🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Nicelikler Ve Değişimler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Nicelikler Ve Değişimler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir aritmetik dizinin ilk terimi \( a_1 = 5 \) ve ortak farkı \( d = 3 \) ise, bu dizinin 7. terimi \( a_7 \) kaçtır? 🤔
👉 Aritmetik dizilerde her terim, bir önceki terime sabit bir sayı (ortak fark) eklenerek bulunur.
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
- 📌 Aritmetik Dizi Genel Terim Formülü: Bir aritmetik dizinin \( n \). terimi \( a_n = a_1 + (n-1)d \) formülü ile bulunur.
- ✅ Verilenleri Yerine Yazma:
- İlk terim \( a_1 = 5 \)
- Ortak fark \( d = 3 \)
- Aradığımız terim \( n = 7 \)
- 💡 Hesaplama: Formülde verilen değerleri yerine yazarsak: \[ a_7 = 5 + (7-1) \cdot 3 \] \[ a_7 = 5 + 6 \cdot 3 \] \[ a_7 = 5 + 18 \] \[ a_7 = 23 \]
Örnek 2:
Bir geometrik dizinin ilk terimi \( a_1 = 2 \) ve ortak çarpanı \( r = 4 \) ise, bu dizinin 4. terimi \( a_4 \) kaçtır? 🚀
👉 Geometrik dizilerde her terim, bir önceki terimin sabit bir sayı (ortak çarpan) ile çarpılmasıyla elde edilir.
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
- 📌 Geometrik Dizi Genel Terim Formülü: Bir geometrik dizinin \( n \). terimi \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \) formülü ile bulunur.
- ✅ Verilenleri Yerine Yazma:
- İlk terim \( a_1 = 2 \)
- Ortak çarpan \( r = 4 \)
- Aradığımız terim \( n = 4 \)
- 💡 Hesaplama: Formülde verilen değerleri yerine yazarsak: \[ a_4 = 2 \cdot 4^{4-1} \] \[ a_4 = 2 \cdot 4^3 \] \[ a_4 = 2 \cdot 64 \] \[ a_4 = 128 \]
Örnek 3:
Bir aritmetik dizide 3. terim \( a_3 = 10 \) ve 8. terim \( a_8 = 30 \) olduğuna göre, bu dizinin 12. terimi \( a_{12} \) kaçtır? 🤔
💡 Aritmetik dizilerde iki terim arasındaki fark, ortak farkın katıdır.
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
- 📌 Ortak Farkı Bulma: Aritmetik dizide \( a_m = a_n + (m-n)d \) formülünü kullanabiliriz. \[ a_8 = a_3 + (8-3)d \] \[ 30 = 10 + 5d \] \[ 20 = 5d \] \[ d = 4 \] Ortak fark 4'tür.
- ✅ 12. Terimi Hesaplama: Şimdi 12. terimi bulmak için \( a_8 \) terimini ve ortak farkı kullanabiliriz: \[ a_{12} = a_8 + (12-8)d \] \[ a_{12} = 30 + 4d \] \[ a_{12} = 30 + 4 \cdot 4 \] \[ a_{12} = 30 + 16 \] \[ a_{12} = 46 \]
Örnek 4:
Bir geometrik dizide 2. terim \( a_2 = 6 \) ve 5. terim \( a_5 = 48 \) olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı \( r \) kaçtır? 🚀
💡 Geometrik dizilerde iki terim arasındaki oran, ortak çarpanın kuvvetidir.
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
- 📌 Ortak Çarpanı Bulma: Geometrik dizide \( a_m = a_n \cdot r^{m-n} \) formülünü kullanabiliriz. \[ a_5 = a_2 \cdot r^{5-2} \] \[ 48 = 6 \cdot r^3 \] \[ \frac{48}{6} = r^3 \] \[ 8 = r^3 \]
- ✅ \( r \) Değerini Bulma: Hangi sayının küpü 8'dir? \[ r = \sqrt[3]{8} \] \[ r = 2 \]
Örnek 5:
Elif, her ay kumbarasına bir önceki aydan 15 TL daha fazla para atarak birikim yapmaktadır. 💰 İlk ay kumbarasına 20 TL attığına göre, 6. ayın sonunda kumbarasında biriken toplam para miktarı kaç TL olur?
👉 Bu birikim yöntemi, aritmetik diziye güzel bir örnektir.
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 📌 Diziyi Tanımlama:
- İlk ay atılan para \( a_1 = 20 \) TL.
- Her ay eklenen sabit miktar (ortak fark) \( d = 15 \) TL.
- Bu bir aritmetik dizidir.
- ✅ İlk 6 Terimi Bulma:
- \( a_1 = 20 \)
- \( a_2 = 20 + 15 = 35 \)
- \( a_3 = 35 + 15 = 50 \)
- \( a_4 = 50 + 15 = 65 \)
- \( a_5 = 65 + 15 = 80 \)
- \( a_6 = 80 + 15 = 95 \)
- 💡 Toplamı Hesaplama: İlk 6 ayda biriken toplam parayı bulmak için bu terimleri toplarız: \[ S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \] \[ S_6 = 20 + 35 + 50 + 65 + 80 + 95 \] \[ S_6 = 345 \]
- 📌 Alternatif (Aritmetik Dizi Toplam Formülü): İlk \( n \) terim toplamı \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \) formülüyle de bulunabilir. \[ S_6 = \frac{6}{2}(20 + 95) \] \[ S_6 = 3(115) \] \[ S_6 = 345 \]
Örnek 6:
Bir kasabada nüfus her yıl %10 oranında artmaktadır. 📈 Başlangıçta 10.000 kişi olan bu kasabanın nüfusu 3 yıl sonra yaklaşık kaç kişi olur?
