🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Öklid Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Öklid Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm ise, hipotenüs kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenarlar: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Hipotenüsü bulmak için formülü uygulayalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir ikizkenar üçgende tepe açısı \( 80^\circ \) ise, taban açıları kaçar derecedir? 🤔
Çözüm:
İkizkenar üçgenlerin taban açıları birbirine eşittir.
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir.
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir.
- Verilen tepe açısı: \( 80^\circ \).
- Üçgenin iç açılarının toplamı: \( 180^\circ \).
- Taban açılarının toplamını bulalım: \( 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).
- Bu \( 100^\circ \) iki eşit taban açısına bölünecektir.
- Her bir taban açısı: \( \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \).
Örnek 3:
Bir kenarı 5 cm olan karenin çevresi kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Kare, dört kenarı da birbirine eşit olan bir dörtgendir.
Karenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.
Karenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.
- Bir kenar uzunluğu: \( 5 \) cm.
- Karenin 4 kenarı vardır.
- Çevre = Kenar + Kenar + Kenar + Kenar veya Çevre = 4 x Kenar
- Çevre = \( 4 \times 5 \) cm
- Sonuç: Çevre = \( 20 \) cm.
Örnek 4:
Bir dikdörtgenin uzun kenarı 12 cm, kısa kenarı 5 cm ise, bu dikdörtgenin köşegen uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
Dikdörtgenin köşegeni, onu iki dik üçgene ayırır. Bu dik üçgenlerin dik kenarları, dikdörtgenin kenar uzunluklarıdır.
Dikdörtgenin köşegeni, onu iki dik üçgene ayırır. Bu dik üçgenlerin dik kenarları, dikdörtgenin kenar uzunluklarıdır.
- Dik kenarlar: \( a = 12 \) cm ve \( b = 5 \) cm.
- Köşegen uzunluğu \( c \) olsun.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 12^2 + 5^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 144 + 25 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 169 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{169} \)
- Sonuç: \( c = 13 \) cm.
Örnek 5:
Bir parkın krokisi, birbirini dik kesen iki cadde ile bu caddelerin kesişim noktasına uzaklıkları verilen evler şeklinde tasarlanmıştır. Ev A, caddelere 3 metre ve 4 metre uzaklıktadır. Ev B, caddelere 5 metre ve 12 metre uzaklıktadır. Hangi ev diğerine göre caddelerin kesişim noktasına daha yakındır? 🌳
Çözüm:
Bu soruda, evlerin caddelerin kesişim noktasına olan uzaklıklarını bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Caddelerin kesişim noktasını orijin \( (0,0) \) olarak düşünebiliriz. Evlerin konumları, bu orijine göre koordinatları temsil eder.
- Ev A için:
- Caddelere uzaklıkları dik kenarlar gibidir: \( a = 3 \) m ve \( b = 4 \) m.
- Kesişim noktasına uzaklık (hipotenüs) \( c_A \) olsun.
- \( c_A^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
- \( c_A = \sqrt{25} = 5 \) m.
- Ev B için:
- Caddelere uzaklıkları dik kenarlar gibidir: \( a = 5 \) m ve \( b = 12 \) m.
- Kesişim noktasına uzaklık (hipotenüs) \( c_B \) olsun.
- \( c_B^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)
- \( c_B = \sqrt{169} = 13 \) m.
- Karşılaştırma:
- Ev A'nın uzaklığı \( 5 \) m, Ev B'nin uzaklığı \( 13 \) m'dir.
- \( 5 < 13 \) olduğundan, Ev A kesişim noktasına daha yakındır.
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, binanın temelini atmadan önce zeminin düzgünlüğünü kontrol etmek için 3-4-5 metre kuralını kullanır. Bir köşeden 3 metre ve diğer köşeden 4 metre ölçtüğünde, bu iki noktanın arasındaki mesafe tam olarak 5 metre geliyorsa, bu köşe ne kadar doğrudur? 🏗️
Çözüm:
Bu durum, Pisagor Teoremi'nin bir uygulamasıdır.
Eğer bir üçgenin kenar uzunlukları \( a, b, c \) ise ve \( a^2 + b^2 = c^2 \) eşitliği sağlanıyorsa, bu üçgen dik üçgendir.
Eğer bir üçgenin kenar uzunlukları \( a, b, c \) ise ve \( a^2 + b^2 = c^2 \) eşitliği sağlanıyorsa, bu üçgen dik üçgendir.
- Verilen ölçüler: \( a = 3 \) m, \( b = 4 \) m, \( c = 5 \) m.
- Pisagor Teoremi'ni kontrol edelim: \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \).
- Hipotenüsün karesi: \( 5^2 = 25 \).
- Eşitlik sağlanıyor mu? \( 25 = 25 \). Evet, sağlanıyor.
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, \( AB = 10 \) cm, \( BC = 17 \) cm ve \( AC = 21 \) cm'dir. Bu üçgenin alanını Heron formülü kullanarak bulunuz. 🔺
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Heron Formülü'nü kullanacağız. Heron formülü, üçgenin kenar uzunlukları bilindiğinde alanını hesaplamak için kullanılır.
Önce üçgenin yarı çevresini (u) hesaplamamız gerekir:
Alan \( = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} \)
Önce üçgenin yarı çevresini (u) hesaplamamız gerekir:
- Kenar uzunlukları: \( a = 17 \), \( b = 21 \), \( c = 10 \).
- Yarı çevre \( u = \frac{a+b+c}{2} \)
- \( u = \frac{17 + 21 + 10}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) cm.
Alan \( = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} \)
- Alan \( = \sqrt{24(24-17)(24-21)(24-10)} \)
- Alan \( = \sqrt{24(7)(3)(14)} \)
- Alan \( = \sqrt{24 \times 7 \times 3 \times 14} \)
- Alan \( = \sqrt{7056} \)
- Alan \( = 84 \) cm².
Örnek 8:
Bir ikizkenar yamukta, üst taban 6 cm, alt taban 14 cm ve yan kenarlar 5 cm'dir. Bu yamuğun yüksekliği kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
İkizkenar yamuğun yüksekliğini bulmak için Pisagor Teoremi'nden faydalanacağız.
Yamuğun yüksekliğini çizerek, dik üçgenler oluşturabiliriz.
Yamuğun yüksekliğini çizerek, dik üçgenler oluşturabiliriz.
- Üst taban \( = 6 \) cm, Alt taban \( = 14 \) cm, Yan kenar \( = 5 \) cm.
- Alt tabandan üst tabanı çıkarıp ikiye bölersek, dik üçgenin tabanını buluruz: \( \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) cm.
- Şimdi bir dik üçgenimiz var: hipotenüsü yan kenar (5 cm), bir dik kenarı bulduğumuz değer (4 cm) ve diğer dik kenarı da yamuğun yüksekliği (h) olacaktır.
- Pisagor Teoremi: \( h^2 + 4^2 = 5^2 \)
- \( h^2 + 16 = 25 \)
- \( h^2 = 25 - 16 \)
- \( h^2 = 9 \)
- \( h = \sqrt{9} = 3 \) cm.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-oklid/sorular