💡 10. Sınıf Matematik: Kombinasyon Çözümlü Örnekler

• 👉 Toplam öğrenci sayısı (n) = 7
• 👉 Seçilecek öğrenci sayısı (r) = 3
• ✅ Kombinasyon formülü: \( C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)
• Şimdi değerleri formüle yerleştirelim:
• \[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} \]
• \[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!4!} \]
• Faktöriyelleri açalım:
• \[ C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} \]
• Sadeleştirmeleri yapalım:
• \[ C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \]
• \[ C(7, 3) = \frac{210}{6} \]
• \[ C(7, 3) = 35 \]

Sonuç olarak, 7 öğrenciden 3 kişilik bir ekip 35 farklı şekilde oluşturulabilir.

• 👉 Roman seçimi: 5 romandan 2 tanesi seçilecek.
• \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10 \]
• 👉 Hikaye kitabı seçimi: 4 hikaye kitabından 1 tanesi seçilecek.
• \[ C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4}{1} = 4 \]
• ✅ Toplam seçim sayısı, bu iki seçimin çarpımıyla bulunur:
• Toplam Seçim = (Roman Seçimi) \( \times \) (Hikaye Kitabı Seçimi)
• Toplam Seçim = \( 10 \times 4 = 40 \)

Buna göre, 2 roman ve 1 hikaye kitabı 40 farklı şekilde seçilebilir.

• 👉 Kız öğrenci seçimi: 6 kız öğrenci arasından 3 kız seçilecek.
• \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20 \]
• 👉 Erkek öğrenci seçimi: 4 erkek öğrenci arasından 2 erkek seçilecek.
• \[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = \frac{12}{2} = 6 \]
• ✅ Toplam komisyon oluşturma sayısı:
• Toplam = (Kız Seçimi) \( \times \) (Erkek Seçimi)
• Toplam = \( 20 \times 6 = 120 \)

Bu komisyon 120 farklı şekilde oluşturulabilir.

• 👉 Toplam öğrenci sayısı = 12
• 👉 Takım boyutu = 4 kişi
• 👉 Ayşe ve Burak mutlaka takımda olmalı.
• Bu durumda, Ayşe ve Burak zaten seçilmiş sayılır. Yani:
• ✅ Seçilecek kişi sayısından 2 kişi (Ayşe ve Burak) eksildi: \( 4 - 2 = 2 \) kişi daha seçilecek.
• ✅ Toplam öğrenci sayısından 2 kişi (Ayşe ve Burak) eksildi: \( 12 - 2 = 10 \) öğrenci kaldı.
• Şimdi, kalan 10 öğrenciden kalan 2 kişiyi seçmeliyiz.
• \[ C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} \]
• \[ C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = \frac{90}{2} = 45 \]

Ayşe ve Burak'ın mutlaka bulunduğu 4 kişilik takım 45 farklı şekilde oluşturulabilir.

• 👉 Toplam malzeme seçeneği (n) = 8
• 👉 Seçilecek malzeme sayısı (r) = 3
• ✅ Kombinasyon formülü ile hesaplayalım:
• \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} \]
• \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!5!} \]
• \[ C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \]
• \[ C(8, 3) = \frac{336}{6} \]
• \[ C(8, 3) = 56 \]

Müşteri, 56 farklı şekilde pizza siparişi verebilir.

• Senaryo 1: İlk 4 sorudan 3'ünü cevaplar.
• 👉 İlk 4 sorudan 3'ünü seçme: \( C(4, 3) = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4 \)
• 👉 Geriye kalan \( 10 - 4 = 6 \) sorudan \( 7 - 3 = 4 \) tanesini seçme: \( C(6, 4) = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \)
• Bu senaryodaki toplam seçim: \( 4 \times 15 = 60 \)
• Senaryo 2: İlk 4 sorudan 4'ünü cevaplar.
• 👉 İlk 4 sorudan 4'ünü seçme: \( C(4, 4) = \frac{4!}{4!0!} = 1 \) (Unutmayın, \( 0! = 1 \))
• 👉 Geriye kalan \( 10 - 4 = 6 \) sorudan \( 7 - 4 = 3 \) tanesini seçme: \( C(6, 3) = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \)
• Bu senaryodaki toplam seçim: \( 1 \times 20 = 20 \)
• ✅ Toplam farklı cevaplama şekli, iki senaryonun toplamıdır:
• Toplam = (Senaryo 1) + (Senaryo 2)
• Toplam = \( 60 + 20 = 80 \)

Öğrenci sınav sorularını 80 farklı şekilde cevaplayabilir.

• Senaryo 1: 2 sulu boya ve 1 başka boya seti.
• 👉 5 sulu boya setinden 2'sini seçme: \( C(5, 2) = 10 \)
• 👉 Kalan \( 3 \) pastel boya ve \( 2 \) yağlı boya setinden (toplam 5 set) 1'ini seçme: \( C(5, 1) = 5 \)
• Bu senaryodaki seçim: \( 10 \times 5 = 50 \)
• Senaryo 2: 3 sulu boya seti.
• 👉 5 sulu boya setinden 3'ünü seçme: \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
• 👉 Diğer boya setlerinden 0'ını seçme: \( C(5, 0) = 1 \)
• Bu senaryodaki seçim: \( 10 \times 1 = 10 \)
• ✅ Toplam farklı seçim sayısı:
• Toplam = (Senaryo 1) + (Senaryo 2)
• Toplam = \( 50 + 10 = 60 \)

Öğrenci 60 farklı şekilde boya seti seçimi yapabilir.

• 👉 Toplam oyuncu sayısı (n) = 11
• 👉 Seçilecek oyuncu sayısı (r) = 5
• ✅ Kombinasyon formülünü kullanalım:
• \[ C(11, 5) = \frac{11!}{5!(11-5)!} \]
• \[ C(11, 5) = \frac{11!}{5!6!} \]
• \[ C(11, 5) = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]
• Sadeleştirmeleri yapalım:
• \( 5 \times 2 = 10 \) olduğu için 10 ile sadeleşir.
• \( 4 \times 3 = 12 \), \( 9 \times 8 / 12 = 3 \times 2 = 6 \). Veya \( 9 \) ile \( 3 \) sadeleşir \( (3) \), \( 8 \) ile \( 4 \) sadeleşir \( (2) \).
• \[ C(11, 5) = 11 \times \frac{10}{5 \times 2} \times \frac{9}{3} \times \frac{8}{4} \times 7 \]
• \[ C(11, 5) = 11 \times 1 \times 3 \times 2 \times 7 \]
• \[ C(11, 5) = 11 \times 42 \]
• \[ C(11, 5) = 462 \]

5 kişilik hücum hattı 462 farklı şekilde oluşturulabilir.