🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Koşullu olasılık, bağımlı ve bağımsız olaylar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Koşullu olasılık, bağımlı ve bağımsız olaylar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir torbada 3 kırmızı ve 4 mavi bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir bilye çekiliyor ve çekilen bilye torbaya geri konulmuyor. Bu bilyenin kırmızı olma olasılığı nedir?
Çözüm:
Bu bir koşullu olasılık örneğidir çünkü ilk çekilen bilyenin rengi, ikinci çekilecek bilyenin olasılığını etkiler.
- Adım 1: Başlangıçta torbada toplam bilye sayısı \(3 + 4 = 7\) dır.
- Adım 2: İlk çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı, torbadaki kırmızı bilye sayısının toplam bilye sayısına oranıdır.
- Sonuç: Bu olasılık \( P(\text{ilk bilye kırmızı}) = \frac{3}{7} \) olur.
Örnek 2:
Bir zar art arda iki kez atılıyor. İlk atışın 4 ve ikinci atışın tek sayı gelme olasılığı nedir?
Çözüm:
Zarın atılması olayları bağımsız olaylardır. Bir zarın sonucunun diğerini etkilemesi söz konusu değildir.
- Adım 1: Bir zarın 4 gelme olasılığı \( P(\text{ilk atış 4}) = \frac{1}{6} \) dır.
- Adım 2: Bir zarın tek sayı (1, 3, 5) gelme olasılığı \( P(\text{ikinci atış tek}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) dır.
- Adım 3: İki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir.
- Sonuç: \( P(\text{ilk 4 ve ikinci tek}) = P(\text{ilk 4}) \times P(\text{ikinci tek}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \) olur.
Örnek 3:
10A sınıfında 15 erkek ve 10 kız öğrenci vardır. Rastgele bir öğrenci seçiliyor. Seçilen öğrencinin kız olduğu biliniyorsa, bu öğrencinin gözlüklü olma olasılığı nedir? (Sınıfta 8 kız öğrenci gözlüklüdür.)
Çözüm:
Bu soru koşullu olasılık ile ilgilidir. Bize ek bir bilgi verilerek örnek uzayımız daraltılmıştır.
- Adım 1: Bize verilen koşul, seçilen öğrencinin kız olduğudur. Bu durumda artık tüm sınıfı değil, sadece kız öğrencileri dikkate alırız.
- Adım 2: Sınıfta toplam 10 kız öğrenci vardır.
- Adım 3: Bu kız öğrencilerden 8 tanesi gözlüklüdür.
- Sonuç: Seçilen öğrencinin kız olduğu bilindiğinde, bu öğrencinin gözlüklü olma olasılığı \( P(\text{gözlüklü} | \text{kız}) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \) olur.
Örnek 4:
Bir kutuda 5 sarı ve 7 mor top bulunmaktadır. Kutudan rastgele bir top çekiliyor ve rengi not edildikten sonra kutuya geri konuluyor. Ardından ikinci bir top çekiliyor. İki çekilişin de aynı renkte gelme olasılığı nedir?
Çözüm:
Bu durumda çekilen toplar kutuya geri konulduğu için olaylar bağımsızdır. İlk çekilişin sonucu ikinci çekilişi etkilemez.
- Adım 1: İlk çekilişte sarı gelme olasılığı \( P(\text{ilk sarı}) = \frac{5}{12} \) dır.
- Adım 2: İlk çekilişte mor gelme olasılığı \( P(\text{ilk mor}) = \frac{7}{12} \) dır.
- Adım 3: İkinci çekilişte de sarı gelme olasılığı \( P(\text{ikinci sarı}) = \frac{5}{12} \) dır (geri konulduğu için).
- Adım 4: İkinci çekilişte de mor gelme olasılığı \( P(\text{ikinci mor}) = \frac{7}{12} \) dır.
- Adım 5: İki çekilişin de aynı renkte gelmesi demek, ya ikisinin de sarı ya da ikisinin de mor gelmesi demektir.
- Adım 6: İkisinin de sarı gelme olasılığı: \( P(\text{ilk sarı ve ikinci sarı}) = \frac{5}{12} \times \frac{5}{12} = \frac{25}{144} \).
- Adım 7: İkisinin de mor gelme olasılığı: \( P(\text{ilk mor ve ikinci mor}) = \frac{7}{12} \times \frac{7}{12} = \frac{49}{144} \).
- Sonuç: İki çekilişin de aynı renkte gelme olasılığı bu iki olasılığın toplamıdır: \( \frac{25}{144} + \frac{49}{144} = \frac{74}{144} = \frac{37}{72} \).