👉 Bu tür sabit oranlı artışlar, geometrik dizi mantığıyla modellenebilir.
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 📌 Diziyi Tanımlama:
- Başlangıç nüfus \( a_0 = 10.000 \) (genellikle 0. terim olarak alınır).
- Nüfus her yıl %10 artıyorsa, bir sonraki yıl nüfusun \( 100% + 10% = 110% \) 'u olur. Yani ortak çarpan \( r = 1.10 \).
- 3 yıl sonraki nüfus, başlangıçtan sonraki 3. terim olacaktır (\( a_3 \)).
- ✅ Nüfusu Hesaplama:
- 1. yıl sonu nüfusu (\( a_1 \)): \( 10.000 \cdot 1.10 = 11.000 \)
- 2. yıl sonu nüfusu (\( a_2 \)): \( 11.000 \cdot 1.10 = 12.100 \)
- 3. yıl sonu nüfusu (\( a_3 \)): \( 12.100 \cdot 1.10 = 13.310 \)
- 💡 Alternatif (Geometrik Dizi Genel Terim Formülü): Eğer başlangıç değerini \( a_1 \) olarak kabul edersek, 3 yıl sonraki değer \( a_4 \) olur. Veya daha yaygın olarak, başlangıç değerini \( P_0 \) ve \( t \) yıl sonraki değeri \( P_t \) olarak gösterirsek: \[ P_t = P_0 \cdot (1+oran)^t \] Burada \( P_0 = 10.000 \), oran \( = 0.10 \), \( t = 3 \) yıldır. \[ P_3 = 10.000 \cdot (1 + 0.10)^3 \] \[ P_3 = 10.000 \cdot (1.10)^3 \] \[ P_3 = 10.000 \cdot 1.331 \] \[ P_3 = 13.310 \]
Örnek 7:
Bir mühendis, bir köprü inşaatında kullanılan çelik halatların uzunluklarını belirli bir kurala göre tasarlamıştır. İlk halatın uzunluğu 8 metre, ikinci halatın uzunluğu 12 metre ve üçüncü halatın uzunluğu 18 metredir. 🌉 Bu kurala göre devam eden halat uzunlukları bir dizi oluşturduğuna göre, beşinci halatın uzunluğu kaç metre olur?
💡 Bu tür problemler, dizinin türünü (aritmetik mi, geometrik mi?) belirlemeyi gerektirir.
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 📌 Dizi Terimlerini Belirleme:
- \( a_1 = 8 \)
- \( a_2 = 12 \)
- \( a_3 = 18 \)
- ✅ Dizinin Türünü Belirleme:
- Aritmetik mi? Terimler arasındaki farklara bakalım: \( a_2 - a_1 = 12 - 8 = 4 \) \( a_3 - a_2 = 18 - 12 = 6 \) Farklar sabit değil (\( 4 \neq 6 \)), bu yüzden dizi aritmetik değildir.
- Geometrik mi? Terimler arasındaki oranlara bakalım: \( \frac{a_2}{a_1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \) \( \frac{a_3}{a_2} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \) Oranlar sabit (\( \frac{3}{2} \)), bu yüzden dizi geometrik bir dizidir ve ortak çarpanı \( r = \frac{3}{2} \) 'dir.
- 💡 Beşinci Halatın Uzunluğunu Bulma: Geometrik dizinin genel terim formülü \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \) kullanılır. Biz \( a_5 \) 'i arıyoruz. \[ a_5 = a_1 \cdot r^{5-1} \] \[ a_5 = 8 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^4 \] \[ a_5 = 8 \cdot \frac{3^4}{2^4} \] \[ a_5 = 8 \cdot \frac{81}{16} \] \[ a_5 = \frac{8 \cdot 81}{16} \] \[ a_5 = \frac{81}{2} \] \[ a_5 = 40.5 \]
Örnek 8:
Bir top, 100 metre yükseklikten serbest bırakılıyor. 🏀 Yere her çarpışında bir önceki yüksekliğin \( \frac{3}{5} \) 'i kadar zıpladığına göre, topun 3. kez yere çarptıktan sonra ulaştığı maksimum yükseklik kaç metre olur?
💡 Bu problem, her adımda belirli bir oranda azalan bir geometrik dizi örneğidir.
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 📌 Dizi Terimlerini Tanımlama:
- İlk yükseklik (bırakıldığı an) \( H_0 = 100 \) metre.
- Ortak çarpan \( r = \frac{3}{5} \).
- Topun zıplama yükseklikleri bir geometrik dizi oluşturur.
- ✅ Zıplama Yüksekliklerini Hesaplama:
- 1. kez yere çarpışından sonraki yükseklik (\( H_1 \)): \[ H_1 = 100 \cdot \frac{3}{5} = 60 \text{ metre} \]
- 2. kez yere çarpışından sonraki yükseklik (\( H_2 \)): \[ H_2 = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36 \text{ metre} \]
- 3. kez yere çarpışından sonraki yükseklik (\( H_3 \)): \[ H_3 = 36 \cdot \frac{3}{5} = \frac{108}{5} = 21.6 \text{ metre} \]
- 💡 Genel Terimle Kontrol: Eğer ilk zıplama yüksekliğini \( a_1 \) olarak alırsak, 3. kez zıplamadan sonraki yükseklik \( a_3 \) olur. \[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \] \[ a_3 = 60 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{3-1} \] \[ a_3 = 60 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 \] \[ a_3 = 60 \cdot \frac{9}{25} \] \[ a_3 = \frac{540}{25} \] \[ a_3 = 21.6 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-nicelikler-ve-degisimler/sorular