🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Koşullu Olasılık Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Koşullu Olasılık Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir torbada 3 kırmızı ve 5 mavi bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir bilye çekildiğinde bu bilyenin mavi olma olasılığı nedir? Eğer çekilen ilk bilye mavi ise ve geri konulmazsa, ikinci çekilişte mavi gelme olasılığı nedir? 🔵🔴
Çözüm:
Bu soruda iki farklı olasılık hesaplayacağız:
- İlk Durum: Torbada toplam 8 bilye var (3 kırmızı + 5 mavi). Mavi bilye çekme olasılığı, mavi bilye sayısının toplam bilye sayısına oranıdır.
- Olasılık = \( \frac{Mavi \ Bilye \ Sayısı}{Toplam \ Bilye \ Sayısı} \)
- Olasılık = \( \frac{5}{8} \)
- İkinci Durum (Koşullu Olasılık): İlk çekilen bilyenin mavi olduğu ve geri konulmadığı biliniyor.
- Bu durumda torbada artık 7 bilye kalır (3 kırmızı + 4 mavi).
- Şimdi mavi bilye çekme olasılığı, kalan mavi bilye sayısının kalan toplam bilye sayısına oranıdır.
- Koşullu Olasılık = \( \frac{Kalan \ Mavi \ Bilye \ Sayısı}{Kalan \ Toplam \ Bilye \ Sayısı} \)
- Koşullu Olasılık = \( \frac{4}{7} \)
Örnek 2:
Bir zar atılıyor. Gelen sayının tek sayı olduğu biliniyor. Bu sayının 3 olma olasılığı nedir? 🎲
Çözüm:
Bu bir koşullu olasılık sorusudur. Örnek uzayı daraltmamız gerekiyor.
- Olay A: Gelen sayının 3 olması.
- Olay B: Gelen sayının tek sayı olması.
- Zar atıldığında olası sonuçlar: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- Tek sayılar kümesi (Olay B'nin gerçekleştiği durumlar): {1, 3, 5}
- Bu kümedeki eleman sayısı 3'tür.
- Şimdi, bu tek sayılar kümesinden 3'ün gelme olasılığını hesaplayacağız.
- 3 sayısı, tek sayılar kümesinde sadece bir elemandır.
- Koşullu Olasılık P(A|B) = \( \frac{Olay \ A \ ve \ B'nin \ birlikte \ gerçekleştiği \ durum \ sayısı}{Olay \ B'nin \ gerçekleştiği \ durum \ sayısı} \)
- P(A|B) = \( \frac{1}{3} \)
Örnek 3:
30 kişilik bir sınıfta, 15 öğrenci futbol, 10 öğrenci basketbol oynamaktadır. 5 öğrenci ise hem futbol hem de basketbol oynamaktadır. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin basketbol oynadığı biliniyor. Bu öğrencinin aynı zamanda futbol da oynama olasılığı nedir? ⚽🏀
Çözüm:
Bu soruda da koşullu olasılık kullanacağız.
- Toplam Öğrenci Sayısı: 30
- Futbol Oynayanlar (F): 15
- Basketbol Oynayanlar (B): 10
- Hem Futbol Hem Basketbol Oynayanlar (F ∩ B): 5
- Soru: Basketbol oynadığı bilinen bir öğrencinin futbol da oynama olasılığı nedir? Yani P(F|B) soruluyor.
- Basketbol oynayan öğrenci sayısı (örnek uzayımız): 10
- Bu 10 öğrenci arasından hem futbol hem basketbol oynayanların sayısı: 5
- Koşullu Olasılık P(F|B) = \( \frac{Olay \ F \ ve \ B'nin \ birlikte \ gerçekleştiği \ durum \ sayısı}{Olay \ B'nin \ gerçekleştiği \ durum \ sayısı} \)
- P(F|B) = \( \frac{5}{10} \)
- P(F|B) = \( \frac{1}{2} \)
Örnek 4:
Bir kutuda 2 kırmızı ve 3 mavi kart bulunmaktadır. Kutudan rastgele bir kart çekiliyor ve rengi not ediliyor. Kart geri konulmadan ikinci bir kart çekiliyor. İkinci çekilen kartın kırmızı olduğu biliniyor. İlk çekilen kartın da kırmızı olma olasılığı nedir? 🟥🟦
Çözüm:
Bu soru, geri koymama durumu nedeniyle koşullu olasılığın karmaşıklaşan bir halini gösterir.
