💡 10. Sınıf Matematik: Kombinasyon ve pascal üçgeni Çözümlü Örnekler

Bu soruyu kombinasyon prensibini kullanarak çözebiliriz. Seçilecek elemanların sırasının önemli olmadığı durumlarda kombinasyon kullanılır. * Elimizde toplam 5 farklı renk bilye var. * Bu 5 bilye arasından 2 tanesini seçmek istiyoruz. * Kombinasyon formülü \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) ile hesaplanır. * Burada \( n=5 \) (toplam bilye sayısı) ve \( k=2 \) (seçilecek bilye sayısı). * \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} \) * \( \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \) * \( \frac{20}{2} = 10 \) Sonuç olarak, 5 farklı renkteki bilye arasından 2 tanesi 10 farklı şekilde seçilebilir. ✅

Bu soruda, toplam öğrenci sayısından 3 kişilik bir komisyon seçeceğiz. Sıra önemli olmadığı için kombinasyon kullanacağız. * Toplam öğrenci sayısı = 8 erkek + 6 kız = 14 öğrenci. * Seçilecek komisyon üyesi sayısı = 3. * Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) * Burada \( n=14 \) ve \( k=3 \). * \( C(14, 3) = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3!11!} \) * \( \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11!}{(3 \times 2 \times 1) \times 11!} \) * \( \frac{14 \times 13 \times 12}{6} \) * \( 14 \times 13 \times 2 = 364 \) Bu 14 öğrenciden 3 kişilik bir komisyon 364 farklı şekilde oluşturulabilir. 👉

Bu soruda seçilecek kişilerin sırası önemlidir (başkan farklı, başkan yardımcısı farklı). Bu nedenle permütasyon kullanmalıyız. Eğer sıra önemli olmasaydı kombinasyon kullanırdık. * Seçilecek pozisyon sayısı = 2 (Başkan ve Başkan Yardımcısı). * Toplam kişi sayısı = 7. * Permütasyon formülü \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \) ile hesaplanır. * Burada \( n=7 \) ve \( k=2 \). * \( P(7, 2) = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} \) * \( \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!} = 7 \times 6 = 42 \) Dolayısıyla, 7 kişilik bir gruptan bir başkan ve bir başkan yardımcısı 42 farklı şekilde seçilebilir. 🎉

Bu problemde, tatlı seçimi ve içecek seçimi birbirinden bağımsızdır. Bu tür durumlarda çarpma prensibi kullanılır. * Tatlı seçenekleri sayısı = 4 * İçecek seçenekleri sayısı = 3 * Toplam menü seçeneği sayısı = (Tatlı seçenekleri sayısı) \( \times \) (İçecek seçenekleri sayısı) * Toplam menü seçeneği sayısı = \( 4 \times 3 = 12 \) Müşteri, bir tatlı ve bir içecekten oluşan bir menüyü 12 farklı şekilde seçebilir. 😋

Bu durum, farklı kategorilerdeki seçeneklerin birleştirilmesiyle ilgilidir ve çarpma prensibi ile çözülür. * Renk seçenekleri sayısı = 6 * Arka kapak deseni seçenekleri sayısı = 4 * Toplam kişiselleştirme seçeneği sayısı = (Renk seçenekleri sayısı) \( \times \) (Arka kapak deseni seçenekleri sayısı) * Toplam kişiselleştirme seçeneği sayısı = \( 6 \times 4 = 24 \) Bir kullanıcı, telefonunun rengini ve arka kapağının desenini 24 farklı şekilde belirleyebilir. ✨

Pascal üçgeni, katsayıları binom açılımlarında kullanılan üçgensel bir dizilimdir. Her satır, bir önceki satırın sayıları kullanılarak oluşturulur. 0. Satır:* 1 1. Satır:* 1 1 2. Satır:* 1 2 1 (1+1=2) 3. Satır:* 1 3 3 1 (1+2=3, 2+1=3) 4. Satır:* 1 4 6 4 1 (1+3=4, 3+3=6, 3+1=4) Pascal üçgeninin 4. satırındaki sayılar 1, 4, 6, 4, 1'dir. Bu sayılar \( (a+b)^4 \) ifadesinin açılımındaki katsayılardır. 🔢

Fotoğraf çekimi için seçilecek kişilerin sırası önemli değildir. Önemli olan kimlerin seçildiğidir. Bu nedenle kombinasyon kullanmalıyız. * Toplam kişi sayısı = 10. * Fotoğraf için seçilecek kişi sayısı = 3. * Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) * Burada \( n=10 \) ve \( k=3 \). * \( C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} \) * \( \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{(3 \times 2 \times 1) \times 7!} \) * \( \frac{10 \times 9 \times 8}{6} \) * \( 10 \times 3 \times 4 = 120 \) Bu 10 kişiden 3'ü 120 farklı şekilde seçilebilir. 🌟

Bu tür soruları çözmek için önce toplam seçilebilecek kişi sayısını bulup, ardından istenmeyen durumları (yani eşlerin birlikte seçildiği durumları) çıkarmalıyız. 1. Toplam 3 kişi seçme durumu: * Toplam kişi sayısı = 5 çift \( \times \) 2 kişi/çift = 10 kişi. * 10 kişi arasından 3 kişi seçme (kombinasyon): \( C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \) 2. İstenmeyen durum (Eşlerin birlikte seçildiği durumlar): * Eşlerin birlikte seçildiği durum, aslında bir "çift" seçmek demektir. * Kaç çift seçilebilir? 3 kişi seçileceği için, en fazla 1 çift seçilebilir. (Çünkü 2 çift seçilirse 4 kişi olur, bu da 3 kişiden fazla.) * Eğer 1 çift seçilirse, bu çiftin içinden 1 kişi seçilmiş olur. Geriye kalan 2 kişiyi diğer çiftlerden seçeceğiz. * Bir çift seçme durumu: 5 çiftten 1 çift seçilir \( \rightarrow C(5, 1) = 5 \). Bu seçilen çiftin içinden 1 kişi seçilir \( \rightarrow C(2, 1) = 2 \). Yani, bir çift ve içinden bir kişi seçme = \( 5 \times 2 = 10 \) durum. * Bu 10 durum, aslında 1 çift ve 1 kişi seçmektir. Ama biz 3 kişi seçeceğiz. * Daha doğru bir yaklaşımla: 3 kişi seçilecek ve bu 3 kişinin arasında eş olmayacak. * Bu, şu demektir: Seçilen 3 kişinin hiçbiri birbirinin eşi olmamalıdır. * Bu soruyu, 3 kişinin hiçbirinin eş olmaması şeklinde ele alalım: * Önce 3 çift seçelim: \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = 10 \) farklı çift seçimi. * Seçilen her çiftten birer kişi alacağız. * İlk çiftten 2 seçenek, ikinci çiftten 2 seçenek, üçüncü çiftten 2 seçenek. * Toplam istenmeyen durum sayısı = \( C(5, 3) \times 2 \times 2 \times 2 = 10 \times 8 = 80 \) 3. Sonuç: * Toplam seçilebilecek 3 kişilik gruplar sayısı = 120. * İstenmeyen durum sayısı (en az bir eşin olduğu durumlar) = 80. * Aralarında eş olmayan 3 kişi seçme sayısı = Toplam durum - İstenmeyen durum * \( 120 - 80 = 40 \) Bu 5 evli çift arasından, aralarında eş olmayan 3 kişi 40 farklı şekilde seçilebilir. 🧐