🖨️ Yazdır / PDF İndir
Bir öğrencinin gardırobunda 4 farklı gömleği ve 3 farklı pantolonu bulunmaktadır. 👕👖
Bu öğrenci, bir gömlek ve bir pantolonu kaç farklı şekilde seçip giyebilir?
Bu soruda çarpma yoluyla sayma prensibini kullanmalıyız. ✅
Gömlek seçimi için \( 4 \) farklı seçenek vardır.
Pantolon seçimi için \( 3 \) farklı seçenek vardır.
Her bir gömlek seçimi için ayrı ayrı pantolon seçimi yapılabileceği için toplam seçim sayısı:
\[ 4 \times 3 = 12 \]
👉 Sonuç olarak öğrenci 12 farklı kombinasyon oluşturabilir.
Bir kütüphane rafına 5 farklı matematik kitabı yan yana dizilecektir. 📚
Bu kitaplar kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Bu bir permütasyon (sıralama) problemidir. 💡
Elimizde \( n = 5 \) adet farklı nesne bulunmaktadır.
Bu nesnelerin tamamının yan yana sıralanışı \( n! \) (n faktöriyel) formülü ile hesaplanır.
Hesaplama adımları:
\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]
\[ 5! = 120 \]
✅ Kitaplar raf üzerinde 120 farklı şekilde dizilebilir.
Bir basketbol takımında bulunan 8 oyuncu arasından, sahaya çıkacak 5 kişilik bir başlangıç kadrosu seçilecektir. 🏀
Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? (Oyuncuların sahadaki pozisyonları önemsizdir.)
Sıralama önemli olmadığı, sadece grup seçimi yapıldığı için kombinasyon formülünü kullanırız. 📌
Toplam oyuncu sayısı: \( n = 8 \)
Seçilecek oyuncu sayısı: \( r = 5 \)
Kombinasyon formülü: \( C(n, r) = \frac{n!}{r! \times (n-r)!} \)
Hesaplama:
\[ C(8, 5) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \]
\[ C(8, 5) = 8 \times 7 = 56 \]
✅ Takım kadrosu 56 farklı şekilde oluşturulabilir.
Bir akıllı telefonun giriş şifresi 4 haneli rakamlardan oluşmaktadır. 📱
Şifresini unutmamak için rakamları birbirinden farklı seçmek isteyen bir kullanıcı, kaç farklı şifre oluşturabilir?
Bu problemde sayma algoritması mantığını kullanarak adım adım ilerleyelim: 🔢
1. hane için: \( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \) olmak üzere 10 seçenek vardır.
2. hane için: Rakamlar farklı olacağı için kalan 9 seçenekten biri seçilir.
3. hane için: Kalan 8 seçenekten biri seçilir.
4. hane için: Kalan 7 seçenekten biri seçilir.
Çarpma kuralına göre toplam şifre sayısı:
\[ 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 \]
👉 Kullanıcı 5040 farklı şifre belirleyebilir.
Bir kargo robotu, karelere bölünmüş bir depo zemininde sadece sağa (S) ve yukarı (Y) hareket edebilmektedir. 🤖
Robot, bulunduğu noktadan 3 birim sağa ve 2 birim yukarıdaki hedefe gitmek zorundadır. Robot hedefe kaç farklı rotadan ulaşabilir?
Bu soru bir tekrarlı permütasyon problemidir. 🧩
Robotun toplamda \( 3 + 2 = 5 \) hamle yapması gerekir.
Bu hamlelerin 3 tanesi S (sağ), 2 tanesi Y (yukarı) harfidir. Yani "SSSYY" diziliminin farklı sıralanışlarını bulmalıyız.
Formül: \( \frac{n!}{n1! \times n2!} \)
\[ \frac{5!}{3! \times 2!} \]
\[ \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
✅ Robot hedefe 10 farklı yoldan gidebilir.
Binom açılımı kurallarını kullanarak \( (x + 2)^5 \) ifadesinin açılımında \( x^3 \) lü terimin katsayısını bulunuz. 📐
Binom açılımında genel terim formülü: \( \binom{n}{r} \times a^{n-r} \times b^r \) şeklindedir. 🔍
İfademiz: \( (x + 2)^5 \)
Burada \( n = 5 \), \( a = x \) ve \( b = 2 \)'dir.
\( x^3 \) lü terimi bulmak için \( n - r = 3 \) olmalıdır. Buradan \( 5 - r = 3 \) ise \( r = 2 \) bulunur.
Terimi hesaplayalım:
\[ \binom{5}{2} \times x^3 \times 2^2 \]
\[ 10 \times x^3 \times 4 = 40x^3 \]
✅ Katsayı 40 olarak bulunur.
