🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Mutlak Deger Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Mutlak Deger Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( |x| \) ifadesinin mutlak değerin ne anlama geldiğini açıklayınız.
Çözüm:
- Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerinde başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığı anlamına gelir.
- Uzaklık negatif olamayacağı için, mutlak değerin sonucu her zaman pozitif veya sıfırdır.
- Yani, \( |x| \) ifadesi, x sayısının sıfıra olan uzaklığını temsil eder.
- Örneğin, \( |5| = 5 \) çünkü 5'in sıfıra uzaklığı 5 birimdir.
- Aynı şekilde, \( |-5| = 5 \) çünkü -5'in de sıfıra uzaklığı 5 birimdir.
Örnek 2:
\( |7| \) ve \( |-12| \) ifadelerinin değerlerini hesaplayınız.
Çözüm:
- İlk olarak \( |7| \) ifadesini ele alalım. 7 sayısı pozitif olduğu için, mutlak değerin dışına olduğu gibi çıkar.
- Bu nedenle, \( |7| = 7 \) olur.
- Şimdi \( |-12| \) ifadesine bakalım. -12 sayısı negatiftir. Mutlak değerin içine aldığı negatif sayılar, dışarıya pozitif olarak çıkar.
- Bu nedenle, \( |-12| = 12 \) olur.
Örnek 3:
\( |x - 3| = 5 \) denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
Çözüm:
- Mutlak değerin tanımına göre, \( |a| = b \) ise \( a = b \) veya \( a = -b \) olmalıdır.
- Bu prensibi denklemimize uygulayalım:
- Durum 1: \( x - 3 = 5 \)
- Her iki tarafa 3 ekleyelim: \( x - 3 + 3 = 5 + 3 \)
- Buradan \( x = 8 \) bulunur.
- Durum 2: \( x - 3 = -5 \)
- Her iki tarafa 3 ekleyelim: \( x - 3 + 3 = -5 + 3 \)
- Buradan \( x = -2 \) bulunur.
- Dolayısıyla, denklemi sağlayan x değerleri 8 ve -2'dir.
Örnek 4:
\( |2x + 1| = 9 \) denklemini sağlayan x değerlerinin toplamını bulunuz.
Çözüm:
- Mutlak değerin özelliklerini kullanarak denklemi iki ayrı duruma ayırırız.
- Durum 1: \( 2x + 1 = 9 \)
- 1'i karşıya atalım: \( 2x = 9 - 1 \)
- \( 2x = 8 \)
- Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x = 4 \)
- Durum 2: \( 2x + 1 = -9 \)
- 1'i karşıya atalım: \( 2x = -9 - 1 \)
- \( 2x = -10 \)
- Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x = -5 \)
- Bulduğumuz x değerleri 4 ve -5'tir. Bu değerlerin toplamını hesaplayalım:
- \( 4 + (-5) = 4 - 5 = -1 \)
Örnek 5:
Bir tam sayının mutlak değeri, o tam sayının kendisinden büyük veya eşit olabilir mi? Açıklayınız.
Çözüm:
- Bir sayının mutlak değeri, o sayının sıfıra olan uzaklığıdır. Uzaklık her zaman pozitif veya sıfırdır.
- Eğer sayı pozitif ise, örneğin \( x = 5 \), o zaman \( |x| = |5| = 5 \) olur. Bu durumda \( |x| = x \) olur.
- Eğer sayı sıfır ise, örneğin \( x = 0 \), o zaman \( |x| = |0| = 0 \) olur. Bu durumda da \( |x| = x \) olur.
- Eğer sayı negatif ise, örneğin \( x = -5 \), o zaman \( |x| = |-5| = 5 \) olur. Bu durumda \( |x| > x \) olur (yani 5 > -5).
- Bu analizlere göre, bir tam sayının mutlak değeri, o tam sayının kendisinden büyük veya eşit olabilir.
Örnek 6:
Bir banka hesabındaki bakiye -50 TL olarak görünüyor. Bu durumun mutlak değer ile ilişkisini açıklayınız.
Çözüm:
- Hesabınızdaki -50 TL bakiyesi, bankanın size borçlu olduğunuzu veya hesabınızdan 50 TL eksik olduğunu gösterir.
- Bu durumun mutlak değeri ise \( |-50| \) olarak ifade edilir.
- Mutlak değer, sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığı belirttiği için, \( |-50| = 50 \) TL olur.
- Bu 50 TL, hesabınızdaki borcun büyüklüğünü veya harcanabilecek miktarın pozitif karşılığını ifade eder.
- Yani, hesabınızda 50 TL'lik bir eksiklik var, ancak bu eksikliğin büyüklüğü 50 TL'dir.
Örnek 7:
\( |x + 2| + |x - 1| = 5 \) denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
Çözüm:
- Bu tür denklemleri çözmek için kritik noktaları belirlememiz gerekir. Kritik noktalar, mutlak değerin içini sıfır yapan değerlerdir.
- \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)
- \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
- Bu kritik noktalar, sayı doğrusunu üç bölgeye ayırır: \( x < -2 \), \( -2 \le x < 1 \), ve \( x \ge 1 \). Her bölgede mutlak değerlerin işaretini belirleyip denklemi çözeriz.
- Bölge 1: \( x < -2 \)
- Bu bölgede \( x + 2 \) negatiftir, \( x - 1 \) de negatiftir.
- Denklem: \( -(x + 2) - (x - 1) = 5 \)
- \( -x - 2 - x + 1 = 5 \)
- \( -2x - 1 = 5 \)
- \( -2x = 6 \)
- \( x = -3 \). Bu değer \( x < -2 \) koşulunu sağlar. ✅
- Bölge 2: \( -2 \le x < 1 \)
- Bu bölgede \( x + 2 \) pozitiftir, \( x - 1 \) negatiftir.
- Denklem: \( (x + 2) - (x - 1) = 5 \)
- \( x + 2 - x + 1 = 5 \)
- \( 3 = 5 \). Bu bir çelişkidir, bu bölgede çözüm yoktur. ❌
- Bölge 3: \( x \ge 1 \)
- Bu bölgede \( x + 2 \) pozitiftir, \( x - 1 \) de pozitiftir.
- Denklem: \( (x + 2) + (x - 1) = 5 \)
- \( 2x + 1 = 5 \)
- \( 2x = 4 \)
- \( x = 2 \). Bu değer \( x \ge 1 \) koşulunu sağlar. ✅
- Denklemi sağlayan x değerleri -3 ve 2'dir.
Örnek 8:
Bir hareketli, başlangıç noktasından önce 5 birim sağa, sonra 3 birim sola hareket ediyor. Sonra tekrar 7 birim sağa hareket ediyor. Hareketlinin son konumu ile başlangıç noktası arasındaki toplam mesafe kaç birimdir?
Çözüm:
- Başlangıç noktasını 0 kabul edelim.
- İlk hareket: 5 birim sağa. Konum: \( +5 \).
- İkinci hareket: 3 birim sola. Konum: \( +5 - 3 = +2 \).
- Üçüncü hareket: 7 birim sağa. Konum: \( +2 + 7 = +9 \).
- Hareketlinin son konumu başlangıç noktasına göre +9'dur.
- Başlangıç noktası ile son konum arasındaki mesafe, son konumun mutlak değeridir.
- Mesafe = \( |+9| = 9 \) birim.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-mutlak-deger/sorular