🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Olasılık sıralama Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Olasılık sıralama Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir torbada 3'ü mavi, 5'i kırmızı olmak üzere toplam 8 bilye bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele bir bilye çekildiğinde, çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı kaçtır? 🔴
Çözüm:
- Adım 1: Tüm olası durumları belirleyelim. Torbada toplam 8 bilye olduğundan, rastgele bir bilye çekildiğinde 8 farklı sonuç elde edilebilir. Bu, tüm olası durumların sayısıdır.
- Adım 2: İstenen olayı belirleyelim. Bizim istediğimiz olay, çekilen bilyenin kırmızı olmasıdır. Torbada 5 kırmızı bilye bulunmaktadır. Bu, istenen olaydaki durumların sayısıdır.
- Adım 3: Olasılık formülünü uygulayalım. Olasılık, istenen olası durumların sayısının tüm olası durumların sayısına bölünmesiyle bulunur.
- Hesaplama: Olasılık \( = \frac{\text{İstenen Olayın Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durumların Sayısı}} = \frac{5}{8} \)
- Sonuç: Çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı \( \frac{5}{8} \)'dir. ✅
Örnek 2:
Bir zar havaya atıldığında, üst yüze gelen sayının tek sayı olma olasılığı nedir? 🎲
Çözüm:
- Adım 1: Bir zar atıldığında elde edilebilecek tüm olası sonuçlar şunlardır: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Toplam 6 olası durum vardır.
- Adım 2: Tek sayılar kümesi ise {1, 3, 5}'tir. Yani istenen olayda 3 olası durum vardır.
- Adım 3: Olasılığı hesaplayalım:
- Hesaplama: Olasılık \( = \frac{\text{Tek Sayıların Sayısı}}{\text{Tüm Olası Sonuçların Sayısı}} = \frac{3}{6} \)
- Sadeleştirme: Olasılık \( = \frac{1}{2} \)
- Sonuç: Zarın tek sayı gelme olasılığı \( \frac{1}{2} \)'dir. 👍
Örnek 3:
5 farklı matematik kitabı ve 3 farklı fizik kitabı bir rafta yan yana dizilecektir. Tüm dizilişlerde matematik kitaplarının yan yana olma olasılığı kaçtır? 📚
Çözüm:
- Adım 1: Tüm olası dizilişlerin sayısını bulalım. Toplamda 5 + 3 = 8 kitap vardır. Bu 8 kitap, \( 8! \) farklı şekilde dizilebilir.
- Adım 2: Matematik kitaplarının yan yana olduğu durumları inceleyelim. Matematik kitaplarını (M1, M2, M3, M4, M5) bir bütün olarak düşünelim. Bu bütün ve 3 fizik kitabı (F1, F2, F3) ile birlikte toplam 4 öge (1 bütün + 3 kitap) varmış gibi düşünebiliriz. Bu 4 öge \( 4! \) şekilde dizilebilir.
- Adım 3: Matematik kitapları kendi içlerinde de yer değiştirebilir. 5 matematik kitabı \( 5! \) farklı şekilde kendi aralarında dizilebilir.
- Adım 4: Matematik kitaplarının yan yana olduğu toplam diziliş sayısı: \( 4! \times 5! \)
- Adım 5: Olasılığı hesaplayalım:
- Hesaplama: Olasılık \( = \frac{\text{Matematik Kitaplarının Yan Yana Olduğu Durumlar}}{\text{Tüm Olası Dizilişler}} = \frac{4! \times 5!}{8!} \)
- Sadeleştirme: \( \frac{4! \times 5!}{8 \times 7 \times 6 \times 5!} = \frac{4!}{8 \times 7 \times 6} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{8 \times 7 \times 6} = \frac{24}{336} \)
- Daha fazla sadeleştirme: \( \frac{24}{336} = \frac{1}{14} \)
- Sonuç: Matematik kitaplarının yan yana olma olasılığı \( \frac{1}{14} \)'tür. 💯
Örnek 4:
3 kız ve 4 erkek öğrenci arasından rastgele 2 kişilik bir grup seçilecektir. Seçilen grubun 1 kız ve 1 erkekten oluşma olasılığı nedir? 🧑🤝🧑
Çözüm:
- Adım 1: Toplam kaç farklı 2 kişilik grup seçilebileceğini bulalım. Bu, 7 kişi arasından 2 kişi seçme kombinasyonudur: \( C(7, 2) \).
