📄 10. Sınıf Matematik: Öklid Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

ABC dik üçgeninde A köşesi dik açı ve AD yüksekliği hipotenüse inmektedir. Bu durumda Öklid bağıntılarını kullanabiliriz.

Verilenler: \(|BD| = p = 4\) cm, \(|DC| = k = 9\) cm.



1. \(|AD|\) (yükseklik \(h\)) uzunluğunu bulalım:

Yükseklik bağıntısı: \(h^2 = p \cdot k\)

\(h^2 = 4 \cdot 9\)

\(h^2 = 36\)

\(h = \sqrt{36}\)

\(h = 6\) cm.

Yani, \(|AD| = 6\) cm'dir.



2. \(|AB|\) (dik kenar \(c\)) uzunluğunu bulalım:

Dik kenar bağıntısı: \(c^2 = p \cdot (p+k)\)

Önce hipotenüs \(a = p+k = 4+9 = 13\) cm'i bulalım.

\(c^2 = 4 \cdot 13\)

\(c^2 = 52\)

\(c = \sqrt{52}\) cm.

Yani, \(|AB| = \sqrt{52}\) cm'dir.



3. \(|AC|\) (dik kenar \(b\)) uzunluğunu bulalım:

Dik kenar bağıntısı: \(b^2 = k \cdot (p+k)\)

\(b^2 = 9 \cdot 13\)

\(b^2 = 117\)

\(b = \sqrt{117}\) cm.

Yani, \(|AC| = \sqrt{117}\) cm'dir.



Sonuç olarak, \(|AD| = 6\) cm, \(|AB| = \sqrt{52}\) cm ve \(|AC| = \sqrt{117}\) cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilenler: Dik kenarlar \(b = 9\) cm ve \(c = 12\) cm.



1. Hipotenüs \(a\) uzunluğunu bulalım:

Pisagor Teoremi'ne göre: \(a^2 = b^2 + c^2\)

\(a^2 = 9^2 + 12^2\)

\(a^2 = 81 + 144\)

\(a^2 = 225\)

\(a = \sqrt{225}\)

\(a = 15\) cm.

Hipotenüsün uzunluğu 15 cm'dir.



2. Hipotenüse ait yükseklik \(h\) uzunluğunu bulalım:

Üçgenin alanı formülünden: \(A = \frac{b \cdot c}{2} = \frac{a \cdot h}{2}\)

\(9 \cdot 12 = 15 \cdot h\)

\(108 = 15h\)

\(h = \frac{108}{15}\)

\(h = \frac{36}{5}\)

\(h = 7.2\) cm.

Yüksekliğin uzunluğu 7.2 cm'dir.



3. Hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların \(p\) ve \(k\) uzunluklarını bulalım:

Dik kenar bağıntılarını kullanalım:

\(c^2 = p \cdot a\) (Burada \(c=12\) ve \(p\) 12 cm'lik kenarın izdüşümü olsun)

\(12^2 = p \cdot 15\)

\(144 = 15p\)

\(p = \frac{144}{15}\)

\(p = \frac{48}{5}\)

\(p = 9.6\) cm.



Diğer parça \(k\) ise \(a - p\) dir:

\(k = 15 - 9.6\)

\(k = 5.4\) cm.



Alternatif olarak \(b^2 = k \cdot a\) bağıntısını da kullanabiliriz:

\(9^2 = k \cdot 15\)

\(81 = 15k\)

\(k = \frac{81}{15}\)

\(k = \frac{27}{5}\)

\(k = 5.4\) cm. (Sonuçlar tutarlı.)



Sonuç olarak, hipotenüse ait yükseklik 7.2 cm, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları ise 9.6 cm ve 5.4 cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilenler: Yükseklik \(h = 8\) cm.

Yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçaların oranı 1:4. Yani \(p = x\) ve \(k = 4x\) diyebiliriz.



1. \(x\) değerini bulalım:

Yükseklik bağıntısı: \(h^2 = p \cdot k\)

\(8^2 = x \cdot (4x)\)

\(64 = 4x^2\)

\(x^2 = \frac{64}{4}\)

\(x^2 = 16\)

\(x = \sqrt{16}\)

\(x = 4\) cm.



2. Hipotenüsün parçalarını bulalım:

\(p = x = 4\) cm.

\(k = 4x = 4 \cdot 4 = 16\) cm.



3. Hipotenüs \(a\) uzunluğunu bulalım:

\(a = p + k = 4 + 16 = 20\) cm.

Hipotenüsün uzunluğu 20 cm'dir.



4. Dik kenarların \(c\) ve \(b\) uzunluklarını bulalım:

Dik kenar bağıntısı: \(c^2 = p \cdot a\) (\(c\) kenarı \(p\) parçasına komşu olan kenar)

\(c^2 = 4 \cdot 20\)

\(c^2 = 80\)

\(c = \sqrt{80}\) cm.



Dik kenar bağıntısı: \(b^2 = k \cdot a\) (\(b\) kenarı \(k\) parçasına komşu olan kenar)

\(b^2 = 16 \cdot 20\)

\(b^2 = 320\)

\(b = \sqrt{320}\) cm.



Sonuç olarak, hipotenüs uzunluğu 20 cm, dik kenarların uzunlukları ise \(\sqrt{80}\) cm ve \(\sqrt{320}\) cm'dir.