🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Nesneleri Sıralama Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Nesneleri Sıralama Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirinden farklı 5 matematik ve 3 fizik kitabını bir rafa kaç farklı şekilde dizebiliriz? 📚
Çözüm:
Bu problemde kitapları sıralama söz konusu olduğu için permütasyon kullanacağız.
- Toplamda 5 matematik + 3 fizik = 8 farklı kitap bulunmaktadır.
- Bu 8 kitabı bir rafa dizmenin farklı yollarını bulmak için 8'in 8'li permütasyonunu hesaplarız.
- Bu da \( P(8,8) = 8! \) şeklinde hesaplanır.
- \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \) farklı şekilde dizilebilirler.
Örnek 2:
5 kişilik bir öğrenci grubundan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir? 🧑🤝🧑
Çözüm:
Bu problemde seçim yaparken sıra önemli olmadığı için kombinasyon kullanacağız.
- Seçeceğimiz kişi sayısı \( k = 3 \) ve grubun toplam kişi sayısı \( n = 5 \) 'tir.
- Kombinasyon formülü \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) şeklindedir.
- Burada \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} \) olur.
- Hesaplama: \( \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \) farklı komite seçilebilir.
Örnek 3:
Bir torbada 4 mavi, 5 kırmızı ve 3 yeşil bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir bilye çekildiğinde, çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı kaçtır? 🔴🔵🟢
Çözüm:
Olasılık hesaplaması için istenen durum sayısını tüm olası durum sayısına böleriz.
- Torbadaki toplam bilye sayısı: \( 4 + 5 + 3 = 12 \)
- Kırmızı bilye sayısı (istenen durum): \( 5 \)
- Rastgele bir bilye çekildiğinde kırmızı gelme olasılığı: \( P(\text{Kırmızı}) = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}} \)
- Bu durumda olasılık \( P(\text{Kırmızı}) = \frac{5}{12} \) olur.
Örnek 4:
3 farklı anahtar ve 3 farklı kilit bulunmaktadır. Her anahtar sadece bir kilidi açabilmektedir. Anahtarları kilitlere kaç farklı şekilde eşleştirebiliriz? 🔑🔒
Çözüm:
Bu, anahtarları kilitle eşleştirme problemidir ve sıralama (permütasyon) içerir.
- İlk anahtar için 3 farklı kilitten birini seçebiliriz.
- İkinci anahtar için geriye kalan 2 kilitten birini seçebiliriz.
- Üçüncü anahtar için ise kalan son 1 kilidi seçebiliriz.
- Toplam farklı eşleştirme sayısı \( 3 \times 2 \times 1 = 3! \) olur.
- \( 3! = 6 \) farklı şekilde eşleştirme yapılabilir.
Örnek 5:
Bir grup arkadaş sinemaya gitmek istiyor. Aralarında Ali, Veli, Ayşe ve Zeynep var. Bu dört kişiden ikisinin yan yana oturacağı kaç farklı oturma düzeni olabilir? (Toplam 4 koltuk var ve koltuklar yan yana.) 🎬
Çözüm:
Bu problemde hem seçme hem de sıralama söz konusudur.
- Önce yan yana oturacak 2 kişiyi seçmeliyiz. Bu \( C(4, 2) \) şeklinde hesaplanır. \( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6 \) farklı ikili seçilebilir.
- Seçilen bu iki kişi kendi içinde 2! şekilde yer değiştirebilir. \( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
- Kalan 2 kişi de kendi içinde 2! şekilde yer değiştirebilir. \( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
- Toplam farklı oturma düzeni sayısı: (İkili seçimi) x (İkili kendi içinde sıralanması) x (Kalanlar kendi içinde sıralanması)
- \( 6 \times 2 \times 2 = 24 \) farklı oturma düzeni olabilir.
Örnek 6:
4 matematik, 3 fizik ve 2 kimya kitabı arasından 1 matematik, 1 fizik ve 1 kimya kitabı seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? ⚗️
Çözüm:
Bu problemde her bir ders için ayrı ayrı seçim yapılıp, sonra bu seçimler çarpılacaktır.
- Matematik kitabı seçimi: 4 farklı seçenek var. \( C(4,1) = 4 \)
- Fizik kitabı seçimi: 3 farklı seçenek var. \( C(3,1) = 3 \)
- Kimya kitabı seçimi: 2 farklı seçenek var. \( C(2,1) = 2 \)
- Toplam farklı seçim sayısı, bu seçeneklerin çarpımıdır: \( 4 \times 3 \times 2 = 24 \)
Örnek 7:
6 kişilik bir öğrenci grubundan, başkan, başkan yardımcısı ve üye seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? 👨⚖️👩⚖️
Çözüm:
Bu problemde seçilen kişilerin rolleri farklı olduğu için sıralama (permütasyon) önemlidir.
- Başkan seçimi için 6 farklı aday vardır.
- Başkan seçildikten sonra, başkan yardımcısı seçimi için geriye 5 aday kalır.
- Başkan ve başkan yardımcısı seçildikten sonra, üye seçimi için geriye 4 aday kalır.
- Toplam farklı seçim sayısı: \( 6 \times 5 \times 4 \)
- Bu da \( P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120 \) olarak hesaplanır.
Örnek 8:
Bir zar ve bir madeni para aynı anda atılıyor. Zarın tek sayı gelmesi ve paranın tura gelmesi olasılığı nedir? 🎲🪙
Çözüm:
Bu iki bağımsız olayın olasılığını hesaplayıp çarpmamız gerekir.
- Zarın tek sayı gelme olasılığı: Tek sayılar (1, 3, 5) olduğu için 3 olası durum vardır. Toplam 6 yüz olduğu için zarın tek sayı gelme olasılığı \( P(\text{Tek}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) 'dir.
- Madeni paranın tura gelme olasılığı: Madeni paranın 2 yüzü (yazı, tura) vardır. Tura gelme olasılığı \( P(\text{Tura}) = \frac{1}{2} \) 'dir.
- Her iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının çarpımıdır: \( P(\text{Tek ve Tura}) = P(\text{Tek}) \times P(\text{Tura}) \)
- \( P(\text{Tek ve Tura}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-nesneleri-siralama/sorular