Bir pizza restoranında "Kendi Pizzanı Yap" kampanyası vardır. Müşteriler sunulan 6 farklı malzemeden (sucuk, mantar, mısır, zeytin, biber, salam) en az 1, en fazla 2 malzeme seçebilmektedir. 🍕
Bir müşteri kaç farklı pizza seçeneğine sahiptir?
Müşterinin iki farklı durumu vardır: 1 malzeme seçmek veya 2 malzeme seçmek. 👨🍳
Durum 1: 6 malzemeden 1 tane seçilmesi.
\[ C(6, 1) = 6 \]
Durum 2: 6 malzemeden 2 tane seçilmesi.
\[ C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]
Toplam seçenek sayısı için bu durumları toplarız:
\[ 6 + 15 = 21 \]
✅ Müşteri 21 farklı şekilde pizza siparişi verebilir.
Bir yazılım algoritması, 5 basamaklı ve rakamları toplamı 3 olan kaç farklı doğal sayı olduğunu hesaplayacaktır. 💻
Bu algoritmanın bulacağı sonuç kaçtır? (Sayının ilk basamağı 0 olamaz.)
Rakamları toplamı 3 olan 5 basamaklı sayıları gruplandıralım: 📝
Grup 1: {3, 0, 0, 0, 0} rakamları.Sadece 30000 sayısı yazılabilir. (1 adet)
Grup 2: {2, 1, 0, 0, 0} rakamları.İlk basamak 2 ise: {1, 0, 0, 0} sıralanışı \( \frac{4!}{3!} = 4 \) adet.
İlk basamak 1 ise: {2, 0, 0, 0} sıralanışı \( \frac{4!}{3!} = 4 \) adet. (Toplam 8 adet)
Grup 3: {1, 1, 1, 0, 0} rakamları.İlk basamak 1 olmalıdır: Kalan {1, 1, 0, 0} sıralanışı \( \frac{4!}{2! \times 2!} = 6 \) adet.
Toplam sayı adedi:
\[ 1 + 8 + 6 = 15 \]
✅ Algoritma 15 sonucunu bulacaktır.
10. Sınıf Matematik: Nicelikler ve değişimler, sayma algoritma ve bilişim Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir öğrencinin gardırobunda 4 farklı gömleği ve 3 farklı pantolonu bulunmaktadır. 👕👖
Bu öğrenci, bir gömlek ve bir pantolonu kaç farklı şekilde seçip giyebilir?
Çözüm:
Bu soruda çarpma yoluyla sayma prensibini kullanmalıyız. ✅
Gömlek seçimi için \( 4 \) farklı seçenek vardır.
Pantolon seçimi için \( 3 \) farklı seçenek vardır.
Her bir gömlek seçimi için ayrı ayrı pantolon seçimi yapılabileceği için toplam seçim sayısı:
\[ 4 \times 3 = 12 \]
👉 Sonuç olarak öğrenci 12 farklı kombinasyon oluşturabilir.
Örnek 2:
Bir kütüphane rafına 5 farklı matematik kitabı yan yana dizilecektir. 📚
Bu kitaplar kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm:
Bu bir permütasyon (sıralama) problemidir. 💡
Elimizde \( n = 5 \) adet farklı nesne bulunmaktadır.
Bu nesnelerin tamamının yan yana sıralanışı \( n! \) (n faktöriyel) formülü ile hesaplanır.
Hesaplama adımları:
\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]
\[ 5! = 120 \]
✅ Kitaplar raf üzerinde 120 farklı şekilde dizilebilir.
Örnek 3:
Bir basketbol takımında bulunan 8 oyuncu arasından, sahaya çıkacak 5 kişilik bir başlangıç kadrosu seçilecektir. 🏀
Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? (Oyuncuların sahadaki pozisyonları önemsizdir.)
Çözüm:
Sıralama önemli olmadığı, sadece grup seçimi yapıldığı için kombinasyon formülünü kullanırız. 📌
Toplam oyuncu sayısı: \( n = 8 \)
Seçilecek oyuncu sayısı: \( r = 5 \)
Kombinasyon formülü: \( C(n, r) = \frac{n!}{r! \times (n-r)!} \)
Hesaplama:
\[ C(8, 5) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \]
\[ C(8, 5) = 8 \times 7 = 56 \]
✅ Takım kadrosu 56 farklı şekilde oluşturulabilir.
Örnek 4:
Bir akıllı telefonun giriş şifresi 4 haneli rakamlardan oluşmaktadır. 📱
Şifresini unutmamak için rakamları birbirinden farklı seçmek isteyen bir kullanıcı, kaç farklı şifre oluşturabilir?