- Hesaplama: \( C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \)
- Adım 2: İstenen durum: 1 kız ve 1 erkekten oluşan grup seçmek.
- Hesaplama: 3 kız arasından 1 kız seçme: \( C(3, 1) = 3 \). 4 erkek arasından 1 erkek seçme: \( C(4, 1) = 4 \).
- Adım 3: İstenen durumdaki toplam grup sayısı: \( C(3, 1) \times C(4, 1) = 3 \times 4 = 12 \).
- Adım 4: Olasılığı hesaplayalım:
- Hesaplama: Olasılık \( = \frac{\text{1 kız ve 1 erkekten oluşan grup sayısı}}{\text{Toplam 2 kişilik grup sayısı}} = \frac{12}{21} \)
- Sadeleştirme: Olasılık \( = \frac{4}{7} \)
- Sonuç: Seçilen grubun 1 kız ve 1 erkekten oluşma olasılığı \( \frac{4}{7} \)'dir. ✨
Örnek 5:
Bir anahtar kutusunda, açması gereken kapının kilidini açan tek anahtarın da bulunduğu 5 farklı anahtar vardır. Doğru anahtarı ilk denemede bulamama ve ikinci denemede bulma olasılığı nedir? (Anahtarlar denendikten sonra kutuya geri konulmamaktadır.) 🔑
Çözüm:
- Adım 1: İlk denemede doğru anahtarı bulamama olasılığını hesaplayalım. Toplam 5 anahtar var ve bunlardan 1'i doğru. Doğru anahtarı bulamama olasılığı, yanlış anahtarı seçme olasılığıdır. 4 yanlış anahtar vardır.
- Hesaplama: İlk denemede doğru anahtarı bulamama olasılığı \( = \frac{4}{5} \).
- Adım 2: İlk denemede doğru anahtarı bulamadıktan sonra, geriye 4 anahtar kalmıştır (doğru anahtar hala kutudadır, yanlışlardan biri çıkarılmıştır). Bu kalan 4 anahtar arasından doğru anahtarı ikinci denemede bulma olasılığını hesaplayalım.
- Hesaplama: İkinci denemede doğru anahtarı bulma olasılığı \( = \frac{1}{4} \).
- Adım 3: Bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulmak için olasılıkları çarparız (bağımlı olaylar).
- Hesaplama: Olasılık \( = P(\text{İlk denemede bulamama}) \times P(\text{İkinci denemede bulma | İlk denemede bulamama}) \)
- Sonuç: Olasılık \( = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \). ✅
Örnek 6:
Bir basketbol oyuncusunun, serbest atışlarda %80 isabet oranı vardır. Bu oyuncunun iki serbest atıştan birini isabet ettirme olasılığı nedir? (İki atış birbirinden bağımsızdır.) 🏀
Çözüm:
- Adım 1: Oyuncunun bir serbest atışı isabet ettirme olasılığı \( P(I) = 0.80 \) (veya \( \frac{4}{5} \)).
- Adım 2: Oyuncunun bir serbest atışı kaçırma olasılığı \( P(K) = 1 - P(I) = 1 - 0.80 = 0.20 \) (veya \( \frac{1}{5} \)).
- Adım 3: İstenen durum: İki atıştan birini isabet ettirmesi. Bu iki şekilde olabilir:
- Durum 1: İlk atışı isabet ettirir, ikinci atışı kaçırır.
- Durum 2: İlk atışı kaçırır, ikinci atışı isabet ettirir.
- Adım 4: Her iki durumun olasılığını hesaplayalım:
- Durum 1 Olasılığı: \( P(I) \times P(K) = 0.80 \times 0.20 = 0.16 \)
- Durum 2 Olasılığı: \( P(K) \times P(I) = 0.20 \times 0.80 = 0.16 \)
- Adım 5: Bu iki durum birbirini dışladığı için, toplam olasılığı bulmak için olasılıkları toplarız.
