🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Matematik 2. dönem 2. yazılı 4. senaryo Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Matematik 2. dönem 2. yazılı 4. senaryo Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Polinomlarda Çarpanlara Ayırma:
\( P(x) = x^2 - 8x + 15 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız. 💡
\( P(x) = x^2 - 8x + 15 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız. 💡
Çözüm:
Bu ifadeyi \( x^2 + (a+b)x + a \cdot b \) formunda düşünerek çarpanlarına ayıralım:
- Çarpımları sabit terim olan \( 15 \) sayısını, toplamları ise \( x \)'in katsayısı olan \( -8 \) sayısını veren iki sayı bulmalıyız.
- Bu sayılar \( -3 \) ve \( -5 \) sayılarıdır. Çünkü:
- \( (-3) \cdot (-5) = 15 \) ✅
- \( (-3) + (-5) = -8 \) ✅
- O halde ifade şu şekilde çarpanlarına ayrılır:
Örnek 2:
İkinci Dereceden Denklemler:
\( x^2 - 6x + 1 = 0 \) denkleminin diskriminantını (\( \Delta \)) hesaplayınız ve köklerinin varlığını inceleyiniz. 🔍
\( x^2 - 6x + 1 = 0 \) denkleminin diskriminantını (\( \Delta \)) hesaplayınız ve köklerinin varlığını inceleyiniz. 🔍
Çözüm:
Denklemin katsayılarını belirleyerek işe başlayalım:
- \( a = 1 \) ( \( x^2 \)'li terimin katsayısı )
- \( b = -6 \) ( \( x \)'li terimin katsayısı )
- \( c = 1 \) ( Sabit terim )
- Diskriminant formülümüz: \( \Delta = b^2 - 4ac \)
- Değerleri yerine yazalım:
- \( \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 \)
- \( \Delta = 36 - 4 = 32 \)
Örnek 3:
Çokgenler:
Bir dış açısının ölçüsü \( 40^\circ \) olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır? 📐
Bir dış açısının ölçüsü \( 40^\circ \) olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır? 📐
Çözüm:
Düzgün çokgenlerin özelliklerini hatırlayalım:
- Tüm düzgün çokgenlerin dış açılarının toplamı her zaman \( 360^\circ \)'dir.
- Bir dış açının ölçüsü \( \alpha \) ve kenar sayısı \( n \) ise formülümüz: \( \alpha = \frac{360^\circ}{n} \)
- Soruda verilen \( 40^\circ \) değerini formülde yerine koyalım:
- \( 40^\circ = \frac{360^\circ}{n} \)
- Buradan \( n \) değerini çekmek için: \( n = \frac{360}{40} \)
- \( n = 9 \) bulunur.
Örnek 4:
Dörtgenler (Paralelkenar):
Bir \( ABCD \) paralelkenarında ardışık iki açıdan birinin ölçüsü \( 2x + 10^\circ \), diğerinin ölçüsü ise \( 3x + 20^\circ \) olduğuna göre \( x \) kaçtır? 📏
Bir \( ABCD \) paralelkenarında ardışık iki açıdan birinin ölçüsü \( 2x + 10^\circ \), diğerinin ölçüsü ise \( 3x + 20^\circ \) olduğuna göre \( x \) kaçtır? 📏
Çözüm:
Paralelkenarın temel açı özelliklerini kullanalım:
- Paralelkenarda ardışık (komşu) iki iç açının toplamı her zaman \( 180^\circ \)'dir.
- Verilen açıları toplayıp \( 180 \)'e eşitleyelim:
- \( (2x + 10) + (3x + 20) = 180 \)
- Benzer terimleri toplayalım: \( 5x + 30 = 180 \)
- \( 30 \) sayısını karşıya atalım: \( 5x = 150 \)
- Her iki tarafı \( 5 \)'e bölelim: \( x = 30 \)
Örnek 5:
Kök-Katsayı İlişkisi:
\( x^2 - (m+1)x + 8 = 0 \) denkleminin köklerinden biri \( 2 \) olduğuna göre, \( m \) değerini ve denkleminin diğer kökünü bulunuz. 🧠
\( x^2 - (m+1)x + 8 = 0 \) denkleminin köklerinden biri \( 2 \) olduğuna göre, \( m \) değerini ve denkleminin diğer kökünü bulunuz. 🧠
Çözüm:
Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Kök, denklemi sağlamak zorundadır. \( x = 2 \) yazalım:
- \( 2^2 - (m+1) \cdot 2 + 8 = 0 \)
- \( 4 - 2m - 2 + 8 = 0 \Rightarrow 10 - 2m = 0 \Rightarrow m = 5 \)
- 2. Adım: Denklemi güncelleyelim: \( x^2 - 6x + 8 = 0 \)
- 3. Adım: Kökler çarpımı formülünü kullanalım: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)
- \( 2 \cdot x_2 = \frac{8}{1} \Rightarrow 2 \cdot x_2 = 8 \)
- \( x_2 = 4 \) bulunur.
