💡 10. Sınıf Matematik: Öklid bağıntısı Çözümlü Örnekler

Bu soruda Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı kullanacağız. 💡

• Öklid bağıntısına göre: \[ h^2 = p \cdot k \]
• Burada \( p = BH = 4 \) ve \( k = HC = 9 \) olarak verilmiştir.
• Değerleri formülde yerine koyalım: \[ h^2 = 4 \cdot 9 \]
• \[ h^2 = 36 \]
• Her iki tarafın karekökünü aldığımızda: \[ h = 6 \] birim bulunur. ✅

Bu soruda Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı'nı kullanacağız. 💡

• Bağıntıya göre bir dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir: \[ c^2 = BH \cdot BC \]
• Verilen değerler: \( BH = 2 \) ve \( BC = 10 \).
• İşlemi yapalım: \[ c^2 = 2 \cdot 10 \]
• \[ c^2 = 20 \]
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] cm bulunur. ✅

Üçgenin alanını bulmak için taban (hipotenüs) ve yükseklik bilgilerine ihtiyacımız var.

• Adım 1: Hipotenüs uzunluğunu bulalım. Parçalar \( 3 \) ve \( 12 \) ise: \[ a = 3 + 12 = 15 \] birimdir.
• Adım 2: Yüksekliği (\( h \)) Öklid bağıntısı ile bulalım: \[ h^2 = 3 \cdot 12 \] \[ h^2 = 36 \Rightarrow h = 6 \] birimdir.
• Adım 3: Üçgenin alan formülünü uygulayalım: \[ Alan = \frac{Taban \cdot Yukseklik}{2} \]
• \[ Alan = \frac{15 \cdot 6}{2} \]
• \[ Alan = \frac{90}{2} = 45 \] birimkare bulunur. ✅

Öklid'in dik kenar bağıntısını kullanarak önce hipotenüsün tamamını bulabiliriz. 💡

• Bağıntı: \[ AB^2 = BH \cdot BC \]
• Verilenleri yerleştirelim: \[ 6^2 = 3 \cdot (3 + x) \]
• \[ 36 = 3 \cdot (3 + x) \]
• Her iki tarafı \( 3 \)'e bölelim: \[ 12 = 3 + x \]
• Buradan: \[ x = 12 - 3 = 9 \] birim bulunur. ✅

Yükseklik bağıntısını kullanarak \( x \) değerini bulalım. 💡

• Öklid bağıntısı: \[ AH^2 = BH \cdot HC \]
• \[ 6^2 = x \cdot (x + 5) \]
• \[ 36 = x^2 + 5x \]
• Denklemi düzenleyelim: \[ x^2 + 5x - 36 = 0 \]
• Çarpanlarına ayıralım: \[ (x + 9)(x - 4) = 0 \]
• Uzunluk negatif olamayacağı için \( x = 4 \) olur.
• Hipotenüs \( BC = BH + HC \)'dir: \[ BC = x + (x + 5) = 4 + (4 + 5) = 13 \] birim bulunur. ✅

Günlük hayattaki bu problemde "en kısa yol" ifadesi dikme (yükseklik) anlamına gelir. 💡

• Dik üçgende dik köşeden indirilen yükseklik Öklid bağıntısını sağlar.
• Sulama borusunun uzunluğuna \( h \) diyelim.
• Ayırdığı parçalar \( p = 2 \) ve \( k = 8 \)'dir.
• Öklid bağıntısı: \[ h^2 = p \cdot k \]
• \[ h^2 = 2 \cdot 8 = 16 \]
• \[ h = 4 \] metre olarak bulunur. ✅

Bu soruda hem Pisagor hem de Öklid'in Alan Bağıntısı'nı kullanacağız. 💡

• Adım 1: Önce hipotenüsü (\( BC \)) Pisagor teoremi ile bulalım: \[ BC^2 = 15^2 + 20^2 \] \[ BC^2 = 225 + 400 = 625 \Rightarrow BC = 25 \] metre.
• Adım 2: Öklid'in alan bağıntısını uygulayalım (Dik kenarların çarpımı, yükseklik ile hipotenüsün çarpımına eşittir): \[ AB \cdot AC = BC \cdot AH \]
• \[ 15 \cdot 20 = 25 \cdot AH \]
• \[ 300 = 25 \cdot AH \]
• \[ AH = \frac{300}{25} = 12 \] metre bulunur. ✅

Üçgenin tüm kenarlarını bulmak için Öklid bağıntılarını adım adım uygulayalım. 💡

• Adım 1: Dik kenar bağıntısı ile hipotenüsü (\( BC \)) bulalım: \[ AC^2 = HC \cdot BC \]
• \[ (4\sqrt{5})^2 = 8 \cdot BC \]
• \[ 16 \cdot 5 = 8 \cdot BC \Rightarrow 80 = 8 \cdot BC \Rightarrow BC = 10 \] birim.
• Adım 2: \( BH \) uzunluğunu bulalım: \[ BH = BC - HC = 10 - 8 = 2 \] birim.
• Adım 3: Diğer dik kenarı (\( AB \)) bulalım: \[ AB^2 = BH \cdot BC \] \[ AB^2 = 2 \cdot 10 = 20 \Rightarrow AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] birim.
• Adım 4: Çevreyi hesaplayalım: \[ Cevre = AB + AC + BC \]
• \[ Cevre = 2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} + 10 = 10 + 6\sqrt{5} \] birim bulunur. ✅