💡 10. Sınıf Matematik: Kombinasyon ve permutasyon Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Soru: Birbirinden farklı 5 matematik ve 3 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir. Bu kitaplar kaç farklı şekilde sıralanabilir? 📚
Çözüm ve Açıklama
Bu bir sıralama (permütasyon) problemidir. Toplam nesne sayısını belirleyerek işleme başlarız:
Toplam kitap sayısı: \( 5 + 3 = 8 \) adettir.
Farklı \( n \) tane nesne yan yana \( n! \) kadar farklı şekilde sıralanır.
Bu durumda 8 kitap yan yana:
\[ 8! \]
farklı şekilde sıralanabilir. Sonuç: \( 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \) olur. ✅
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Soru: Aralarında Elif ve Mert'in de bulunduğu 6 kişilik bir arkadaş grubu yan yana fotoğraf çektirecektir. Elif ve Mert'in daima yan yana olması koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler? 📸
Çözüm ve Açıklama
Koşullu permütasyon sorularında yan yana olması istenen kişileri tek bir birim gibi düşünürüz:
Elif ve Mert'i bir paket (1 kişi) gibi kabul edelim.
Geriye kalan 4 kişi ile birlikte toplamda \( 1 + 4 = 5 \) birim olur.
Bu 5 birim kendi arasında \( 5! \) şeklinde sıralanır.
Ayrıca Elif ve Mert kendi aralarında yer değiştirebilir, bu da \( 2! \) durum oluşturur.
Hesaplama:
\[ 5! \times 2! \]
\[ 120 \times 2 = 240 \]
Sonuç olarak 240 farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler. 🌟
3
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Soru: 10 kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? 🎓
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda hem seçme hem de görev dağılımı (sıralama) olduğu için permütasyon kullanılabilir veya çarpma yoluyla sayma yapılabilir:
Başkanlık için seçilebilecek \( 10 \) aday vardır.
Başkan seçildikten sonra, kalan \( 9 \) kişi arasından bir başkan yardımcısı seçilir.
Sayma kuralına göre toplam durum:
\[ 10 \times 9 = 90 \]
Veya permütasyon formülü ile: \( P(10, 2) = 90 \) bulunur. ✅
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Soru: 8 kişilik bir sporcu grubundan 3 kişilik bir basketbol takımı oluşturulacaktır. Bu takım kaç farklı şekilde seçilebilir? 🏀
Çözüm ve Açıklama
Bu bir seçim (kombinasyon) problemidir. Sıralama önemli değildir, sadece grubun kimlerden oluştuğu önemlidir:
Soru: Bir kafenin menüsünde 4 çeşit gözleme, 3 çeşit soğuk içecek ve 2 çeşit tatlı bulunmaktadır. Bir müşteri her birinden en fazla birer tane almak şartıyla bir gözleme, bir içecek ve bir tatlıdan oluşan bir menüyü kaç farklı şekilde oluşturabilir? 🍴
Çözüm ve Açıklama
Günlük hayatta seçim yaparken çarpma yoluyla sayma kuralını kullanırız:
Gözleme seçimi için: 4 seçenek.
İçecek seçimi için: 3 seçenek.
Tatlı seçimi için: 2 seçenek.
Toplam Menü Sayısı:
\[ 4 \times 3 \times 2 = 24 \]
Müşteri 24 farklı menü kombinasyonu oluşturabilir. 🥤
6
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Soru: Bir çember üzerinde bulunan 7 farklı nokta kullanılarak köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Geometrik kombinasyon sorularında üçgen oluşturmak için doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç vardır:
Çember üzerindeki herhangi 3 nokta asla doğrusal olamaz.
Bu nedenle 7 noktadan herhangi 3 tanesini seçmek yeterlidir.
Soru: Bir akıllı telefonun giriş şifresi 4 haneli rakamlardan oluşmaktadır. Şifrenin ilk iki hanesi harf (A, B, C kümelerinden), son iki hanesi ise rakam (0, 1, 2, 3, 4, 5 kümelerinden) olacaktır. Harfler ve rakamlar tekrarsız kullanılacağına göre kaç farklı şifre oluşturulabilir? 📱
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda hem harf hem de rakam kümelerinden seçme ve sıralama yapmamız gerekiyor:
Harf kısmı: 3 harf arasından 2 tane seçilip sıralanacak. \( P(3, 2) = 3 \times 2 = 6 \) durum.
Rakam kısmı: 6 rakam arasından 2 tane seçilip sıralanacak. \( P(6, 2) = 6 \times 5 = 30 \) durum.
Toplam Şifre Sayısı:
\[ 6 \times 30 = 180 \]
Sonuç: 180 farklı şifre oluşturulabilir. 🔐
8
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Soru: 5 doktor ve 4 hemşire arasından, içinde en az 2 doktor bulunan 3 kişilik bir sağlık ekibi kaç farklı şekilde seçilebilir? 🏥
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda "en az" ifadesine dikkat ederek durumları gruplandırmalıyız:
Durum 1: 2 Doktor ve 1 Hemşire seçilmesi.
\[ C(5, 2) \times C(4, 1) = 10 \times 4 = 40 \]
Durum 2: 3 Doktor ve 0 Hemşire seçilmesi.
\[ C(5, 3) \times C(4, 0) = 10 \times 1 = 10 \]
Toplam Seçenek Sayısı:
\[ 40 + 10 = 50 \]
Sonuç: 50 farklı şekilde ekip oluşturulabilir. ✅
10. Sınıf Matematik: Kombinasyon ve permutasyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Soru: Birbirinden farklı 5 matematik ve 3 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir. Bu kitaplar kaç farklı şekilde sıralanabilir? 📚
Çözüm:
Bu bir sıralama (permütasyon) problemidir. Toplam nesne sayısını belirleyerek işleme başlarız:
Toplam kitap sayısı: \( 5 + 3 = 8 \) adettir.
