💡 10. Sınıf Matematik: Maarif modeli permütasyon Çözümlü Örnekler

Bu problemde hem seçme hem de sıralama işlemi söz konusudur. Bu nedenle permütasyon kullanacağız. Adım 1: Seçme İşlemi* Öncelikle 5 renkten 3'ünü kaç farklı şekilde seçebileceğimizi bulmalıyız. Ancak permütasyon, seçme ve sıralamayı bir arada ele alır. Dolayısıyla doğrudan permütasyon formülünü kullanacağız. Adım 2: Sıralama İşlemi (Permütasyon)* n farklı nesne arasından r tanesinin seçilip sıralanması permütasyon ile bulunur. Formül: \( P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \) Burada \( n=5 \) (toplam tişört rengi sayısı) ve \( r=3 \) (seçilecek ve dizilecek tişört sayısıdır). Adım 3: Hesaplama* \( P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} \) \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \) \( 2! = 2 \times 1 = 2 \) \( P(5, 3) = \frac{120}{2} = 60 \) Yani, 5 farklı renkteki tişört arasından 3 tanesi 60 farklı şekilde seçilip yan yana dizilebilir. 💡

Bu soruda, iki farklı pozisyon için öğrenci seçimi yapılacaktır ve seçilen öğrencilerin sıralaması önemlidir (bir öğrenci temsilci, diğeri başkan yardımcısı olabilir). Bu durum permütasyon ile çözülür. Adım 1: Problemi Tanımlama* Toplam \( n=8 \) öğrenci bulunmaktadır. Seçilecek pozisyon sayısı \( r=2 \) (temsilci ve başkan yardımcısı). Önemli olan, seçilen öğrencilerin hangi pozisyonda olduğudur, yani sıralama önemlidir. Adım 2: Permütasyon Formülünü Uygulama* Permütasyon formülü: \( P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \) Burada \( n=8 \) ve \( r=2 \) değerlerini yerine koyalım. Adım 3: Hesaplama* \( P(8, 2) = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!} \) \( P(8, 2) = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} \) \( P(8, 2) = 8 \times 7 = 56 \) Dolayısıyla, okul temsilcisi ve başkan yardımcısı 56 farklı şekilde seçilebilir. ✅

Bu problemde her raf için ayrı ayrı dizilişler hesaplanıp sonra bu sonuçlar çarpılacaktır. Bu, çarpma prensibinin bir uygulamasıdır. Adım 1: 1. Raf İçin Diziliş* 1. rafta 3 farklı roman var. Bu 3 roman kendi aralarında \( 3! \) şekilde dizilebilir. \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) farklı diziliş. Adım 2: 2. Raf İçin Diziliş* 2. rafta 2 farklı şiir kitabı var. Bu 2 kitap kendi aralarında \( 2! \) şekilde dizilebilir. \( 2! = 2 \times 1 = 2 \) farklı diziliş. Adım 3: 3. Raf İçin Diziliş* 3. rafta 4 farklı hikaye kitabı var. Bu 4 kitap kendi aralarında \( 4! \) şekilde dizilebilir. \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) farklı diziliş. Adım 4: Toplam Farklı Diziliş Sayısı* Çarpma prensibine göre, toplam farklı diziliş sayısı bu üç sonucun çarpımıdır. Toplam Diziliş = \( (\text{1. Raf Diziliş}) \times (\text{2. Raf Diziliş}) \times (\text{3. Raf Diziliş}) \) Toplam Diziliş = \( 6 \times 2 \times 24 \) Toplam Diziliş = \( 12 \times 24 = 288 \) Bu dizilişler 288 farklı şekilde yapılabilir. 🌟

