💡 10. Sınıf Matematik: Olasılık Çözümlü Örnekler

• Adım 1: Toplam top sayısını bulalım.
  Toplam top sayısı = Kırmızı toplar + Mavi toplar + Yeşil toplar
  Toplam top sayısı = \( 3 + 5 + 2 = 10 \)
• Adım 2: İstenen olayın (mavi top çekme) sayısını belirleyelim.
  Mavi top sayısı = \( 5 \)
• Adım 3: Olasılık formülünü uygulayalım.
  Olasılık = (İstenen Olayın Sayısı) / (Tüm Olası Durumların Sayısı)
  Mavi top çekme olasılığı = \( \frac{5}{10} \)
• Adım 4: Olasılığı sadeleştirelim.
  Mavi top çekme olasılığı = \( \frac{1}{2} \)

Sonuç olarak, torbadan çekilen topun mavi olma olasılığı \( \frac{1}{2} \) 'dir. ✅

• Adım 1: İki zar atıldığında oluşabilecek tüm olası sonuçları listeleyelim. Her zar için 6 farklı sonuç olduğundan, toplam \( 6 \times 6 = 36 \) farklı olası sonuç vardır.
• Adım 2: Zarların üzerindeki sayıların toplamının 7 olduğu durumları bulalım.
  Bu durumlar şunlardır: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).
• Adım 3: Toplamı 7 olan kaç farklı durum olduğunu sayalım.
  Toplamı 7 olan 6 farklı durum vardır.
• Adım 4: Olasılık formülünü kullanarak sonucu hesaplayalım.
  Toplamı 7 olma olasılığı = (Toplamı 7 olan durum sayısı) / (Tüm olası durum sayısı)
  Olasılık = \( \frac{6}{36} \)
• Adım 5: Olasılığı sadeleştirelim.
  Olasılık = \( \frac{1}{6} \)

Bu nedenle, iki zarın toplamının 7 gelme olasılığı \( \frac{1}{6} \) 'dır. 💯

• Adım 1: Tek bir madeni para atışında tura gelme olasılığı \( \frac{1}{2} \) 'dir.
• Adım 2: Madeni para 4 kez atıldığı için, her atış birbirinden bağımsızdır. Bağımsız olayların olasılıkları çarpılır.
• Adım 3: Dördünün de tura gelme olasılığını hesaplayalım.
  Olasılık = \( P(\text{tura}) \times P(\text{tura}) \times P(\text{tura}) \times P(\text{tura}) \)
  Olasılık = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \)
• Adım 4: Sonucu hesaplayalım.
  Olasılık = \( \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \)

Yani, 4 kez atılan bir madeni paranın dördünün de tura gelme olasılığı \( \frac{1}{16} \) 'dır. ✨

• Adım 1: Sınıftaki toplam öğrenci sayısını bulalım.
  Toplam öğrenci sayısı = Kız öğrenci sayısı + Erkek öğrenci sayısı
  Toplam öğrenci sayısı = \( 12 + 18 = 30 \)
• Adım 2: Rastgele seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığını hesaplayalım.
  Kız olma olasılığı = \( \frac{\text{Kız öğrenci sayısı}}{\text{Toplam öğrenci sayısı}} = \frac{12}{30} \)
• Adım 3: Rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığını hesaplayalım.
  Erkek olma olasılığı = \( \frac{\text{Erkek öğrenci sayısı}}{\text{Toplam öğrenci sayısı}} = \frac{18}{30} \)
• Adım 4: Seçilen öğrencinin kız veya erkek olma olasılığını bulalım. Bu iki olay birbirini dışlayan olaylardır (bir öğrenci hem kız hem erkek olamaz). Bu durumda olasılıklar toplanır.
  Kız veya erkek olma olasılığı = Kız olma olasılığı + Erkek olma olasılığı
  Olasılık = \( \frac{12}{30} + \frac{18}{30} = \frac{30}{30} = 1 \)

Yorumlama: Olasılığın 1 olması, bu olayın kesinlikle gerçekleşeceği anlamına gelir. Sınıftan rastgele bir öğrenci seçtiğinizde, o öğrencinin ya kız ya da erkek olması kesindir. 💡

• Bölüm 1: Herhangi Bir Mağazaya Girme Olasılığı
  
  • Adım 1: Alışveriş merkezinde toplam kaç farklı mağaza olduğunu belirleyelim.
    Toplam mağaza sayısı = 5
  • Adım 2: Rastgele bir mağazaya girme olasılığını hesaplayalım.
    Herhangi bir mağazaya girme olasılığı = \( \frac{1}{\text{Toplam mağaza sayısı}} = \frac{1}{5} \)
  Bu, her bir mağazaya eşit olasılıkla girildiği varsayımıyla hesaplanmıştır.


