🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Küresel Karekök Ve Referans Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Küresel Karekök Ve Referans Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki ifadelerin değerini hesaplayınız:
a) \( \sqrt{81} \)
b) \( \sqrt{144} \)
c) \( \sqrt{0.25} \)
a) \( \sqrt{81} \)
b) \( \sqrt{144} \)
c) \( \sqrt{0.25} \)
Çözüm:
Bu örnekte, tam kare sayılarla karekök alma işlemini pekiştireceğiz.
- a) \( \sqrt{81} \) : Hangi sayının karesi 81'dir? 9'un karesi 81'dir. Dolayısıyla, \( \sqrt{81} = 9 \). 💡
- b) \( \sqrt{144} \) : Hangi sayının karesi 144'tür? 12'nin karesi 144'tür. Dolayısıyla, \( \sqrt{144} = 12 \). ✅
- c) \( \sqrt{0.25} \) : Ondalıklı sayılarda karekök alırken, sayıyı kesir olarak düşünebiliriz. 0.25 = \( \frac{25}{100} \). Şimdi karekök alalım: \( \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0.5 \). 👉
Örnek 2:
\( \sqrt[3]{27} \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu örnekte, küpkök alma işlemini göreceğiz.
- \( \sqrt[3]{27} \) : Hangi sayının küpü 27'dir? 3'ün küpü 27'dir (yani \( 3 \times 3 \times 3 = 27 \)). Dolayısıyla, \( \sqrt[3]{27} = 3 \). 📌
Örnek 3:
Aşağıdaki denklemleri sağlayan \(x\) değerlerini bulunuz:
a) \( x^2 = 36 \)
b) \( x^3 = -8 \)
a) \( x^2 = 36 \)
b) \( x^3 = -8 \)
Çözüm:
Bu örnekte, karekök ve küpkök alma işleminin denklemlerde nasıl kullanıldığını göreceğiz.
- a) \( x^2 = 36 \) : Bu denklemde \(x\)'in hem pozitif hem de negatif değerleri olabilir. \(x = \sqrt{36}\) veya \(x = -\sqrt{36}\). Bu durumda \(x = 6\) veya \(x = -6\). 💡
- b) \( x^3 = -8 \) : Küp alma işleminde negatif bir sayının küpü yine negatif olur. Hangi sayının küpü -8'dir? -2'nin küpü -8'dir (yani \( (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \)). Dolayısıyla, \(x = -2\). ✅
Örnek 4:
\( f(x) = \sqrt{x-2} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu örnekte, kareköklü bir fonksiyonun tanım kümesini belirleyeceğiz.
- Tanım Kümesi: Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, \( x-2 \ge 0 \) olmalıdır. 📌
- Eşitsizliği Çözme: \( x-2 \ge 0 \) eşitsizliğinde 2'yi karşıya atarsak, \( x \ge 2 \) elde ederiz. 👉
- Sonuç: Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, 2'den büyük veya eşit tüm reel sayılardır. Bu küme \( [2, \infty) \) şeklinde gösterilir. ✅
Örnek 5:
\( g(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için bazı noktaları belirleyiniz.
Çözüm:
Bu örnekte, basit bir referans fonksiyonun grafiğini çizmek için bazı değerler hesaplayacağız.
- Fonksiyon: \( g(x) = x^2 + 1 \) 💡
-
Nokta Belirleme: Fonksiyona farklı \(x\) değerleri vererek karşılık gelen \(y\) (veya \(g(x)\)) değerlerini bulalım:
- \( x = -2 \) için: \( g(-2) = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \). Nokta: \( (-2, 5) \)
- \( x = -1 \) için: \( g(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \). Nokta: \( (-1, 2) \)
- \( x = 0 \) için: \( g(0) = (0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1 \). Nokta: \( (0, 1) \)
- \( x = 1 \) için: \( g(1) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \). Nokta: \( (1, 2) \)
- \( x = 2 \) için: \( g(2) = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \). Nokta: \( (2, 5) \)
- Grafik Yorumu: Bu noktaları bir koordinat sisteminde işaretleyip birleştirdiğimizde, \( y = x^2 \) grafiğinin 1 birim yukarı ötelenmiş halini, yani bir parabolü elde ederiz. ✅
Örnek 6:
Bir çiftçi, tarlasının kare şeklindeki bir bölümüne mısır ekmiştir. Bu bölümün alanı 169 metrekare olduğuna göre, tarlanın bu bölümünün bir kenar uzunluğu kaç metredir?
