💡 10. Sınıf Matematik: Küresel Fonksiyonlar Soru Örnekleri Çözümlü Örnekler

• Bu bir parabol denklemidir ve baş katsayısı ( \(x^2\) teriminin katsayısı) negatif (\(-1\)) olduğu için kolları aşağıya doğrudur. 👇
• Kolları aşağı doğru olan paraboller, tepe noktasında maksimum değerini alır. 📌
• Tepe noktasının apsisi (x-koordinatı) \( r = -\frac{b}{2a} \) formülüyle bulunur. Burada \( a = -1 \) ve \( b = 6 \) dir.
• \[ r = -\frac{6}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \]
• En büyük değeri bulmak için \( x=3 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız:
• \[ f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 \]
• \[ f(3) = -9 + 18 - 5 \]
• \[ f(3) = 9 - 5 \]
• \[ f(3) = 4 \] ✅
• Yani, fonksiyonun alabileceği en büyük değer 4'tür.

• Bu bir parabol denklemidir ve baş katsayısı (\(x^2\) teriminin katsayısı) pozitif (\(1\)) olduğu için kolları yukarıya doğrudur. 👆
• Kolları yukarı doğru olan paraboller, tepe noktasında minimum değerini alır ve bu değerden sonsuza kadar tüm değerleri alabilir. 📌
• Tepe noktasının apsisi \( r = -\frac{b}{2a} \) formülüyle bulunur. Burada \( a = 1 \) ve \( b = -4 \) tür.
• \[ r = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \]
• Minimum değeri bulmak için \( x=2 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız:
• \[ f(2) = (2)^2 - 4(2) + 7 \]
• \[ f(2) = 4 - 8 + 7 \]
• \[ f(2) = -4 + 7 \]
• \[ f(2) = 3 \] ✅
• Fonksiyonun alabileceği en küçük değer 3'tür. Kolları yukarı doğru olduğundan, fonksiyon 3'ten büyük veya eşit tüm değerleri alabilir.
• Görüntü kümesi \( [3, \infty) \) olarak ifade edilir.

• Mutlak değer fonksiyonları hakkında şunu biliyoruz: \( |A| \ge 0 \) her zaman geçerlidir. 📌
• Bu durumda, \( |x-3| \) ifadesi her zaman 0'a eşit veya 0'dan büyüktür. Yani, \( |x-3| \ge 0 \).
• Fonksiyonumuz \( f(x) = |x-3| + 2 \) olduğundan, her iki tarafa 2 ekleyelim:
• \[ |x-3| + 2 \ge 0 + 2 \]
• \[ f(x) \ge 2 \] ✅
• Bu, fonksiyonun alabileceği en küçük değerin 2 olduğu anlamına gelir. Mutlak değer fonksiyonları sürekli olduğu için, 2'den büyük veya eşit tüm değerleri alabilir.
• Görüntü kümesi \( [2, \infty) \) olarak ifade edilir.

Bir fonksiyonun tanımlı olabilmesi için belirli koşullar vardır:

• Kareköklü ifadelerin içi negatif olamaz. Yani \( x-4 \ge 0 \) olmalıdır.
• Paydası olan ifadelerde payda sıfır olamaz. Yani \( x-6 \ne 0 \) olmalıdır.

• İlk koşuldan: \( x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4 \)
  
• İkinci koşuldan: \( x-6 \ne 0 \Rightarrow x \ne 6 \)
  
• Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, x değerleri 4'e eşit veya 4'ten büyük olmalı, ancak 6'ya eşit olmamalıdır.
• Tanım kümesi \( [4, \infty) - \{6\} \) veya \( [4, 6) \cup (6, \infty) \) olarak ifade edilir. ✅