Örnek 5:
Bir markette satılan iki farklı marka çikolata (A ve B) için yapılan bir ankette, A markasını sevenlerin %60'ının, B markasını sevenlerin ise %70'inin aynı zamanda diğer markayı da sevdiği tespit edilmiştir. Sadece A markasını sevenlerin oranı nedir?
Çözüm:
Bu soru, olasılıkların birbirine bağlı olduğu bağımlı olaylar ve koşullu olasılık kavramlarını içerir.
- Adım 1: Verilen bilgiler:
- \( P(\text{B'yi sever} | \text{A'yı sever}) = 0.60 \)
- \( P(\text{A'yı sever} | \text{B'yi sever}) = 0.70 \)
- Adım 2: Koşullu olasılık tanımından:
- \( P(A \cap B) = P(\text{A'yı sever}) \times P(\text{B'yi sever} | \text{A'yı sever}) \)
- \( P(A \cap B) = P(\text{B'yi sever}) \times P(\text{A'yı sever} | \text{B'yi sever}) \)
- Adım 3: Bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek \( P(\text{A'yı sever}) \) ve \( P(\text{B'yi sever}) \) arasındaki ilişkiyi bulabiliriz. Ancak bu soruda daha basit bir yaklaşım gereklidir.
- Adım 4: Soruda "Sadece A markasını sevenlerin oranı" soruluyor. Bu, A'yı seven ama B'yi sevmeyenlerin oranıdır.
- Adım 5: Eğer A'yı sevenlerin %60'ı B'yi de seviyorsa, bu demektir ki A'yı sevenlerin \( 100% - 60% = 40% \) 'i sadece A'yı seviyordur.
- Sonuç: Sadece A markasını sevenlerin oranı \( 40% \) veya \( 0.40 \) olur.
Örnek 6:
Bir torbada 4 beyaz ve 3 siyah top vardır. Torbadan rastgele iki top çekiliyor. Çekilen topların farklı renkte olma olasılığı nedir?
Çözüm:
Bu soru, koşullu olasılık ve ardışık olaylar kavramlarını birleştirir. İki farklı yoldan çözülebilir.
- Yöntem 1: Ardışık Çekimler
- Adım 1: İlk topun beyaz gelme olasılığı \( P(\text{ilk beyaz}) = \frac{4}{7} \).
- Adım 2: İlk beyaz ise, ikinci topun siyah gelme olasılığı \( P(\text{ikinci siyah} | \text{ilk beyaz}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
- Adım 3: İkisinin de beyaz ve siyah gelme olasılığı: \( P(\text{ilk beyaz ve ikinci siyah}) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \).
- Adım 4: İlk topun siyah gelme olasılığı \( P(\text{ilk siyah}) = \frac{3}{7} \).
- Adım 5: İlk siyah ise, ikinci topun beyaz gelme olasılığı \( P(\text{ikinci beyaz} | \text{ilk siyah}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
- Adım 6: İkisinin de siyah ve beyaz gelme olasılığı: \( P(\text{ilk siyah ve ikinci beyaz}) = \frac{3}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7} \).
- Adım 7: Çekilen topların farklı renkte olması demek, ya ilkinin beyaz ikincinin siyah olması ya da ilkinin siyah ikincinin beyaz olması demektir.
- Sonuç: Toplam olasılık \( \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{4}{7} \) olur.
- Yöntem 2: Kombinasyon (Daha ileri seviye ama mantığı anlaşılabilir)
- Adım 1: Torbadan rastgele 2 top çekme yollarının sayısı: \( C(7,2) = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \). Bu bizim tüm olası durumumuz.
- Adım 2: Farklı renkte toplar çekmek demek, 1 beyaz ve 1 siyah top çekmek demektir.
- Adım 3: 4 beyaz top arasından 1 beyaz top seçme yollarının sayısı: \( C(4,1) = 4 \).
- Adım 4: 3 siyah top arasından 1 siyah top seçme yollarının sayısı: \( C(3,1) = 3 \).
- Adım 5: Farklı renkte top çekme yollarının sayısı (olumlu durumlar): \( C(4,1) \times C(3,1) = 4 \times 3 = 12 \).
- Sonuç: Olasılık = \( \frac{\text{Olumlu Durumlar}}{\text{Tüm Durumlar}} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7} \).
Örnek 7:
Bir madeni para iki kez atılıyor. İlk atışın yazı gelme olasılığı nedir?
Çözüm:
Bu olayda ilk atışın sonucu, ikinci atışı etkilemez. Yani bu iki olay bağımsızdır.
