💡 10. Sınıf Matematik: Nicelikler ve değişimler: Doğrusal, karesel, karekök, rasyonel fonksiyonlar ve türevleri ile denklem ve eşitsizlik problemleri Çözümlü Örnekler

Bu problemde, firmanın günlük gelirini bulmak için bilet fiyatı ile taşınan yolcu sayısını çarpmamız gerekmektedir. Gelir fonksiyonu G(x) ile gösterilsin.

• Adım 1: Gelir fonksiyonunu tanımlayalım. Gelir, bilet fiyatı ile yolcu sayısının çarpımıdır.
• Adım 2: Bilet fiyatı x TL ve yolcu sayısı f(x) = -5x + 100 olarak verilmiş.
• Adım 3: Gelir fonksiyonunu oluşturalım: G(x) = x * f(x)
• Adım 4: Verilen yolcu fonksiyonunu yerine koyalım: G(x) = x * (-5x + 100)
• Adım 5: Fonksiyonu dağılma özelliğini kullanarak açalım: G(x) = -5x^2 + 100x

Böylece firmanın günlük gelirini veren fonksiyon G(x) = -5x^2 + 100x olarak bulunur. 💡 Bu bir karesel fonksiyondur.

Bu soruda, verilen gübre miktarına karşılık gelen domates verimini hesaplamamız isteniyor. Karekök fonksiyonunun nasıl çalıştığını anlamak önemlidir. 👉

• Adım 1: Verilen verim fonksiyonu V(m) = 10\sqrt{m}'dir.
• Adım 2: Çiftçinin kullandığı gübre miktarı m = 81 kg olarak verilmiş.
• Adım 3: Bu değeri verim fonksiyonunda yerine koyarak domates miktarını hesaplayalım: V(81) = 10\sqrt{81}
• Adım 4: Karekök işlemini yapalım: \sqrt{81} = 9
• Adım 5: Sonucu hesaplayalım: V(81) = 10 * 9 = 90

Çiftçi 81 kg gübre kullandığında 90 kg domates elde eder. ✅ Bu bir karekök fonksiyon örneğidir.

Bu problemde, hareketlinin belirli bir zamandaki konumunu bulmak için verilen fonksiyonu kullanacağız. Bu, doğrusal olmayan bir hareketin modellenmesidir. 🚀

• Adım 1: Hareketlinin aldığı yolu veren fonksiyon s(t) = 2t^2 + 3t'dir.
• Adım 2: Zaman t = 4 saniye olarak verilmiş.
• Adım 3: Bu zaman değerini fonksiyonumuza yerleştirelim: s(4) = 2(4)^2 + 3(4)
• Adım 4: Üslü ifadeyi hesaplayalım: 4^2 = 16
• Adım 5: Fonksiyondaki değerleri yerine koyarak işlemi tamamlayalım: s(4) = 2(16) + 12 = 32 + 12 = 44

Hareketli 4 saniye sonra 44 metre konumunda olur. 📌 Bu bir karesel fonksiyon örneğidir.

Kar edebilmek için toplam gelir, toplam maliyeti aşmalıdır. Bu bir eşitsizlik problemidir. 📈

• Adım 1: Toplam maliyet fonksiyonu M(x) = 500 + 2x olarak verilmiş.
• Adım 2: Toplam gelir fonksiyonunu bulalım. Gelir = (Satış Fiyatı) * (Üretilen Adet).
• Adım 3: Gelir fonksiyonu G(x) = 10x olur.
• Adım 4: Kar etmek için G(x) > M(x) olmalıdır.
• Adım 5: Eşitsizliği kuralım: 10x > 500 + 2x
• Adım 6: Eşitsizliği çözelim: 10x - 2x > 500 8x > 500 x > 500 / 8 x > 62.5

Ürün kar edebilmesi için 62.5'ten fazla sayıda üretilip satılmalıdır. Üretim adetleri tam sayı olacağından, en az 63 adet üretilip satılmalıdır. 💡 Bu bir doğrusal fonksiyon ve eşitsizlik problemidir.