• Bölüm 2: İndirimdeki Bir Mağazaya Girme Olasılığı
  
  • Adım 1: İndirimde olan mağaza sayısını belirleyelim.
    İndirimdeki mağaza sayısı = 2
  • Adım 2: İndirimdeki bir mağazaya girme olasılığını hesaplayalım.
    İndirimdeki mağazaya girme olasılığı = \( \frac{\text{İndirimdeki mağaza sayısı}}{\text{Toplam mağaza sayısı}} = \frac{2}{5} \)
  Yani, indirimde olan mağazalardan birine girme olasılığınız \( \frac{2}{5} \) 'tir. 💰

• Adım 1: Toplam kart sayısını belirleyelim.
  Toplam kart sayısı = 20
• Adım 2: 3'ün katı olan kartları listeleyelim.
  3, 6, 9, 12, 15, 18 (Toplam 6 kart)
• Adım 3: 5'in katı olan kartları listeleyelim.
  5, 10, 15, 20 (Toplam 4 kart)
• Adım 4: Hem 3'ün hem de 5'in katı olan kartları (yani 15'in katı olanları) belirleyelim. Bu kartlar iki kez sayılmamalıdır.
  15 (Toplam 1 kart)
• Adım 5: 3'ün katı veya 5'in katı olan kartların sayısını bulalım.
  Sayı = (3'ün katı olanlar) + (5'in katı olanlar) - (Her ikisinin de katı olanlar)
  Sayı = \( 6 + 4 - 1 = 9 \)
• Adım 6: Olasılık formülünü uygulayalım.
  Olasılık = \( \frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Toplam durum sayısı}} = \frac{9}{20} \)

Dolayısıyla, çekilen kartın numarasının 3'ün katı veya 5'in katı olma olasılığı \( \frac{9}{20} \) 'dir. 🎯

• Adım 1: Torbadaki toplam bilye sayısını bulalım.
  Toplam bilye sayısı = \( 5 + 3 = 8 \)
• Adım 2: Torbadan aynı anda 2 bilye çekildiğinde oluşabilecek toplam farklı durum sayısını hesaplayalım. Bu, kombinasyon formülü ile bulunur: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
  Toplam durum sayısı = \( C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \)
• Adım 3: Çekilen 2 bilyenin de beyaz olma durumlarının sayısını hesaplayalım. Torbada 5 beyaz bilye var.
  İstenen durum sayısı = \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
• Adım 4: Olasılık formülünü uygulayalım.
  İkisinin de beyaz olma olasılığı = \( \frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Toplam durum sayısı}} = \frac{10}{28} \)
• Adım 5: Olasılığı sadeleştirelim.
  Olasılık = \( \frac{5}{14} \)

Bu nedenle, çekilen 2 bilyenin de beyaz olma olasılığı \( \frac{5}{14} \) 'tür. 👍

• Adım 1: Olasılık teorisinde, bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamı her zaman 1'e eşittir. Bu durum tümleyen olay kavramı ile ifade edilir.
  \( P(A) + P(A') = 1 \)
• Adım 2: Verilen olasılık değerini formülde yerine koyalım.
  \( 0.7 + P(A') = 1 \)
• Adım 3: Gerçekleşmeme olasılığını \( P(A') \) yalnız bırakarak hesaplayalım.
  \( P(A') = 1 - 0.7 \)
  \( P(A') = 0.3 \)

Açıklama: Olayın gerçekleşmeme olasılığı (olasılık dışı olay veya tümleyen olay olarak da adlandırılır) \( 0.3 \) 'tür. Bu, olayın %70 ihtimalle gerçekleşeceği anlamına geliyorsa, %30 ihtimalle de gerçekleşmeyeceği anlamına gelir. Bu, olasılık hesaplamalarında temel bir prensiptir ve bir olayın gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi durumlarının tüm olasılık uzayını kapsadığını gösterir. 🚀