- Adım 1: Bir madeni paranın yazı gelme olasılığı her zaman \( \frac{1}{2} \) dir.
- Adım 2: İkinci atışın ne geleceği ilk atışın sonucunu değiştirmez.
- Sonuç: İlk atışın yazı gelme olasılığı \( P(\text{ilk yazı}) = \frac{1}{2} \) olur.
Örnek 8:
Bir kutuda 2 kırmızı ve 3 yeşil olmak üzere toplam 5 top bulunmaktadır. Kutudan rastgele bir top çekiliyor ve rengi not ediliyor. Sonra bu top kutuya geri konuluyor. Ardından ikinci bir top çekiliyor. İki çekilişin de farklı renkte gelme olasılığı nedir?
Çözüm:
Toplar kutuya geri konulduğu için bu olaylar bağımsızdır.
- Adım 1: İlk çekilişte kırmızı gelme olasılığı \( P(\text{ilk kırmızı}) = \frac{2}{5} \).
- Adım 2: İlk çekilişte yeşil gelme olasılığı \( P(\text{ilk yeşil}) = \frac{3}{5} \).
- Adım 3: İkinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı \( P(\text{ikinci kırmızı}) = \frac{2}{5} \) (geri konulduğu için).
- Adım 4: İkinci çekilişte yeşil gelme olasılığı \( P(\text{ikinci yeşil}) = \frac{3}{5} \) (geri konulduğu için).
- Adım 5: İki çekilişin de farklı renkte gelmesi demek, ya ilk kırmızı ikinci yeşil ya da ilk yeşil ikinci kırmızı olması demektir.
- Adım 6: İlk kırmızı ve ikinci yeşil gelme olasılığı: \( P(\text{ilk kırmızı ve ikinci yeşil}) = P(\text{ilk kırmızı}) \times P(\text{ikinci yeşil}) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{25} \).
- Adım 7: İlk yeşil ve ikinci kırmızı gelme olasılığı: \( P(\text{ilk yeşil ve ikinci kırmızı}) = P(\text{ilk yeşil}) \times P(\text{ikinci kırmızı}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25} \).
- Sonuç: İki çekilişin de farklı renkte gelme olasılığı bu iki olasılığın toplamıdır: \( \frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{12}{25} \).
Örnek 9:
Bir sınıfta 10 kız ve 12 erkek öğrenci bulunmaktadır. Bu öğrencilerden rastgele bir komite seçilecektir. Komitenin 3 kişiden oluştuğu biliniyor. Seçilen komitenin en az bir kız öğrenci içerdiği biliniyorsa, komitenin tam olarak bir kız öğrenci içerme olasılığı nedir?
Çözüm:
Bu, koşullu olasılığın güzel bir örneğidir. Bize verilen ek bilgi (en az bir kız öğrenci olması), örnek uzayımızı daraltır.
- Adım 1: Önce tüm olası 3 kişilik komite seçimlerini bulalım. Toplam öğrenci sayısı \( 10 + 12 = 22 \).
- Toplam 3 kişilik komite sayısı: \( C(22,3) = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 7 \times 20 = 1540 \).
- Adım 2: Koşulumuzu belirleyelim: "En az bir kız öğrenci" içeren komiteler. Bunu bulmanın en kolay yolu, tüm komitelerden "hiç kız öğrenci içermeyen" (yani sadece erkeklerden oluşan) komiteleri çıkarmaktır.
- Sadece erkeklerden oluşan 3 kişilik komite sayısı: \( C(12,3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220 \).
- En az bir kız öğrenci içeren komite sayısı: \( 1540 - 220 = 1320 \). Bu bizim yeni, daraltılmış örnek uzayımızdır.
- Adım 3: Şimdi de istenen olayı bulalım: "Tam olarak bir kız öğrenci" içeren komiteler. Bu, 1 kız ve 2 erkek öğrenci seçmek demektir.
- 1 kız öğrenci seçme sayısı: \( C(10,1) = 10 \).
- 2 erkek öğrenci seçme sayısı: \( C(12,2) = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66 \).
- Tam olarak bir kız ve iki erkek içeren komite sayısı: \( C(10,1) \times C(12,2) = 10 \times 66 = 660 \).
- Adım 4: Koşullu olasılığı hesaplayalım: \( P(\text{tam 1 kız} | \text{en az 1 kız}) = \frac{\text{Tam olarak 1 kız içeren komite sayısı}}{\text{En az 1 kız içeren komite sayısı}} \).
- Sonuç: Olasılık \( \frac{660}{1320} = \frac{1}{2} \) olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-kosullu-olasilik-bagimli-ve-bagimsiz-olaylar/sorular