💡 10. Sınıf Matematik: Kombinasyon: N Nesneden R Nesne Seçimi Çözümlü Örnekler

Bu bir kombinasyon problemidir çünkü seçilen kişilerin sırası önemli değildir, sadece kimlerin seçildiği önemlidir. 💡

• 👉 Toplam öğrenci sayısı (n) = 12
• 👉 Seçilecek öğrenci sayısı (r) = 3

Kombinasyon formülü \( C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) şeklindedir.

Şimdi değerleri formülde yerine yazalım: \[ C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} \] \[ C(12, 3) = \frac{12!}{3!9!} \]

Faktöriyelleri açalım:

\[ C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{3 \times 2 \times 1 \times 9!} \]

\( 9! \) ifadeleri birbirini götürür:

\[ C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} \] \[ C(12, 3) = \frac{1320}{6} \] \[ C(12, 3) = 220 \]

✅ Yani, 12 öğrenci arasından 3 kişilik bir komisyon 220 farklı şekilde seçilebilir.

Bu problemde hem elma hem de armut seçimi ayrı ayrı yapılıp sonuçlar çarpılmalıdır. 🛒

• 👉 Elma Seçimi:
• Toplam elma çeşidi (n) = 5
• Seçilecek elma sayısı (r) = 3

Elma seçimi için kombinasyon:

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} \] \[ C(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

Yani, 5 çeşit elmadan 3 elma 10 farklı şekilde seçilebilir.

• 👉 Armut Seçimi:
• Toplam armut çeşidi (n) = 4
• Seçilecek armut sayısı (r) = 2

Armut seçimi için kombinasyon:

\[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} \] \[ C(4, 2) = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2! \times 2 \times 1} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Yani, 4 çeşit armuttan 2 armut 6 farklı şekilde seçilebilir.

📌 Hem elma hem de armut seçimi yapıldığı için bu iki sonucun çarpılması gerekir:

Toplam Seçim = (Elma Seçimi) \( \times \) (Armut Seçimi)

Toplam Seçim = \( 10 \times 6 = 60 \)

✅ Manavdan 3 elma ve 2 armut 60 farklı şekilde seçilebilir.

Bir doğru oluşturmak için iki noktaya ihtiyacımız vardır. Herhangi üç noktanın doğrusal olmaması, her iki nokta seçiminin farklı bir doğru oluşturacağı anlamına gelir. 📏

• 👉 Toplam nokta sayısı (n) = 7
• 👉 Bir doğru çizmek için seçilecek nokta sayısı (r) = 2

Bu bir kombinasyon problemidir çünkü noktaların seçilme sırası önemli değildir (A'dan B'ye çizilen doğru ile B'den A'ya çizilen doğru aynıdır).

Kombinasyon formülünü kullanalım: \[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} \] \[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!5!} \]

Faktöriyelleri açalım:

\[ C(7, 2) = \frac{7 \times 6 \times 5!}{2 \times 1 \times 5!} \]

\( 5! \) ifadeleri birbirini götürür:

\[ C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2} \] \[ C(7, 2) = \frac{42}{2} \] \[ C(7, 2) = 21 \]

✅ Düzlemdeki 7 farklı noktadan 21 farklı doğru çizilebilir.

Bir üçgen oluşturmak için üç noktaya ihtiyacımız vardır. Herhangi üç noktanın doğrusal olmaması, seçilen her üç noktanın bir üçgen oluşturacağı anlamına gelir. ✍️

• 👉 Toplam nokta sayısı (n) = 8
• 👉 Bir üçgen oluşturmak için seçilecek nokta sayısı (r) = 3

Bu da bir kombinasyon problemidir çünkü noktaların seçilme sırası önemli değildir (ABC üçgeni ile BCA üçgeni aynıdır).

Kombinasyon formülünü kullanalım: \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} \] \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!5!} \]

Faktöriyelleri açalım:

\[ C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!} \]

\( 5! \) ifadeleri birbirini götürür:

\[ C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \] \[ C(8, 3) = \frac{336}{6} \] \[ C(8, 3) = 56 \]

✅ Düzlemdeki 8 farklı noktadan 56 farklı üçgen oluşturulabilir.

"En az 2 yönetici" şartı, 2 yönetici, 3 yönetici veya 4 yönetici seçilebileceği anlamına gelir. Bu durumları ayrı ayrı hesaplayıp toplamamız gerekiyor. 🤔

• Toplam yönetici sayısı = 6
• Toplam mühendis sayısı = 4
• Toplam kişi sayısı = 10
• Seçilecek kişi sayısı = 4

Şimdi olası durumları inceleyelim:

Durum 1: 2 yönetici ve 2 mühendis seçilmesi

• Yönetici seçimi: \( C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \)
• Mühendis seçimi: \( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \)
• Bu durum için ekip sayısı: \( 15 \times 6 = 90 \)

Durum 2: 3 yönetici ve 1 mühendis seçilmesi

• Yönetici seçimi: \( C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \)
• Mühendis seçimi: \( C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4}{1} = 4 \)
• Bu durum için ekip sayısı: \( 20 \times 4 = 80 \)

Durum 3: 4 yönetici ve 0 mühendis seçilmesi

• Yönetici seçimi: \( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \)
• Mühendis seçimi: \( C(4, 0) = \frac{4!}{0!(4-0)!} = \frac{4!}{0!4!} = 1 \) (Hiç mühendis seçilmemesi 1 yoldur)
• Bu durum için ekip sayısı: \( 15 \times 1 = 15 \)

📌 Tüm bu durumların toplamı bize "en az 2 yönetici" içeren ekip sayısını verir:

Toplam Ekip Sayısı = \( 90 + 80 + 15 = 185 \)

✅ Ekipte en az 2 yönetici bulunması şartıyla 185 farklı ekip oluşturulabilir.