- Durum 1: İlk kart kırmızı, ikinci kart kırmızı.
- P(İlk Kırmızı) = \( \frac{2}{5} \)
- İlk kart kırmızı çekilirse, geriye 1 kırmızı ve 3 mavi kart kalır (toplam 4 kart).
- P(İkinci Kırmızı | İlk Kırmızı) = \( \frac{1}{4} \)
- P(İlk Kırmızı ve İkinci Kırmızı) = P(İlk Kırmızı) \( \times \) P(İkinci Kırmızı | İlk Kırmızı) = \( \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \)
- Durum 2: İlk kart mavi, ikinci kart kırmızı.
- P(İlk Mavi) = \( \frac{3}{5} \)
- İlk kart mavi çekilirse, geriye 2 kırmızı ve 2 mavi kart kalır (toplam 4 kart).
- P(İkinci Kırmızı | İlk Mavi) = \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
- P(İlk Mavi ve İkinci Kırmızı) = P(İlk Mavi) \( \times \) P(İkinci Kırmızı | İlk Mavi) = \( \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} \)
- Sorulan: İkinci kartın kırmızı olduğu biliniyor. Bu, bizim yeni örnek uzayımızdır.
- İkinci kartın kırmızı olma olasılığı = P(İlk Kırmızı ve İkinci Kırmızı) + P(İlk Mavi ve İkinci Kırmızı)
- P(İkinci Kırmızı) = \( \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)
- Koşullu Olasılık: İlk kartın kırmızı olma olasılığı, ikinci kartın kırmızı olduğu bilindiğinde.
- P(İlk Kırmızı | İkinci Kırmızı) = \( \frac{P(İlk \ Kırmızı \ ve \ İkinci \ Kırmızı)}{P(İkinci \ Kırmızı)} \)
- P(İlk Kırmızı | İkinci Kırmızı) = \( \frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{10} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \)
Örnek 5:
Bir hastanede yapılan test sonucunda, bir kişinin belirli bir hastalığa sahip olma olasılığının %1 olduğunu varsayalım. Testin bu hastalığa sahip kişileri %99 oranında doğru tespit ettiği (duyarlılık), ancak hastalığı olmayan kişileri de %5 oranında yanlışlıkla hasta olarak işaretlediği (yanlış pozitif oranı) biliniyor. Rastgele seçilen bir kişinin test sonucunun pozitif çıktığı biliniyor. Bu kişinin gerçekten hasta olma olasılığı nedir? 🏥
Çözüm:
Bu tür durumlar, koşullu olasılığın sağlık alanındaki önemini gösterir.
- Olay H: Kişinin hasta olması. P(H) = 0.01
- Olay H': Kişinin hasta olmaması. P(H') = 1 - P(H) = 0.99
- Olay T+: Testin pozitif çıkması.
- Duyarlılık (Hastalığı olan ve testin pozitif çıkması): P(T+|H) = 0.99
- Yanlış Pozitif Oranı (Hastalığı olmayan ama testin pozitif çıkması): P(T+|H') = 0.05
- Sorulan: Test sonucu pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı, yani P(H|T+).