Bu problemde, belirli bir zaman aralığındaki ortalama değeri bulmak için fonksiyonun o aralıktaki değerlerini kullanacağız. 📊

• Adım 1: Kullanıcı sayısı fonksiyonu N(t) = \frac{10000}{t+1}'dir.
• Adım 3: İlk 3 ay demek, t=0'dan t=3'e kadar olan zaman dilimi demektir.
• Adım 4: Bu zaman dilimindeki kullanıcı sayılarını hesaplayalım:
• t=0 için: N(0) = \frac{10000}{0+1} = 10000
• t=1 için: N(1) = \frac{10000}{1+1} = 5000
• t=2 için: N(2) = \frac{10000}{2+1} = \frac{10000}{3} \approx 3333
• t=3 için: N(3) = \frac{10000}{3+1} = 2500
• Adım 5: Bu değerlerin ortalamasını alalım: Ortalama = \frac{10000 + 5000 + 3333 + 2500}{4} = \frac{20833}{4} \approx 5208.25

Uygulamanın ilk 3 ayındaki ortalama kullanıcı sayısı yaklaşık 5208'dir. 👉 Bu, rasyonel bir fonksiyon örneğidir.

Bu problemde, bir ürünün satış fiyatına bağlı olarak elde edilen geliri modelleyen bir fonksiyon oluşturacağız. 💰

• Adım 1: Gelir, satış fiyatı ile satılan ürün adedinin çarpımıdır.
• Adım 2: Satış fiyatı p TL ve haftalık satış adedi s(p) = 300 - 0.5p olarak verilmiş.
• Adım 3: Haftalık gelir fonksiyonunu G(p) ile gösterelim.
• Adım 4: Gelir fonksiyonunu oluşturalım: G(p) = p * s(p)
• Adım 5: Satış adedi fonksiyonunu yerine koyalım: G(p) = p * (300 - 0.5p)
• Adım 6: Fonksiyonu dağılma özelliğini kullanarak açalım: G(p) = 300p - 0.5p^2

Bu ayakkabının satışından elde edilen haftalık gelir fonksiyonu G(p) = -0.5p^2 + 300p'dir. 💡 Bu, karesel bir fonksiyon örneğidir.

Kar edebilmek için gelir, maliyetten büyük olmalıdır. Bu, bir eşitsizlik problemidir ve karekök fonksiyonunu içermektedir. 🧮

• Adım 1: Maliyet fonksiyonu C(x) = \sqrt{x} + 50 olarak verilmiş.
• Adım 2: Toplam gelir G = 20 TL olarak verilmiş.
• Adım 3: Kar edebilmek için G > C(x) olmalıdır.
• Adım 4: Eşitsizliği kuralım: 20 > \sqrt{x} + 50
• Adım 5: Eşitsizliği çözelim: 20 - 50 > \sqrt{x} -30 > \sqrt{x}

Ancak, karekök fonksiyonunun sonucu her zaman pozitif veya sıfır olmalıdır (\sqrt{x} \ge 0). Bu durumda, -30 > \sqrt{x} eşitsizliğinin gerçek sayılarda bir çözümü yoktur. Bu, şirketin 20 TL gelirle asla kar edemeyeceği anlamına gelir. ❌ Bu, karekök fonksiyonu ve eşitsizliklerin birlikte kullanıldığı bir örnektir.

Bu problem, rasyonel fonksiyonların günlük hayatta nasıl kullanıldığına dair basit bir örnektir. 🌐

• Adım 1: Aylık ücreti veren fonksiyon F(h) = \frac{100}{h} + 15 olarak verilmiş.
• Adım 2: Kullanıcının seçtiği hız h = 50 Mbps'dir.
• Adım 3: Bu değeri fonksiyonumuzda yerine koyarak aylık ödemeyi hesaplayalım: F(50) = \frac{100}{50} + 15
• Adım 4: Bölme işlemini yapalım: \frac{100}{50} = 2
• Adım 5: Sonucu hesaplayalım: F(50) = 2 + 15 = 17

Kullanıcı 50 Mbps hızında bir paket seçerse, aylık 17 TL ödeme yapar. ✅ Bu, rasyonel bir fonksiyon örneğidir.