Bu tür problemlerde, tüm durumdan istenmeyen durumu çıkarmak genellikle daha kolaydır. 🚫

• Toplam roman sayısı (n) = 10
• Seçilecek roman sayısı (r) = 4

Adım 1: Tüm olası seçimleri hesaplayalım.

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} \] \[ C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!} \] \[ C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} = 10 \times 3 \times 7 = 210 \]

Yani, toplamda 210 farklı seçim yapılabilir.

Adım 2: İstenmeyen durumu (A ve B romanlarının aynı anda seçildiği durumu) hesaplayalım.

A ve B romanları seçildiyse, geriye 8 roman kalır ve bizim bu 8 romandan 2 roman daha seçmemiz gerekir (çünkü toplam 4 roman seçiyoruz ve 2 tanesi zaten A ve B).

• Kalan roman sayısı = \( 10 - 2 = 8 \)
• Seçilecek kalan roman sayısı = \( 4 - 2 = 2 \)

\[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} \] \[ C(8, 2) = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!} \] \[ C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28 \]

Yani, A ve B romanlarının aynı anda seçildiği 28 farklı durum vardır.

Adım 3: İstenen durumu bulmak için tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkaralım.

İstenen Seçim Sayısı = (Tüm Seçimler) - (A ve B'nin Birlikte Seçildiği Seçimler)

İstenen Seçim Sayısı = \( 210 - 28 = 182 \)

✅ A ve B romanlarının aynı anda seçilmediği 182 farklı seçim yapılabilir.

Bu problem, ana yemek ve tatlı seçimlerinin bağımsız olduğu ve sonuçların çarpılması gerektiği bir kombinasyon örneğidir. 😋

• 👉 Ana Yemek Seçimi:
• Toplam ana yemek sayısı (n) = 8
• Seçilecek ana yemek sayısı (r) = 1

Ana yemek seçimi için kombinasyon:

\[ C(8, 1) = \frac{8!}{1!(8-1)!} = \frac{8!}{1!7!} = \frac{8}{1} = 8 \]

Yani, 8 farklı ana yemekten 1 ana yemek 8 farklı şekilde seçilebilir.

• 👉 Tatlı Seçimi:
• Toplam tatlı sayısı (n) = 5
• Seçilecek tatlı sayısı (r) = 2

Tatlı seçimi için kombinasyon:

\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} \] \[ C(5, 2) = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

Yani, 5 farklı tatlıdan 2 tatlı 10 farklı şekilde seçilebilir.

📌 Hem ana yemek hem de tatlı seçimi yapıldığı için bu iki sonucun çarpılması gerekir:

Toplam Menü Kombinasyonu = (Ana Yemek Seçimi) \( \times \) (Tatlı Seçimi)

Toplam Menü Kombinasyonu = \( 8 \times 10 = 80 \)

✅ Müşteriler, 80 farklı menü kombinasyonu oluşturabilir. Afiyet olsun!

"En çok 2 kız" demek, jüride hiç kız öğrenci olmaması (0 kız), 1 kız öğrenci olması veya 2 kız öğrenci olması anlamına gelir. Bu durumları ayrı ayrı hesaplayıp toplamamız gerekiyor. 🧐

• Toplam kız öğrenci sayısı = 6
• Toplam erkek öğrenci sayısı = 7
• Toplam öğrenci sayısı = 13
• Seçilecek jüri üyesi sayısı = 5

Şimdi olası durumları inceleyelim:

Durum 1: 0 kız ve 5 erkek öğrenci seçilmesi

• Kız öğrenci seçimi: \( C(6, 0) = 1 \) (Hiç kız seçilmemesi 1 yoldur)
• Erkek öğrenci seçimi: \( C(7, 5) = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \)
• Bu durum için jüri sayısı: \( 1 \times 21 = 21 \)

Durum 2: 1 kız ve 4 erkek öğrenci seçilmesi

• Kız öğrenci seçimi: \( C(6, 1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} = 6 \)
• Erkek öğrenci seçimi: \( C(7, 4) = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \)
• Bu durum için jüri sayısı: \( 6 \times 35 = 210 \)

Durum 3: 2 kız ve 3 erkek öğrenci seçilmesi

• Kız öğrenci seçimi: \( C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \)
• Erkek öğrenci seçimi: \( C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \)
• Bu durum için jüri sayısı: \( 15 \times 35 = 525 \)

📌 Tüm bu durumların toplamı bize "en çok 2 kız" öğrenci içeren jüri sayısını verir:

Toplam Jüri Sayısı = \( 21 + 210 + 525 = 756 \)

✅ Jüri üyeleri arasında en çok 2 kız öğrenci bulunması şartıyla 756 farklı jüri oluşturulabilir.