📄 10. Sınıf Matematik: Koşullu olasılık, bağımlı ve bağımsız değişkenler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bu soru koşullu olasılık problemidir. \( A \) olayı 'çekilen topun numarasının 6 olması' ve \( B \) olayı 'çekilen topun numarasının çift olması' olsun. Bizden \( P(A|B) \) yani \( B \) olayı gerçekleştiğinde \( A \) olayının gerçekleşme olasılığı istenmektedir.

Evrensel küme (çekilebilecek tüm toplar): \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} \). Toplam 10 olası durum vardır.

\( B \) olayı (çekilen topun çift olması): \( B = \{2, 4, 6, 8, 10 \} \). Bu olayın gerçekleşme sayısı 5'tir.

\( A \) olayı (çekilen topun 6 olması): \( A = \{6 \} \). Bu olayın gerçekleşme sayısı 1'dir.

Biz, çekilen topun çift olduğunu biliyoruz. Yani artık sadece \( B \) kümesindeki elemanlar arasından seçim yapabiliriz. Bu küme \( \{2, 4, 6, 8, 10 \} \) olup 5 elemanlıdır.

Bu 5 eleman arasından 6'nın gelme olasılığı sorulmaktadır. \( A \) olayı ile \( B \) olayının kesişimi \( A \cap B = \{6 \} \)'dir. Yani 6 numaralı top hem tektir hem de çifttir (bu, zaten çift olma koşulu altında 6'nın olma durumunu gösterir).

Koşullu olasılık formülü: \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \).

\( P(B) = \frac{\text{Tek çift sayılar}}{\text{Toplam sayılar}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
\( P(A \cap B) = \frac{\text{6'nın gelme olasılığı}}{\text{Toplam sayılar}} = \frac{1}{10} \)

\( P(A|B) = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{5}{10}} = \frac{1}{10} \times \frac{10}{5} = \frac{1}{5} \)

Alternatif olarak, koşullu olasılığı daha basit bir şekilde, olayın gerçekleştiği bilinen kümeyi yeni evrensel küme olarak alarak hesaplayabiliriz:

Yeni evrensel küme (çift sayılar): \( \{2, 4, 6, 8, 10 \} \) (5 eleman).
Bu kümedeki istenen durum (6 gelmesi): 1 eleman.

O halde olasılık = \( \frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Yeni evrensel küme sayısı}} = \frac{1}{5} \).

Sonuç olarak, çekilen topun çift olduğu bilindiğinde, bu topun 6 olma olasılığı \( \frac{1}{5} \)'tir.

💡 Çözüm Adımları:

Bu problemde, çekilen mendillerin farklı renkte olması durumu, ya ilk mendilin sarı ve ikincinin mavi olması ya da ilk mendilin mavi ve ikincinin sarı olması durumlarını kapsar. Mendiller çekildikten sonra torbaya geri atılmadığı için bu olaylar bağımlıdır.

Toplam mendil sayısı: \( 3 \text{ sarı} + 4 \text{ mavi} = 7 \) mendil.

Olası durumları ikiye ayırabiliriz:

Durum 1: İlk mendil sarı, ikinci mendil mavi gelir.
- İlk mendilin sarı gelme olasılığı: \( P(\text{1. Sarı}) = \frac{3}{7} \).
- İlk mendil sarı çekildikten sonra kutuda 2 sarı ve 4 mavi mendil kalır (toplam 6 mendil).
- Bu durumda ikinci mendilin mavi gelme olasılığı: \( P(\text{2. Mavi | 1. Sarı}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
- Bu durumun birlikte gerçekleşme olasılığı: \( P(\text{1. Sarı ve 2. Mavi}) = P(\text{1. Sarı}) \times P(\text{2. Mavi | 1. Sarı}) = \frac{3}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7} \).

Durum 2: İlk mendil mavi, ikinci mendil sarı gelir.
- İlk mendilin mavi gelme olasılığı: \( P(\text{1. Mavi}) = \frac{4}{7} \).
- İlk mendil mavi çekildikten sonra kutuda 3 sarı ve 3 mavi mendil kalır (toplam 6 mendil).
- Bu durumda ikinci mendilin sarı gelme olasılığı: \( P(\text{2. Sarı | 1. Mavi}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
- Bu durumun birlikte gerçekleşme olasılığı: \( P(\text{1. Mavi ve 2. Sarı}) = P(\text{1. Mavi}) \times P(\text{2. Sarı | 1. Mavi}) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \).

Çekilen mendillerin farklı renkte olması durumu, bu iki durumdan birinin gerçekleşmesi anlamına gelir. Bu iki durum ayrık olduğu için olasılıkları toplanır:

Toplam olasılık = \( P(\text{1. Sarı ve 2. Mavi}) + P(\text{1. Mavi ve 2. Sarı}) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{4}{7} \).

Sonuç olarak, çekilen mendillerin farklı renkte olma olasılığı \( \frac{4}{7} \)'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Bu problemde iki farklı deney söz konusudur: zar atma ve madeni para atma.

Zar atma deneyinde olası sonuçlar: \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \). Tek sayı gelmesi olayı \( A = \{1, 3, 5 \} \)'dir. Bu olayın olasılığı \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)'dir.

Madeni para atma deneyinde olası sonuçlar: \( \{Yazı, Tura \} \). Tura gelmesi olayı \( B = \{Tura \} \)'dir. Bu olayın olasılığı \( P(B) = \frac{1}{2} \)'dir.

Bu iki deney birbirinden bağımsızdır çünkü birinin sonucunun diğerinin sonucunu etkilemesi söz konusu değildir. Zarın tek gelmesi, paranın tura gelme olasılığını değiştirmez ve tersi de geçerlidir.

İki olayın bağımsız olması durumunda, birlikte gerçekleşme olasılıkları olasılıklarının çarpımına eşittir:

\( P(A \text{ ve } B) = P(A) \times P(B) \)

\( P(A \text{ ve } B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

Sonuç olarak, zarın tek sayı gelmesi ve paranın tura gelmesi olayları bağımsızdır. Bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı \( \frac{1}{4} \)'tir.