- Önce, testin pozitif çıkma olasılığını hesaplayalım (toplam olasılık formülü):
- P(T+) = P(T+|H) \( \times \) P(H) + P(T+|H') \( \times \) P(H')
- P(T+) = (0.99 \( \times \) 0.01) + (0.05 \( \times \) 0.99)
- P(T+) = 0.0099 + 0.0495
- P(T+) = 0.0594
- Şimdi koşullu olasılığı hesaplayabiliriz:
- P(H|T+) = \( \frac{P(T+|H) \times P(H)}{P(T+)} \)
- P(H|T+) = \( \frac{0.99 \times 0.01}{0.0594} \)
- P(H|T+) = \( \frac{0.0099}{0.0594} \)
- P(H|T+) \( \approx \) 0.1667
Örnek 6:
İki zar art arda atılıyor. İlk zarın 4'ten büyük olduğu biliniyor. İkinci zarın ise çift sayı olduğu biliniyor. Bu iki olayın aynı anda gerçekleşme olasılığı nedir? 🎲🎲
Çözüm:
Bu soruda iki bağımsız olayın koşullu olasılığını ele alacağız.
- Olay A: İlk zarın 4'ten büyük gelmesi.
- Olası sonuçlar: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- 4'ten büyük sayılar: {5, 6}
- P(A) = \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
- Olay B: İkinci zarın çift sayı gelmesi.
- Olası sonuçlar: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- Çift sayılar: {2, 4, 6}
- P(B) = \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
- Sorulan: İlk zarın 4'ten büyük olduğu VE ikinci zarın çift sayı olduğu biliniyor. Bu iki olayın kesişiminin olasılığı soruluyor.
- Zarların atılması bağımsız olaylardır. Yani ilk zarın sonucu ikinci zarın sonucunu etkilemez.
- Bu durumda, iki olayın aynı anda gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının çarpımıdır.
- P(A ve B) = P(A) \( \times \) P(B)
- P(A ve B) = \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \)
- P(A ve B) = \( \frac{1}{6} \)
Örnek 7:
Bir madeni para 3 kez atılıyor. En az iki kez yazı geldiği biliniyor. Buna göre, ilk atışın tura gelme olasılığı nedir? 🪙
Çözüm:
Bu soruda, en az iki kez yazı gelmesi koşulunu göz önünde bulunduracağız.
- Tüm Olası Sonuçlar (Örnek Uzay):
- Her atış için Yazı (Y) veya Tura (T) gelebilir. 3 atış için toplam \( 2^3 = 8 \) olası sonuç vardır:
- {YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT}
- Koşul: En az iki kez yazı gelmesi. Bu koşulu sağlayan sonuçlar:
- {YYY, YYT, YTY, TYY}
- Bu bizim daralttığımız örnek uzayımızdır. Bu kümede 4 eleman vardır.
- Soru: Bu daralmış örnek uzayda, ilk atışın tura gelme olasılığı nedir?
- Daralmış örnek uzayımızdaki {YYY, YYT, YTY, TYY} sonuçlarına bakalım.
- Bu sonuçlardan ilk atışı tura olan hangisidir? Sadece TYY.
- Yani, koşullu durumumuzda tura ile başlayan sadece 1 sonuç vardır.
- Koşullu Olasılık = \( \frac{Koşullu \ Durumda \ İlk \ Atışı \ Tura \ Olan \ Sonuç \ Sayısı}{Daralmış \ Örnek \ Uzaydaki \ Toplam \ Sonuç \ Sayısı} \)
- Koşullu Olasılık = \( \frac{1}{4} \)
Örnek 8:
Bir torbada 4 beyaz ve 6 siyah top bulunmaktadır. Torbadan rastgele iki top çekiliyor. Çekilen toplardan en az birinin beyaz olduğu biliniyor. Buna göre, çekilen iki topun da beyaz olma olasılığı nedir? ⚪⚫
Çözüm:
Bu soruda, "en az birinin beyaz olması" koşulunu kullanarak olasılık hesaplayacağız.
- Toplam Top Sayısı: 10 (4 beyaz, 6 siyah)
- İki Top Çekme Durumları:
- Toplam çekilebilecek 2'li kombinasyon sayısı: \( \binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \)
- Koşul: En az birinin beyaz olması. Bu durumu doğrudan hesaplamak yerine, tüm durumdan "ikisinin de siyah olma" durumunu çıkararak bulabiliriz.