Çözüm:
Bu problemde sayma algoritması mantığını kullanarak adım adım ilerleyelim: 🔢
1. hane için: \( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \) olmak üzere 10 seçenek vardır.
2. hane için: Rakamlar farklı olacağı için kalan 9 seçenekten biri seçilir.
3. hane için: Kalan 8 seçenekten biri seçilir.
4. hane için: Kalan 7 seçenekten biri seçilir.
Çarpma kuralına göre toplam şifre sayısı:
\[ 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 \]
👉 Kullanıcı 5040 farklı şifre belirleyebilir.
Örnek 5:
Bir kargo robotu, karelere bölünmüş bir depo zemininde sadece sağa (S) ve yukarı (Y) hareket edebilmektedir. 🤖
Robot, bulunduğu noktadan 3 birim sağa ve 2 birim yukarıdaki hedefe gitmek zorundadır. Robot hedefe kaç farklı rotadan ulaşabilir?
Çözüm:
Bu soru bir tekrarlı permütasyon problemidir. 🧩
Robotun toplamda \( 3 + 2 = 5 \) hamle yapması gerekir.
Bu hamlelerin 3 tanesi S (sağ), 2 tanesi Y (yukarı) harfidir. Yani "SSSYY" diziliminin farklı sıralanışlarını bulmalıyız.
Formül: \( \frac{n!}{n1! \times n2!} \)
\[ \frac{5!}{3! \times 2!} \]
\[ \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
✅ Robot hedefe 10 farklı yoldan gidebilir.
Örnek 6:
Binom açılımı kurallarını kullanarak \( (x + 2)^5 \) ifadesinin açılımında \( x^3 \) lü terimin katsayısını bulunuz. 📐
Çözüm:
Binom açılımında genel terim formülü: \( \binom{n}{r} \times a^{n-r} \times b^r \) şeklindedir. 🔍
İfademiz: \( (x + 2)^5 \)
Burada \( n = 5 \), \( a = x \) ve \( b = 2 \)'dir.
\( x^3 \) lü terimi bulmak için \( n - r = 3 \) olmalıdır. Buradan \( 5 - r = 3 \) ise \( r = 2 \) bulunur.
Terimi hesaplayalım:
\[ \binom{5}{2} \times x^3 \times 2^2 \]
\[ 10 \times x^3 \times 4 = 40x^3 \]
✅ Katsayı 40 olarak bulunur.
Örnek 7:
Bir pizza restoranında "Kendi Pizzanı Yap" kampanyası vardır. Müşteriler sunulan 6 farklı malzemeden (sucuk, mantar, mısır, zeytin, biber, salam) en az 1, en fazla 2 malzeme seçebilmektedir. 🍕
Bir müşteri kaç farklı pizza seçeneğine sahiptir?
Çözüm:
Müşterinin iki farklı durumu vardır: 1 malzeme seçmek veya 2 malzeme seçmek. 👨🍳
Durum 1: 6 malzemeden 1 tane seçilmesi.
\[ C(6, 1) = 6 \]
Durum 2: 6 malzemeden 2 tane seçilmesi.
\[ C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]
Toplam seçenek sayısı için bu durumları toplarız:
\[ 6 + 15 = 21 \]
✅ Müşteri 21 farklı şekilde pizza siparişi verebilir.
Örnek 8:
Bir yazılım algoritması, 5 basamaklı ve rakamları toplamı 3 olan kaç farklı doğal sayı olduğunu hesaplayacaktır. 💻
Bu algoritmanın bulacağı sonuç kaçtır? (Sayının ilk basamağı 0 olamaz.)
Çözüm:
Rakamları toplamı 3 olan 5 basamaklı sayıları gruplandıralım: 📝
Grup 1: {3, 0, 0, 0, 0} rakamları.Sadece 30000 sayısı yazılabilir. (1 adet)
Grup 2: {2, 1, 0, 0, 0} rakamları.İlk basamak 2 ise: {1, 0, 0, 0} sıralanışı \( \frac{4!}{3!} = 4 \) adet.
İlk basamak 1 ise: {2, 0, 0, 0} sıralanışı \( \frac{4!}{3!} = 4 \) adet. (Toplam 8 adet)
Grup 3: {1, 1, 1, 0, 0} rakamları.İlk basamak 1 olmalıdır: Kalan {1, 1, 0, 0} sıralanışı \( \frac{4!}{2! \times 2!} = 6 \) adet.
Toplam sayı adedi:
\[ 1 + 8 + 6 = 15 \]
✅ Algoritma 15 sonucunu bulacaktır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-nicelikler-ve-degisimler-sayma-algoritma-ve-bilisim/sorular
İçerik Hazırlanıyor...
Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.