🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Orta nokta Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Orta nokta Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde verilen \( A(2, 8) \) ve \( B(6, 12) \) noktalarının oluşturduğu \( AB \) doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulunuz. 📍
Çözüm:
Bir doğru parçasının orta noktasını bulmak için uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasını alırız.
Orta nokta \( C(x, y) \) olsun:
Orta nokta \( C(x, y) \) olsun:
- Apsisi bulalım: \[ x = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
- Ordinatı bulalım: \[ y = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]
Örnek 2:
Uç noktalarından biri \( A(-3, 5) \) ve orta noktası \( C(1, 7) \) olan bir \( AB \) doğru parçasının diğer uç noktası olan B noktasının koordinatlarını hesaplayınız. 🔍
Çözüm:
B noktasının koordinatları \( B(x, y) \) olsun. Orta nokta formülünü tersten uygulayalım:
- Apsis için: \[ \frac{-3 + x}{2} = 1 \]
Buradan \( -3 + x = 2 \) ve \( x = 5 \) bulunur. - Ordinat için: \[ \frac{5 + y}{2} = 7 \]
Buradan \( 5 + y = 14 \) ve \( y = 9 \) bulunur.
Örnek 3:
Analitik düzlemde \( A(a-2, 6) \) ve \( B(4, b+1) \) noktalarının orta noktası orijin \( (0, 0) \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır? 🌟
Çözüm:
Orta noktanın orijin olması, koordinatların toplamının yarısının sıfıra eşit olması demektir.
- Apsislerin ortalaması: \[ \frac{(a - 2) + 4}{2} = 0 \]
\( a + 2 = 0 \) ise \( a = -2 \) olur. - Ordinatların ortalaması: \[ \frac{6 + (b + 1)}{2} = 0 \]
\( b + 7 = 0 \) ise \( b = -7 \) olur.
Örnek 4:
Bir \( ABCD \) paralelkenarında köşe koordinatları \( A(1, 2) \), \( B(5, 3) \) ve \( C(7, 8) \) olarak verilmiştir. Bu paralelkenarın D köşesinin koordinatlarını bulunuz. 📐
Çözüm:
Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar. Bu yüzden \( AC \) köşegeninin orta noktası ile \( BD \) köşegeninin orta noktası aynıdır.
D noktasının koordinatları \( D(x, y) \) olsun.
D noktasının koordinatları \( D(x, y) \) olsun.
- AC'nin orta noktasının apsisi: \[ \frac{1 + 7}{2} = 4 \]
- BD'nin orta noktasının apsisi de 4 olmalıdır: \[ \frac{5 + x}{2} = 4 \implies 5 + x = 8 \implies x = 3 \]
- AC'nin orta noktasının ordinatı: \[ \frac{2 + 8}{2} = 5 \]
- BD'nin orta noktasının ordinatı de 5 olmalıdır: \[ \frac{3 + y}{2} = 5 \implies 3 + y = 10 \implies y = 7 \]
Örnek 5:
Bir şehir planında iki metro istasyonu analitik düzlemde \( A(20, 30) \) ve \( B(60, 70) \) noktaları ile modellenmiştir. Belediye, bu iki istasyonun tam ortasına bir aktarma merkezi yapmayı planlamaktadır. Bu aktarma merkezinin koordinatlarını bulunuz. 🚇
Çözüm:
Aktarma merkezi, iki istasyonun tam orta noktasında yer alacaktır. Orta nokta formülünü kullanalım:
- Merkezin Apsisi: \[ x = \frac{20 + 60}{2} = \frac{80}{2} = 40 \]
- Merkezin Ordinatı: \[ y = \frac{30 + 70}{2} = \frac{100}{2} = 50 \]
Örnek 6:
Bir insansız hava aracı (İHA), koordinat sisteminde \( K(10, 20) \) noktasından havalanıp doğrusal bir yol izleyerek \( L(50, 80) \) noktasına gidecektir. İHA, yolun tam yarısına geldiğinde yakıt ikmali uyarısı vermiştir. İHA'nın uyarı verdiği noktanın koordinatları toplamı kaçtır? 🛸
Çözüm:
Yolun tam yarısı, başlangıç ve bitiş noktalarının orta noktasıdır.
- Uyarı noktasının apsisi: \[ x = \frac{10 + 50}{2} = 30 \]
- Uyarı noktasının ordinatı: \[ y = \frac{20 + 80}{2} = 50 \]
Örnek 7:
Analitik düzlemde \( A(x+2, y-4) \) ve \( B(3x-6, 5y+2) \) noktalarının orta noktası \( C(6, 11) \) olduğuna göre, \( x \cdot y \) çarpımı kaçtır? 🧠
Çözüm:
Orta nokta formülünü her iki bileşen için ayrı ayrı kuralım:
- Apsis denklemi: \[ \frac{(x + 2) + (3x - 6)}{2} = 6 \]
\[ 4x - 4 = 12 \implies 4x = 16 \implies x = 4 \] - Ordinat denklemi: \[ \frac{(y - 4) + (5y + 2)}{2} = 11 \]
\[ 6y - 2 = 22 \implies 6y = 24 \implies y = 4 \]
Örnek 8:
Uç noktaları \( A \) noktası x-ekseni üzerinde, \( B \) noktası ise y-ekseni üzerinde olan bir \( AB \) doğru parçasının orta noktası \( M(3, -5) \) olduğuna göre, A ve B noktalarının koordinatlarını bulunuz. 📐
Çözüm:
Eksenler üzerindeki noktaların özelliklerini hatırlayalım:
- A noktası x-ekseni üzerinde ise ordinatı 0'dır: \( A(a, 0) \)
- B noktası y-ekseni üzerinde ise apsisi 0'dır: \( B(0, b) \)
- Apsis için: \[ \frac{a + 0}{2} = 3 \implies a = 6 \]
- Ordinat için: \[ \frac{0 + b}{2} = -5 \implies b = -10 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-orta-nokta/sorular