• Dikdörtgen bahçenin kenarlarını \( x \) ve \( y \) olarak adlandıralım. Duvar kenarını \( y \) olarak kabul edersek, tel çekilecek kenarlar \( x, x, y \) olacaktır.
• Kullanılan telin uzunluğu: \( 2x + y = 40 \) metredir. 📌
• Buradan \( y \) değerini \( x \) cinsinden yazalım: \( y = 40 - 2x \).
• Bahçenin alanı \( A = x \cdot y \) formülüyle bulunur.
• \[ A(x) = x(40 - 2x) \]
• \[ A(x) = 40x - 2x^2 \]
• Bu bir parabol denklemidir ve baş katsayısı (\(-2\)) negatif olduğu için kolları aşağıya doğrudur, yani bir maksimum değeri vardır.
• Maksimum alanı bulmak için tepe noktasının apsisini bulalım: \( r = -\frac{b}{2a} \). Burada \( a = -2 \) ve \( b = 40 \) tir.
• \[ r = -\frac{40}{2(-2)} = -\frac{40}{-4} = 10 \]
• Bu, bahçenin bir kenarının 10 metre olduğunda alanın maksimum olacağı anlamına gelir.
• Maksimum alanı bulmak için \( x=10 \) değerini \( A(x) \) fonksiyonunda yerine koyalım:
• \[ A(10) = 40(10) - 2(10)^2 \]
• \[ A(10) = 400 - 2(100) \]
• \[ A(10) = 400 - 200 \]
• \[ A(10) = 200 \] ✅
• Bahçenin alanı en fazla 200 metrekare olabilir.

• Bu bir parabol denklemidir ve baş katsayısı (\(-5\)) negatif olduğu için kolları aşağıya doğrudur. Yani, fonksiyonun bir maksimum değeri vardır.
• Maksimum yüksekliği bulmak için tepe noktasının apsisini (zamanı) bulalım: \( t = -\frac{b}{2a} \). Burada \( a = -5 \) ve \( b = 20 \) dir.
• \[ t = -\frac{20}{2(-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \]
• Bu, topun 2 saniye sonra maksimum yüksekliğe ulaşacağı anlamına gelir.
• Maksimum yüksekliği bulmak için \( t=2 \) değerini \( h(t) \) fonksiyonunda yerine koyalım:
• \[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) \]
• \[ h(2) = -5(4) + 40 \]
• \[ h(2) = -20 + 40 \]
• \[ h(2) = 20 \] ✅
• Topun çıkabileceği maksimum yükseklik 20 metredir.

• Fonksiyonun grafiğini metinsel olarak inceleyelim ve kritik noktaları belirleyelim:
• Başlangıç noktası: \( x=-3 \), \( f(-3) = 2 \)
• Yerel minimum noktası: \( x=0 \), \( f(0) = -1 \)
• Yerel maksimum noktası: \( x=3 \), \( f(3) = 4 \)
• Bitiş noktası: \( x=5 \), \( f(5) = 1 \)
• Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki en büyük veya en küçük değerleri, ya yerel ekstremum noktalarında ya da aralığın uç noktalarında bulunur. 📌
• Bu değerleri listeleyelim: \( \{2, -1, 4, 1\} \).
• Bu listedeki en büyük değer \( 4 \)tür.
• Bu listedeki en küçük değer \( -1 \)dir.
• En büyük ve en küçük değerlerin toplamı: \( 4 + (-1) = 3 \) ✅
• Yani, en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı 3'tür.

• Parçalı fonksiyonlarda, verilen \( x \) değerinin hangi aralığa ait olduğuna bakılır ve o aralığa karşılık gelen kural kullanılır. 📌
• Önce \( f(0) \) değerini bulalım:
• \( x=0 \) değeri \( x < 1 \) koşulunu sağladığı için ilk kuralı kullanırız: \( f(x) = x+3 \).
• \[ f(0) = 0+3 = 3 \]
• Şimdi \( f(2) \) değerini bulalım:
• \( x=2 \) değeri \( x \ge 1 \) koşulunu sağladığı için ikinci kuralı kullanırız: \( f(x) = x^2+1 \).
• \[ f(2) = (2)^2+1 = 4+1 = 5 \]
• Son olarak, \( f(0) + f(2) \) ifadesinin değerini hesaplayalım:
• \[ f(0) + f(2) = 3 + 5 = 8 \] ✅
• İfadenin değeri 8'dir.