm:

Bu problem, özdeş nesnelerin sıralanımı formülünü kullanır.

Adım 1: Toplam harf sayısını belirleyelim.

Toplam harf sayısı \( n = 4 (\text{'A'}) + 2 (\text{'B'}) = 6 \).

Adım 2: Özdeş harf gruplarını belirleyelim.

Özdeş 'A' harfi sayısı \( n_1 = 4 \).
Özdeş 'B' harfi sayısı \( n_2 = 2 \).

Adım 3: Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayalım.

\[ \frac{n!}{n_1! n_2!} \]

Değerleri yerine koyalım:

\[ \frac{6!}{4! 2!} \]

Adım 4: Hesaplamayı yapalım.

\( 6! = 720 \)
\( 4! = 24 \)
\( 2! = 2 \)

Sonuç:

\[ \frac{720}{24 \times 2} = \frac{720}{48} = 15 \]

Bu 6 harf, 15 farklı şekilde dizilebilir. 👍

Örnek 8:

Yol Problemleri ve Özdeş Adımlar 🚶‍♂️

Çözüm:

Bu tür yol problemleri, özdeş nesnelerin sıralanımı ile çözülebilir. Burada her adım bir nesne gibidir.

Adım 1: Toplam adım sayısını belirleyelim.

Toplam adım sayısı \( n = 3 (\text{sağ}) + 2 (\text{yukarı}) = 5 \).

Adım 2: Özdeş adım gruplarını belirleyelim.

Özdeş sağ adım sayısı \( n_1 = 3 \).
Özdeş yukarı adım sayısı \( n_2 = 2 \).

Adım 3: Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayalım.

\[ \frac{n!}{n_1! n_2!} \]

Değerleri yerine koyalım:

\[ \frac{5!}{3! 2!} \]

Adım 4: Hesaplamayı yapalım.

\( 5! = 120 \)
\( 3! = 6 \)
\( 2! = 2 \)

Sonuç:

\[ \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]

Kişi, B noktasına 10 farklı yoldan ulaşabilir. 🗺️

Örnek 9:

PISA Tarzı Soru: Şifre Oluşturma 🔑

Çözüm:

Bu problem, belirli sayıda özdeş elemanın belirli bir uzunluktaki dizilişini hesaplama problemidir.

Adım 1: Şifrenin toplam hanesini belirleyelim.

Şifre uzunluğu \( n = 4 \) hanelidir.

Adım 2: Şifrede bulunması gereken harf sayılarını belirleyelim.

'A' harfi sayısı \( n_1 = 2 \).
'B' harfi sayısı \( n_2 = 1 \).
'C' harfi sayısı \( n_3 = 1 \).

Adım 3: Bu harflerin 4 haneli bir şifrede kaç farklı şekilde dizilebileceğini hesaplamak için tekrarlı permütasyon formülünü kullanalım.

\[ \frac{n!}{n_1! n_2! n_3!} \]

Değerleri yerine koyalım:

\[ \frac{4!}{2! 1! 1!} \]

Adım 4: Hesaplamayı yapalım.

\( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
\( 2! = 2 \)
\( 1! = 1 \)

Sonuç:

\[ \frac{24}{2 \times 1 \times 1} = \frac{24}{2} = 12 \]

Bu koşullara uyan 12 farklı şifre oluşturulabilir. 🔒

Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun

https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-ozdes-nesnelerin-siralanimi/sorular

İçerik Hazırlanıyor...

Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.

💡 10. Sınıf Matematik: Özdeş Nesnelerin Sıralanımı Çözümlü Örnekler

Özdeş Nesnelerin Sıralanımı: Temel Kavramlar 💡

Kelime Permütasyonları ✍️

Tekrarlı Harflerle Kelime Dizilişleri 🔠

LGS Tarzı Soru: Renkli Boncuklar 🌈

Günlük Hayattan Örnek: Pasta Dilimleri 🍰

YKS Tarzı Soru: Kitap Dizme 📚

Basit Tekrarlı Diziliş 🔢

Yol Problemleri ve Özdeş Adımlar 🚶‍♂️

PISA Tarzı Soru: Şifre Oluşturma 🔑

10. Sınıf Matematik: Özdeş Nesnelerin Sıralanımı Çözümlü Örnekler

Özdeş Nesnelerin Sıralanımı: Temel Kavramlar 💡

Kelime Permütasyonları ✍️

Tekrarlı Harflerle Kelime Dizilişleri 🔠

LGS Tarzı Soru: Renkli Boncuklar 🌈

Günlük Hayattan Örnek: Pasta Dilimleri 🍰

YKS Tarzı Soru: Kitap Dizme 📚

Basit Tekrarlı Diziliş 🔢

Yol Problemleri ve Özdeş Adımlar 🚶‍♂️

PISA Tarzı Soru: Şifre Oluşturma 🔑

İçerik Hazırlanıyor...