Bu, temel permütasyon mantığını günlük hayata uyarlayan bir örnektir. 4 arkadaşın 4 farklı sandalyeye oturması, bir sıralama problemidir. Adım 1: Problemi Anlama* Elimizde 4 farklı nesne (arkadaş) ve bu nesnelerin yerleştirileceği 4 farklı yer (sandalye) var. Nesnelerin yerleri değiştiğinde farklı bir durum oluştuğu için bu bir permütasyon problemidir. Adım 2: Permütasyon Formülü* n farklı nesnenin n'li permütasyonu \( n! \) ile hesaplanır. Burada \( n=4 \) (arkadaş sayısı ve sandalye sayısı). Adım 3: Hesaplama* Oturma düzeni sayısı = \( 4! \) \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) Bu 4 arkadaş 24 farklı şekilde oturabilir. 👉

Bu soru, 4 farklı öğenin 4 farklı pozisyona sıralanması problemidir. Bu, temel faktöriyel mantığı ile çözülür. Adım 1: Pozisyonları Belirleme* Direkte 4 farklı pozisyon olduğunu düşünelim. Adım 2: Seçenekleri Değerlendirme* İlk pozisyona asılacak bayrak için 4 seçeneğimiz var. İkinci pozisyona asılacak bayrak için kalan 3 seçenek var. Üçüncü pozisyona asılacak bayrak için kalan 2 seçenek var. Dördüncü pozisyona asılacak bayrak için kalan 1 seçenek var. Adım 3: Çarpma Prensibi* Toplam farklı diziliş sayısı, bu seçeneklerin çarpımıdır: \( 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) Bu, \( 4! \) faktöriyel olarak da ifade edilir. Dolayısıyla bayraklar 24 farklı şekilde asılabilir. 🏅

Bu soruda, 10 kişiden 3 kişi seçilecek ancak seçilen kişilerin kendi aralarındaki sıra önemli değildir. Bu nedenle bu bir kombinasyon problemidir. Adım 1: Problemi Tanımlama* Toplam kişi sayısı \( n=10 \). Seçilecek ekip üyesi sayısı \( r=3 \). Seçilen kişilerin sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanırız. Adım 2: Kombinasyon Formülü* n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı (kombinasyon) şu formülle bulunur: \( C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) Adım 3: Hesaplama* \( C(10, 3) = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} \) \( C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{(3 \times 2 \times 1) \times 7!} \) \( C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \) \( C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120 \) Bu 3 kişilik ekip 120 farklı şekilde oluşturulabilir. 🥳

Bu problemde, hem harflerin hem de rakamların bir arada kullanıldığı ve tekrarsız bir sıralama söz konusudur. Toplamda 26 harf + 10 rakam = 36 farklı karakter bulunmaktadır. Adım 1: Karakter Havuzunu Belirleme* Toplam kullanılabilir karakter sayısı \( n = 26 (\text{harf}) + 10 (\text{rakam}) = 36 \). Adım 2: Şifre Uzunluğunu Belirleme* Oluşturulacak şifrenin uzunluğu \( r=4 \) hanelidir. Adım 3: Tekrarsız Sıralama (Permütasyon)* Şifrede karakter tekrarı olmayacağı için, bu bir permütasyon problemidir. Formül: \( P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \) Burada \( n=36 \) ve \( r=4 \). Adım 4: Hesaplama* \( P(36, 4) = \frac{36!}{(36-4)!} = \frac{36!}{32!} \) \( P(36, 4) = 36 \times 35 \times 34 \times 33 \) \( P(36, 4) = 1.413.720 \) Bu koşullara uygun olarak 1.413.720 farklı şifre oluşturulabilir. 🔑

Bu senaryoda, 5 yedek oyuncudan 3'ü seçilecek ve bu 3 oyuncunun oyuna girme sırası önemlidir. Bu, bir permütasyon problemidir. Adım 1: Problemi Tanımlama* Yedek oyuncu sayısı \( n=5 \). Oyuna alınacak oyuncu sayısı \( r=3 \). Oyuncuların oyuna girme sırası önemli olduğu için permütasyon kullanmalıyız. Adım 2: Permütasyon Formülünü Uygulama* Formül: \( P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \) Burada \( n=5 \) ve \( r=3 \). Adım 3: Hesaplama* \( P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} \) \( P(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} \) \( P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60 \) Teknik direktör, bu 3 oyuncuyu 60 farklı şekilde oyuna alabilir. 🏃‍♂️