🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Koşullu olasılık, bağımlı ve bağımsız değişkenler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Koşullu olasılık, bağımlı ve bağımsız değişkenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir torbada 3 kırmızı ve 5 mavi bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
Bu klasik bir olasılık sorusudur ve koşullu olasılık öncesinde temel mantığı anlamak için önemlidir.
- Toplam bilye sayısı: 3 (kırmızı) + 5 (mavi) = 8 bilye
- İstenen durum sayısı (mavi bilye): 5
- Olasılık formülü: İstenen Durum Sayısı / Toplam Durum Sayısı
- Mavi bilye çekme olasılığı: \( \frac{5}{8} \)
Örnek 2:
Bir torbada 3 kırmızı ve 5 mavi bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin mavi olduğu bilindiğine göre, bu bilyenin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
Bu soru, koşullu olasılığın temelini anlamak için harika bir örnektir.
- Koşul: Çekilen bilyenin mavi olduğu biliniyor.
- Bu koşul, artık toplam olası sonuçları değiştirir. Yeni evrenimiz sadece mavi bilyelerden oluşur.
- Yeni toplam durum sayısı (mavi bilyeler): 5
- İstenen durum sayısı (kırmızı bilye): 3
- Koşullu olasılık formülü: P(A|B) = P(A ve B) / P(B)
- Ancak burada daha basit bir yaklaşımla, koşul yeni evreni belirler.
- Bu durumda kırmızı olma olasılığı: \( \frac{3}{5} \)
Örnek 3:
İki zar aynı anda atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 7 olduğu bilindiğine göre, bu sayılardan birinin 3 olma olasılığı nedir?
Çözüm:
Bu soru da koşullu olasılık prensibini kullanır.
- İki zar atıldığında toplam olası durum sayısı: \( 6 \times 6 = 36 \)
- Toplamının 7 olduğu durumlar: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Toplam 6 durum.
- Koşul: Gelen sayıların toplamının 7 olması. Bu bizim yeni evrenimiz.
- Yeni evrenimizdeki durum sayısı: 6
- Bu 6 durum içinde bir sayının 3 olduğu durumlar: (3,4) ve (4,3). Toplam 2 durum.
- Koşullu olasılık: İstenen Durum Sayısı (Koşul Altında) / Toplam Durum Sayısı (Koşul Altında)
- Olasılık: \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
Örnek 4:
Bir torbada 4 sarı ve 6 mor top vardır. Torbadan rastgele iki top çekiliyor. Çekilen topların ikisinin de sarı olma olasılığını, toplar çekildikten sonra geri konulmadığı varsayımıyla hesaplayınız.
Çözüm:
Bu, bağımlı olaylar için klasik bir örnektir, çünkü ilk çekilen topun sonucu ikinci çekilişi etkiler (top geri konulmadığı için).
- İlk çekilişte sarı gelme olasılığı: 4 sarı top / 10 toplam top = \( \frac{4}{10} \)
- İlk top sarı geldiğinde ve geri konulmadığında: Geriye 3 sarı top ve toplam 9 top kalır.
- İkinci çekilişte sarı gelme olasılığı (ilk top sarıysa): 3 sarı top / 9 toplam top = \( \frac{3}{9} \)
- İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı: İlk olayın olasılığı \( \times \) İkinci olayın olasılığı
- İki topun da sarı olma olasılığı: \( \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \)
Örnek 5:
Bir madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor. Paranın tura gelmesi ve zarın 5 gelmesi olayları bağımsız mıdır? Bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı nedir?
Çözüm:
Bu, bağımsız olaylar için harika bir örnektir.
- Paranın Tura Gelme Olasılığı: \( P(\text{Tura}) = \frac{1}{2} \)
- Zarın 5 Gelme Olasılığı: \( P(5) = \frac{1}{6} \)
- Bağımsızlık Kontrolü: Bir olayın sonucu diğerini etkilemiyorsa olaylar bağımsızdır. Madeni para atışının sonucu zar atışını etkilemez ve tersi de geçerlidir. Dolayısıyla bu olaylar bağımsızdır. ✅
- İki Bağımsız Olayın Birlikte Gerçekleşme Olasılığı: Olayların olasılıklarının çarpımına eşittir.