- İki topun da siyah olma olasılığı:
- Siyah toplardan 2'li kombinasyon sayısı: \( \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \)
- İki topun da siyah olma olasılığı = \( \frac{15}{45} = \frac{1}{3} \)
- En az birinin beyaz olma olasılığı = 1 - P(İkisinin de Siyah Olması) = \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
- Bu bizim yeni örnek uzayımızdır (olasılık \( \frac{2}{3} \)).
- Sorulan: Çekilen iki topun da beyaz olma olasılığı, bu koşul altında.
- İki topun da beyaz olma durumu:
- Beyaz toplardan 2'li kombinasyon sayısı: \( \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \)
- İki topun da beyaz olma olasılığı (genel durum): \( \frac{6}{45} \)
- Koşullu Olasılık: P(İki Beyaz | En Az Bir Beyaz)
- P(İki Beyaz | En Az Bir Beyaz) = \( \frac{P(İki \ Beyaz \ ve \ En \ Az \ Bir \ Beyaz)}{P(En \ Az \ Bir \ Beyaz)} \)
- "İki Beyaz" durumu zaten "En Az Bir Beyaz" durumunu içerdiği için, kesişim sadece "İki Beyaz" durumudur.
- P(İki Beyaz | En Az Bir Beyaz) = \( \frac{P(İki \ Beyaz)}{P(En \ Az \ Bir \ Beyaz)} \)
- P(İki Beyaz | En Az Bir Beyaz) = \( \frac{\frac{6}{45}}{\frac{2}{3}} = \frac{6}{45} \times \frac{3}{2} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5} \)
Örnek 9:
Bir otobüs durağında bekleyen 10 kişiden 6'sı kadın, 4'ü erkektir. Otobüsten rastgele bir kişi bindiğinde bu kişinin erkek olduğu biliniyor. Bu kişinin daha önce durağa gelmiş olma olasılığı nedir? (Varsayım: Durağa gelen herkes otobüse biniyor ve herkesin otobüse binme olasılığı eşit.) 🚶♀️🚶♂️🚌
Çözüm:
Bu soru, gerçek hayatta karşılaşabileceğimiz bir durum üzerinden koşullu olasılığı ele alıyor.
- Toplam Kişi Sayısı: 10
- Kadın Sayısı: 6
- Erkek Sayısı: 4
- Koşul: Otobüse binen kişinin erkek olduğu biliniyor.
- Bu bilgi, bizim örnek uzayımızı daraltır. Artık sadece erkekler arasından seçim yapıyoruz.
- Erkek sayısı = 4. Bu bizim yeni örnek uzayımızın büyüklüğüdür.
- Soru: Bu erkeklerden birinin (yani otobüse binen kişinin) daha önce durağa gelmiş olma olasılığı nedir?
- Soruda verilen varsayıma göre, durağa gelen herkes otobüse biniyor ve herkesin otobüse binme olasılığı eşit.
- Bu demektir ki, durağa gelen her bir kişi (ister kadın ister erkek olsun) otobüse binme potansiyeline sahiptir.
- Eğer otobüse binen kişi erkek ise, bu kişi durağa gelmiş olan 4 erkekten biridir.
- Ve bu 4 erkeğin hepsi de durağa gelmiş kişilerdir.
- Dolayısıyla, otobüse binen erkeğin durağa gelmiş olma olasılığı, erkekler kümesinden birini seçtiğimizde, o kişinin durağa gelmiş olma olasılığıdır.
- Bu olasılık 1'dir, çünkü durağa gelen herkes otobüse biniyor varsayımı var.
- Koşullu Olasılık = \( \frac{Durağa \ Gelmiş \ Erkek \ Sayısı}{Otobüse \ Binen \ Erkek \ Sayısı} \)
- Koşullu Olasılık = \( \frac{4}{4} = 1 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-kosullu-olasilik/sorular