- Hesaplama: Toplam Olasılık \( = 0.16 + 0.16 = 0.32 \)
- Sonuç: Oyuncunun iki serbest atıştan birini isabet ettirme olasılığı \( 0.32 \) veya \( \frac{32}{100} = \frac{8}{25} \)'tir. 🎯
Örnek 7:
Bir kutuda 4 kırmızı ve 6 mavi bilye bulunmaktadır. Kutudan çekilen ilk bilye kırmızı ise geri konulmadan, ikinci bir bilye çekiliyor. İkinci çekilişte mavi bilye gelme olasılığı nedir? 🔵
Çözüm:
- Adım 1: İlk çekilişte kırmızı bilye gelme olasılığını hesaplayalım.
- Hesaplama: \( P(\text{İlk Kırmızı}) = \frac{\text{Kırmızı Bilye Sayısı}}{\text{Toplam Bilye Sayısı}} = \frac{4}{10} \).
- Adım 2: İlk bilye kırmızı geldiğinde ve kutuya geri konulmadığında, kutudaki durum değişir.
- Yeni Durum: Kalan bilye sayısı \( = 10 - 1 = 9 \). Kalan kırmızı bilye sayısı \( = 4 - 1 = 3 \). Kalan mavi bilye sayısı \( = 6 \) (değişmez).
- Adım 3: Bu yeni durumda (ilk bilye kırmızı çekilmiş ve geri konulmamışken) ikinci çekilişte mavi bilye gelme olasılığını hesaplayalım.
- Hesaplama: \( P(\text{İkinci Mavi | İlk Kırmızı}) = \frac{\text{Kalan Mavi Bilye Sayısı}}{\text{Kalan Toplam Bilye Sayısı}} = \frac{6}{9} \).
- Adım 4: İstenen olasılık, ilk çekilişin kırmızı olması VE ikinci çekilişin mavi olmasıdır. Bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığını bulmak için olasılıkları çarparız.
- Hesaplama: Olasılık \( = P(\text{İlk Kırmızı}) \times P(\text{İkinci Mavi | İlk Kırmızı}) = \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} \).
- Sadeleştirme: \( \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{15} \).
- Sonuç: İkinci çekilişte mavi bilye gelme olasılığı \( \frac{4}{15} \)'tir. 🌟
Örnek 8:
Bir madeni para üç kez havaya atılıyor. Üç atışın da aynı yüz gelme olasılığı nedir? (Yazı ve Tura) 🪙
Çözüm:
- Adım 1: Bir madeni para atıldığında 2 olası sonuç vardır: Yazı (Y) veya Tura (T).
- Adım 2: Para üç kez atıldığında, toplam olası sonuç sayısı \( 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8 \)'dir.
- Adım 3: Üç atışın da aynı yüz gelmesi durumu iki şekildedir:
- Durum 1: Üçü de Yazı (YYY)
- Durum 2: Üçü de Tura (TTT)
- Adım 4: İstenen olası durumların sayısı 2'dir.
- Adım 5: Olasılığı hesaplayalım:
- Hesaplama: Olasılık \( = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}} = \frac{2}{8} \).
- Sadeleştirme: Olasılık \( = \frac{1}{4} \).
- Sonuç: Üç atışın da aynı yüz gelme olasılığı \( \frac{1}{4} \)'tür. 💯
Örnek 9:
ABC kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek anlamlı veya anlamsız kelimelerden rastgele biri seçildiğinde, bu kelimenin 'CAB' olma olasılığı nedir? 🔠
Çözüm:
- Adım 1: 'ABC' kelimesindeki harfler farklıdır. Bu 3 farklı harfin yerleri değiştirilerek kaç farklı kelime oluşturulabileceğini bulalım. Bu, 3 harfin permütasyonudur.
- Hesaplama: Olası kelime sayısı \( = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \).
- Adım 2: Oluşturulabilecek tüm kelimeler şunlardır: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
- Adım 3: Bizim istediğimiz özel kelime 'CAB'dır. Bu, istenen olası durumdur.
- Adım 4: İstenen olası durumların sayısı 1'dir.
- Adım 5: Olasılığı hesaplayalım:
- Hesaplama: Olasılık \( = \frac{\text{İstenen Kelime Sayısı}}{\text{Tüm Olası Kelime Sayısı}} = \frac{1}{6} \).
- Sonuç: Rastgele seçilen kelimenin 'CAB' olma olasılığı \( \frac{1}{6} \)'dır. 👍
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-olasilik-siralama/sorular