Çözüm:
Bu örnek, karekök kavramının geometrik bir problemde nasıl kullanıldığını gösterir.
- Problem Analizi: Tarlanın kare şeklindeki bölümünün alanı verilmiş ve bir kenar uzunluğu soruluyor. Kare alan formülü \( Alan = kenar \times kenar = kenar^2 \) şeklindedir. 💡
- Denklem Kurma: Alan 169 metrekare olduğuna göre, \( kenar^2 = 169 \) denklemini kurarız. ✅
- Çözüm: Kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alırız: \( kenar = \sqrt{169} \). Hangi sayının karesi 169'dur? 13'ün. Dolayısıyla, \( kenar = 13 \) metredir. 👉
- Cevap: Tarlanın mısır ekilen bölümünün bir kenar uzunluğu 13 metredir. 📌
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelinin kare şeklinde olmasını planlıyor. Temelin alanı 225 metrekare olacaksa, temel için kullanılacak betonun miktarını hesaplamak amacıyla kenar uzunluğunu bilmesi gerekiyor. Temelin bir kenar uzunluğu kaç metre olmalıdır?
Çözüm:
Bu örnek, karekök kavramının mühendislik ve inşaat alanındaki pratik uygulamasını gösterir.
- Problem Tanımı: Kare şeklindeki bir temel alanının (225 metrekare) kenar uzunluğunu bulma. 💡
- Matematiksel İlişki: Karede alan, bir kenarın kendisiyle çarpımına eşittir. Yani, \( Alan = kenar \times kenar = kenar^2 \). ✅
- Denklem: \( kenar^2 = 225 \) metrekare.
- Çözüm: Kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alırız: \( kenar = \sqrt{225} \). 15'in karesi 225 olduğundan, \( kenar = 15 \) metredir. 👉
- Sonuç: İnşaat mühendisinin planladığı temel için bir kenar uzunluğu 15 metre olmalıdır. Bu bilgi, gerekli malzeme miktarının hesaplanmasında temel oluşturur. 📌
Örnek 8:
\( f(x) = \sqrt{x+3} \) ve \( g(x) = x-1 \) fonksiyonları veriliyor. \( (f \circ g)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulunuz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.
Çözüm:
Bu örnek, kareköklü fonksiyonlar ile doğrusal fonksiyonların bileşkesini ve tanım kümesini hesaplamayı içerir.
-
Bileşke Fonksiyonu Hesaplama: \( (f \circ g)(x) \) demek, \( f(g(x)) \) demektir. Yani, \(f\) fonksiyonunda \(x\) gördüğümüz yere \(g(x)\) ifadesini yazacağız.
- \( f(x) = \sqrt{x+3} \)
- \( g(x) = x-1 \)
- \( f(g(x)) = f(x-1) = \sqrt{(x-1)+3} = \sqrt{x+2} \)
- Tanım Kümesi Belirleme: Bileşke fonksiyonumuz \( \sqrt{x+2} \) olduğuna göre, karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, \( x+2 \ge 0 \) olmalıdır. ✅
- Eşitsizliği Çözme: \( x+2 \ge 0 \) eşitsizliğinde 2'yi karşıya atarsak, \( x \ge -2 \) elde ederiz. 👉
- Sonuç: \( (f \circ g)(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi, -2'den büyük veya eşit tüm reel sayılardır. Bu küme \( [-2, \infty) \) şeklinde gösterilir. 📌
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-kuresel-karekok-ve-referans-fonksiyonlar/sorular