🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Orta nokta bulma Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Orta nokta bulma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde verilen A(2, 4) ve B(10, 12) noktalarının orta noktasının koordinatlarını bulunuz. 📍
Çözüm:
Bir doğru parçasının orta noktasını bulmak için uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasını alırız.
A(x1, y1) = A(2, 4)
B(x2, y2) = B(10, 12) olsun.
- Apsis (x) değerini bulalım:
\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ x = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] - Ordinat (y) değerini bulalım:
\[ y = \frac{y_1 + y_2}{2} \] \[ y = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]
Örnek 2:
Koordinat sisteminde K(-5, 7) ve L(3, -1) noktaları veriliyor. [KL] doğru parçasının orta noktası olan M noktasının koordinatları toplamı kaçtır? 🔢
Çözüm:
Öncelikle M noktasının koordinatlarını hesaplayalım:
Soruda bizden koordinatların toplamı istenmiştir: \[ -1 + 3 = 2 \] 👉 Cevap 2'dir.
M(x, y) olsun.
- Apsis hesaplama:
\[ x = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] - Ordinat hesaplama:
\[ y = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Soruda bizden koordinatların toplamı istenmiştir: \[ -1 + 3 = 2 \] 👉 Cevap 2'dir.
Örnek 3:
Bir [AB] doğru parçasının orta noktası C(4, 2)'dir. A noktasının koordinatları (1, 5) olduğuna göre, B noktasının koordinatlarını bulunuz. 🔍
Çözüm:
B noktasının koordinatlarına (x, y) diyelim. Orta nokta formülünü tersten uygulayacağız:
A(1, 5) ve B(x, y) noktalarının orta noktası C(4, 2) ise:
- Apsis için:
\[ \frac{1 + x}{2} = 4 \] \[ 1 + x = 8 \] \[ x = 7 \] - Ordinat için:
\[ \frac{5 + y}{2} = 2 \] \[ 5 + y = 4 \] \[ y = -1 \]
Örnek 4:
Köşelerinin koordinatları A(0, 0), B(6, 0) ve C(4, 8) olan bir ABC üçgeninde, [BC] kenarına ait kenarortayın başladığı orta noktanın koordinatlarını bulunuz. 📐
Çözüm:
Soru bizden aslında B ve C noktalarının orta noktasını istemektedir.
B(6, 0) ve C(4, 8) noktalarını kullanalım:
- Orta noktanın apsisi:
\[ x = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] - Orta noktanın ordinatı:
\[ y = \frac{0 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
Örnek 5:
ABCD bir paralelkenardır. Köşe noktalarının koordinatları sırasıyla A(1, 2), B(5, 3) ve C(7, 6) olduğuna göre, D noktasının koordinatlarını bulunuz. 💎
Çözüm:
Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar. Bu demektir ki [AC] köşegeninin orta noktası ile [BD] köşegeninin orta noktası aynıdır.
D noktasının koordinatları (x, y) olsun.
- Karşılıklı köşelerin apsisleri toplamı eşittir:
\[ x_A + x_C = x_B + x_D \] \[ 1 + 7 = 5 + x \] \[ 8 = 5 + x \] \[ x = 3 \] - Karşılıklı köşelerin ordinatları toplamı eşittir:
\[ y_A + y_C = y_B + y_D \] \[ 2 + 6 = 3 + y \] \[ 8 = 3 + y \] \[ y = 5 \]
Örnek 6:
Bir şehir planında iki ana trafo merkezi T1(20, 40) ve T2(60, 80) noktalarında bulunmaktadır. Belediye, bu iki trafo merkezinin tam ortasına bir kontrol kulesi inşa etmek istiyor. Kontrol kulesinin koordinatları ne olmalıdır? 🏗️
Çözüm:
Kontrol kulesi tam orta noktada olacağı için orta nokta formülünü uygularız:
T1(20, 40) ve T2(60, 80)
- Kulenin apsis değeri:
\[ x = \frac{20 + 60}{2} = \frac{80}{2} = 40 \] - Kulenin ordinat değeri:
\[ y = \frac{40 + 80}{2} = \frac{120}{2} = 60 \]
Örnek 7:
Bir kargo dronu, A(12, 18) noktasındaki depodan kalkıp B(32, 42) noktasındaki teslimat adresine doğrusal bir hat üzerinde uçmaktadır. Dronun bataryası, yolun tam yarısına geldiğinde otomatik bir sistem kontrolü yapmaktadır. Sistemin kontrol edildiği noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığı kaç birimdir? 🛸
Çözüm:
Öncelikle yolun tam orta noktasını (kontrol noktasını) bulalım:
Şimdi bu noktanın orijine O(0, 0) olan uzaklığını bulalım:
- Orta nokta apsis: \( \frac{12 + 32}{2} = 22 \)
- Orta nokta ordinat: \( \frac{18 + 42}{2} = 30 \)
Şimdi bu noktanın orijine O(0, 0) olan uzaklığını bulalım:
Uzaklık formülü: \( d = \sqrt{x^2 + y^2} \)
\[ d = \sqrt{22^2 + 30^2} \] \[ d = \sqrt{484 + 900} \] \[ d = \sqrt{1384} \] 💡 Bu değer yaklaşık olarak 37.2 birimdir (Soru sadece koordinat sorsaydı cevap 22 ve 30 olurdu).
Örnek 8:
Analitik düzlemde A(a + 2, 6) ve B(4, b - 3) noktalarının orta noktası C(5, 7) olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır? ⚡
Çözüm:
Orta nokta formülünü değişkenler üzerinden kuralım:
- Apsis denklemi:
\[ \frac{(a + 2) + 4}{2} = 5 \] \[ a + 6 = 10 \] \[ a = 4 \] - Ordinat denklemi:
\[ \frac{6 + (b - 3)}{2} = 7 \] \[ b + 3 = 14 \] \[ b = 11 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-orta-nokta-bulma/sorular