Örnek 6:
Katı Cisimler (Prizma):
Bir kargo şirketi, boyutları \( 20 \) cm, \( 30 \) cm ve \( 40 \) cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir hediye kutusunun dış yüzeyini tamamen kaplayacaktır. Bu iş için en az kaç \( cm^2 \) kaplama kağıdı gereklidir? 📦
Bir kargo şirketi, boyutları \( 20 \) cm, \( 30 \) cm ve \( 40 \) cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir hediye kutusunun dış yüzeyini tamamen kaplayacaktır. Bu iş için en az kaç \( cm^2 \) kaplama kağıdı gereklidir? 📦
Çözüm:
Kutunun tüm dış yüzeyini kaplamak demek, prizmanın yüzey alanını hesaplamak demektir.
- Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı formülü: \( A = 2(ab + bc + ac) \)
- Boyutlarımız: \( a = 20 \), \( b = 30 \), \( c = 40 \) olsun.
- \( A = 2(20 \cdot 30 + 30 \cdot 40 + 20 \cdot 40) \)
- \( A = 2(600 + 1200 + 800) \)
- \( A = 2(2600) \)
- \( A = 5200 \)
Örnek 7:
Dörtgenler (Yamuk):
Alt taban uzunluğu \( 12 \) cm, üst taban uzunluğu \( 8 \) cm ve yüksekliği \( 6 \) cm olan bir yamuğun alanı kaç \( cm^2 \)'dir? 📐
Alt taban uzunluğu \( 12 \) cm, üst taban uzunluğu \( 8 \) cm ve yüksekliği \( 6 \) cm olan bir yamuğun alanı kaç \( cm^2 \)'dir? 📐
Çözüm:
Yamuğun alanını hesaplamak için standart formülümüzü kullanalım:
- Alan = \( \frac{(\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}) \cdot \text{Yükseklik}}{2} \)
- Verilenleri formülde yerine yazalım:
- Alt taban \( (a) = 12 \), Üst taban \( (c) = 8 \), Yükseklik \( (h) = 6 \)
- Alan = \( \frac{(12 + 8) \cdot 6}{2} \)
- Alan = \( \frac{20 \cdot 6}{2} \)
- Alan = \( \frac{120}{2} = 60 \)
Örnek 8:
Alan ve Çarpanlara Ayırma:
Bir kenar uzunluğu \( a \) birim olan kare şeklindeki bir bahçenin dört köşesinden, bir kenar uzunluğu \( 3 \) birim olan dört adet kare şeklinde küçük hobi alanları ayrılıyor. Bahçenin geri kalan kısmının alanını veren cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayrılmış şekilde bulunuz. 🌳
Bir kenar uzunluğu \( a \) birim olan kare şeklindeki bir bahçenin dört köşesinden, bir kenar uzunluğu \( 3 \) birim olan dört adet kare şeklinde küçük hobi alanları ayrılıyor. Bahçenin geri kalan kısmının alanını veren cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayrılmış şekilde bulunuz. 🌳
Çözüm:
Bu problemi geometrik olarak modelleyelim:
- Büyük bahçenin alanı: \( a \cdot a = a^2 \)
- Bir küçük hobi alanının alanı: \( 3 \cdot 3 = 9 \)
- 4 adet hobi alanı olduğu için toplam ayrılan alan: \( 4 \cdot 9 = 36 \)
- Geriye kalan alan: \( a^2 - 36 \)
- Bu ifadeyi "İki Kare Farkı" özdeşliği ile çarpanlarına ayıralım:
- \( a^2 - 36 = a^2 - 6^2 \)
- \( (a - 6)(a + 6) \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-matematik-2-donem-2-yazili-4-senaryo/sorular