📄 10. Sınıf Matematik: Küresel Fonksiyonlar Soru Örnekleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle kürenin yüzey alanı formülünü kullanarak yarıçapını bulmalıyız.
Yüzey alanı \(A = 4\pi r^2\) olarak verilmiştir.
Verilen yüzey alanı \(144\pi\) \(\text{cm}^2\) olduğuna göre,
\(144\pi = 4\pi r^2\)
Her iki tarafı \(4\pi\) ile bölersek:
\(\frac{144\pi}{4\pi} = r^2\)
\(36 = r^2\)
Buradan yarıçap \(r = 6\) cm olarak bulunur.
Şimdi bu yarıçap değerini kürenin hacim formülünde yerine koyarak hacmi hesaplayabiliriz.
Hacim \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) formülüyle bulunur.
\(V = \frac{4}{3}\pi (6^3)\)
\(V = \frac{4}{3}\pi (216)\)
\(V = 4\pi \times \frac{216}{3}\)
\(V = 4\pi \times 72\)
\(V = 288\pi\) \(\text{cm}^3\)
Buna göre, yüzey alanı \(144\pi\) \(\text{cm}^2\) olan kürenin hacmi \(288\pi\) \(\text{cm}^3\)tür.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle yarım küre şeklindeki deponun hacmini bulmalıyız.
Kürenin hacim formülü \(V_{küre} = \frac{4}{3}\pi r^3\) şeklindedir.
Depo yarım küre olduğu için hacmi \(V_{depo} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3\) olacaktır.
Yarıçap \(r = 3\) metre ve \(\pi = 3\) verildiğinden:
\(V_{depo} = \frac{2}{3} \times 3 \times (3^3)\)
\(V_{depo} = 2 \times 27 = 54\) \(\text{m}^3\)
Şimdi de silindir şeklindeki bir kabın hacmini hesaplayalım.
Silindirin hacim formülü \(V_{silindir} = \pi R^2 h\) şeklindedir.
Taban yarıçapı \(R = 1\) metre, yüksekliği \(h = 2\) metre ve \(\pi = 3\) verildiğinden:
\(V_{silindir} = 3 \times (1^2) \times 2\)
\(V_{silindir} = 3 \times 1 \times 2 = 6\) \(\text{m}^3\)
Son olarak, kaç tane silindir kaba ihtiyaç olduğunu bulmak için deponun hacmini bir silindirin hacmine böleriz:
İhtiyaç duyulan kap sayısı \(= \frac{V_{depo}}{V_{silindir}} = \frac{54}{6} = 9\)
Yani, bu deponun suyunu doldurmak için 9 tane silindir kaba ihtiyaç vardır.

💡 Çözüm Adımları:

Bir kürenin bir düzlemle kesilmesiyle oluşan kesit bir dairedir. Bu soruda, kürenin yarıçapı (büyük dairenin yarıçapı) \(R = 5\) cm olarak verilmiştir. Düzlemin küre merkezine olan uzaklığı \(h = 3\) cm'dir.
Kesit dairesinin yarıçapını (\(r\)) bulmak için Pisagor teoremini kullanırız, çünkü kürenin merkezi, kesitin merkezi ve küre yüzeyindeki bir nokta bir dik üçgen oluşturur (hipotenüs kürenin yarıçapıdır).
\(R^2 = h^2 + r^2\)
\(5^2 = 3^2 + r^2\)
\(25 = 9 + r^2\)
\(r^2 = 25 - 9\)
\(r^2 = 16\)
Buradan kesit dairesinin yarıçapı \(r = 4\) cm olarak bulunur.
Kesitin çevresi, bu dairenin çevresidir. Bir dairenin çevresi \(C = 2\pi r\) formülüyle hesaplanır.
\(C = 2\pi (4)\)
\(C = 8\pi\) \(\text{cm}\)
Buna göre, oluşan kesitin çevresi \(8\pi\) \(\text{cm}\)dir.