- Paranın Tura Gelmesi VE Zarın 5 Gelmesi Olasılığı: \( P(\text{Tura ve 5}) = P(\text{Tura}) \times P(5) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \)
Örnek 6:
Bir kutuda 5 mavi ve 7 kırmızı kart bulunmaktadır. Kutudan rastgele bir kart çekilip rengine bakılıyor ve sonra kutuya geri konuluyor. Bu işlem 3 kez tekrarlanıyor. Buna göre, çekilen kartların üçünün de kırmızı olma olasılığı nedir?
Çözüm:
Bu soruda kartlar kutuya geri konulduğu için her çekiliş bağımsız bir olaydır.
- Bir çekilişte kırmızı kart gelme olasılığı: 7 kırmızı / 12 toplam kart = \( \frac{7}{12} \)
- Çekilişler bağımsız olduğu için: Her çekilişte kırmızı gelme olasılığı aynı kalır. \( P(\text{kırmızı}) = \frac{7}{12} \)
- 3 çekilişin de kırmızı olma olasılığı: Her bir bağımsız olayın olasılıklarının çarpımıdır.
- Toplam Olasılık: \( P(\text{3 kırmızı}) = P(\text{kırmızı}) \times P(\text{kırmızı}) \times P(\text{kırmızı}) = \left(\frac{7}{12}\right)^3 \)
- Hesaplama: \( \frac{7^3}{12^3} = \frac{343}{1728} \)
Örnek 7:
Bir futbol takımının kazanma olasılığı %60, berabere kalma olasılığı %25 ise, bu takımın bir sonraki maçını kaybetme olasılığı nedir?
Çözüm:
Bu soru, olasılığın temel özelliklerinden birini kullanır: Bir olayın gerçekleşmemesinin olasılığı.
- Toplam Olasılık İlkesi: Bir deneydeki tüm olası sonuçların olasılıkları toplamı 1'dir (veya %100).
- Bilinen Olasılıklar:
- Kazanma Olasılığı: \( P(\text{Kazanma}) = 0.60 \)
- Berabere Kalma Olasılığı: \( P(\text{Beraberlik}) = 0.25 \)
- Kaybetme Olasılığı:
- \( P(\text{Kaybetme}) = 1 - (P(\text{Kazanma}) + P(\text{Beraberlik})) \)
- \( P(\text{Kaybetme}) = 1 - (0.60 + 0.25) \)
- \( P(\text{Kaybetme}) = 1 - 0.85 \)
- \( P(\text{Kaybetme}) = 0.15 \)
Örnek 8:
Bir sınıfta 15 kız ve 10 erkek öğrenci bulunmaktadır. Rastgele iki öğrenci seçiliyor. Seçilen öğrencilerden birinin kız olduğu bilindiğine göre, diğerinin de kız olma olasılığı nedir?
Çözüm:
Bu soru, koşullu olasılığın daha karmaşık bir uygulamasıdır.
- Toplam Öğrenci Sayısı: 15 kız + 10 erkek = 25 öğrenci
- Olası İki Öğrenci Seçim Durumları: \( \binom{25}{2} = \frac{25 \times 24}{2} = 300 \)
- İki Öğrencinin de Kız Olma Durumu: \( \binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2} = 105 \)
- Bir Kız ve Bir Erkek Seçme Durumu: \( \binom{15}{1} \times \binom{10}{1} = 15 \times 10 = 150 \)
- Koşul: Seçilen öğrencilerden birinin kız olduğu biliniyor.
- Bu, toplam olası durumları daraltır. İki durum söz konusu olabilir:
- a) Birinci öğrenci kız, ikinci öğrenci erkek (veya tam tersi).
- b) Her iki öğrenci de kız.
- Koşul altındaki toplam durum sayısı: (Bir kız ve bir erkek) + (İki kız) = 150 + 105 = 255
- İstenen Durum: Diğerinin de kız olma olasılığı. Yani, her iki öğrencinin de kız olması durumu.
- Bu durumun koşul altındaki olasılığı: İki kız seçme durumu / Koşul altındaki toplam durum sayısı
- Olasılık: \( \frac{105}{255} \)
- Bu kesir sadeleştirilebilir: \( \frac{105 \div 15}{255 \div 15} = \frac{7}{17} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-kosullu-olasilik-bagimli-ve-bagimsiz-degiskenler/sorular