Farklı \( n \) tane nesne yan yana \( n! \) kadar farklı şekilde sıralanır.
Bu durumda 8 kitap yan yana:
\[ 8! \]
farklı şekilde sıralanabilir. Sonuç: \( 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \) olur. ✅
Örnek 2:
Soru: Aralarında Elif ve Mert'in de bulunduğu 6 kişilik bir arkadaş grubu yan yana fotoğraf çektirecektir. Elif ve Mert'in daima yan yana olması koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler? 📸
Çözüm:
Koşullu permütasyon sorularında yan yana olması istenen kişileri tek bir birim gibi düşünürüz:
Elif ve Mert'i bir paket (1 kişi) gibi kabul edelim.
Geriye kalan 4 kişi ile birlikte toplamda \( 1 + 4 = 5 \) birim olur.
Bu 5 birim kendi arasında \( 5! \) şeklinde sıralanır.
Ayrıca Elif ve Mert kendi aralarında yer değiştirebilir, bu da \( 2! \) durum oluşturur.
Hesaplama:
\[ 5! \times 2! \]
\[ 120 \times 2 = 240 \]
Sonuç olarak 240 farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler. 🌟
Örnek 3:
Soru: 10 kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? 🎓
Çözüm:
Bu soruda hem seçme hem de görev dağılımı (sıralama) olduğu için permütasyon kullanılabilir veya çarpma yoluyla sayma yapılabilir:
Başkanlık için seçilebilecek \( 10 \) aday vardır.
Başkan seçildikten sonra, kalan \( 9 \) kişi arasından bir başkan yardımcısı seçilir.
Sayma kuralına göre toplam durum:
\[ 10 \times 9 = 90 \]
Veya permütasyon formülü ile: \( P(10, 2) = 90 \) bulunur. ✅
Örnek 4:
Soru: 8 kişilik bir sporcu grubundan 3 kişilik bir basketbol takımı oluşturulacaktır. Bu takım kaç farklı şekilde seçilebilir? 🏀
Çözüm:
Bu bir seçim (kombinasyon) problemidir. Sıralama önemli değildir, sadece grubun kimlerden oluştuğu önemlidir:
Soru: Bir kafenin menüsünde 4 çeşit gözleme, 3 çeşit soğuk içecek ve 2 çeşit tatlı bulunmaktadır. Bir müşteri her birinden en fazla birer tane almak şartıyla bir gözleme, bir içecek ve bir tatlıdan oluşan bir menüyü kaç farklı şekilde oluşturabilir? 🍴
Çözüm:
Günlük hayatta seçim yaparken çarpma yoluyla sayma kuralını kullanırız:
Gözleme seçimi için: 4 seçenek.
İçecek seçimi için: 3 seçenek.
Tatlı seçimi için: 2 seçenek.
Toplam Menü Sayısı:
\[ 4 \times 3 \times 2 = 24 \]
Müşteri 24 farklı menü kombinasyonu oluşturabilir. 🥤
Örnek 6:
Soru: Bir çember üzerinde bulunan 7 farklı nokta kullanılarak köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir? 📐
Çözüm:
Geometrik kombinasyon sorularında üçgen oluşturmak için doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç vardır:
Çember üzerindeki herhangi 3 nokta asla doğrusal olamaz.
Bu nedenle 7 noktadan herhangi 3 tanesini seçmek yeterlidir.
Soru: Bir akıllı telefonun giriş şifresi 4 haneli rakamlardan oluşmaktadır. Şifrenin ilk iki hanesi harf (A, B, C kümelerinden), son iki hanesi ise rakam (0, 1, 2, 3, 4, 5 kümelerinden) olacaktır. Harfler ve rakamlar tekrarsız kullanılacağına göre kaç farklı şifre oluşturulabilir? 📱
Çözüm:
Bu soruda hem harf hem de rakam kümelerinden seçme ve sıralama yapmamız gerekiyor:
Harf kısmı: 3 harf arasından 2 tane seçilip sıralanacak. \( P(3, 2) = 3 \times 2 = 6 \) durum.
Rakam kısmı: 6 rakam arasından 2 tane seçilip sıralanacak. \( P(6, 2) = 6 \times 5 = 30 \) durum.
Toplam Şifre Sayısı:
\[ 6 \times 30 = 180 \]
Sonuç: 180 farklı şifre oluşturulabilir. 🔐
Örnek 8:
Soru: 5 doktor ve 4 hemşire arasından, içinde en az 2 doktor bulunan 3 kişilik bir sağlık ekibi kaç farklı şekilde seçilebilir? 🏥
Çözüm:
Bu soruda "en az" ifadesine dikkat ederek durumları gruplandırmalıyız: