🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Kenarortay Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Kenarortay Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninin köşe koordinatları A(1, 5), B(3, 1) ve C(8, 6) olarak verilmiştir. Bu üçgenin ağırlık merkezinin (G) koordinatlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
Ağırlık merkezi, kenarortayların kesişim noktasıdır. Bir üçgenin köşe koordinatları \( (x_1, y_1), (x_2, y_2) \) ve \( (x_3, y_3) \) ise, ağırlık merkezinin koordinatları \( G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) \) formülüyle bulunur.
- Verilen koordinatları formülde yerine yazalım:
- \( x_1 = 1, x_2 = 3, x_3 = 8 \)
- \( y_1 = 5, y_2 = 1, y_3 = 6 \)
- Ağırlık merkezinin x koordinatını hesaplayalım: \[ x_G = \frac{1+3+8}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]
- Ağırlık merkezinin y koordinatını hesaplayalım: \[ y_G = \frac{5+1+6}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]
- Sonuç olarak, üçgenin ağırlık merkezi G(4, 4) noktasıdır. ✅
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden inen kenarortay \( V_a \) ile gösterilsin. Bu kenarortayın uzunluğu 18 cm'dir. Üçgenin ağırlık merkezi G olduğuna göre, AG ve GD uzunluklarını bulunuz. (D noktası BC kenarının orta noktasıdır.) 📌
Çözüm:
Bir üçgende ağırlık merkezi (G), kenarortayı köşeden itibaren 2 birim, kenara doğru ise 1 birim olacak şekilde oranlar. Yani, AG uzunluğu GD uzunluğunun 2 katıdır.
- Kenarortayın tamamı \( V_a = AD = 18 \) cm olarak verilmiştir.
- AG ve GD uzunlukları toplamı AD'ye eşittir: \( AG + GD = AD \).
- AG uzunluğuna \( 2k \) dersek, GD uzunluğu \( k \) olur.
- Bu durumda denklemi kuralım: \[ 2k + k = 18 \] \[ 3k = 18 \] \[ k = 6 \] cm bulunur.
- AG uzunluğu \( 2k = 2 \times 6 = 12 \) cm'dir.
- GD uzunluğu \( k = 6 \) cm'dir.
- Yani, AG = 12 cm ve GD = 6 cm'dir. ✅
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde, B köşesinden inen kenarortay \( V_b \) üzerinde G ağırlık merkezidir. Eğer BG uzunluğu 10 cm ise, \( V_b \) kenarortayının toplam uzunluğunu bulunuz. (E noktası AC kenarının orta noktasıdır, yani \( V_b = BE \)). 👉
Çözüm:
Ağırlık merkezinin (G) kenarortayı 2:1 oranında böldüğünü biliyoruz. Köşeye yakın olan kısım (BG) kenara yakın olan kısmın (GE) 2 katıdır.
- BG uzunluğu 10 cm olarak verilmiş.
- \( BG = 2 \times GE \) olduğundan, \[ 10 = 2 \times GE \] \[ GE = 5 \] cm bulunur.
- \( V_b \) kenarortayının toplam uzunluğu BE, BG ile GE'nin toplamına eşittir. \[ BE = BG + GE = 10 + 5 = 15 \] cm'dir.
- Bu durumda, \( V_b \) kenarortayının uzunluğu 15 cm'dir. ✅
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde AB kenarının uzunluğu c = 7 cm, AC kenarının uzunluğu b = 9 cm ve BC kenarının uzunluğu a = 10 cm'dir. BC kenarına ait kenarortayın uzunluğunu (\( V_a \)) bulunuz. 🧠
Çözüm:
Kenarortay Teoremi (Apollonius Teoremi), bir üçgende bir kenarortayın uzunluğunu diğer kenar uzunlukları cinsinden bulmamızı sağlar. BC kenarına ait kenarortay \( V_a \) ise, formül şöyledir:
\[ b^2 + c^2 = 2V_a^2 + \frac{a^2}{2} \]
- Verilen uzunlukları formülde yerine yazalım:
- \( b = 9 \) cm
- \( c = 7 \) cm
- \( a = 10 \) cm
- Formülü uygulayalım: \[ 9^2 + 7^2 = 2V_a^2 + \frac{10^2}{2} \] \[ 81 + 49 = 2V_a^2 + \frac{100}{2} \] \[ 130 = 2V_a^2 + 50 \]
- Şimdi \( V_a^2 \) için denklemi çözelim: \[ 130 - 50 = 2V_a^2 \] \[ 80 = 2V_a^2 \] \[ V_a^2 = \frac{80}{2} = 40 \]
- \( V_a \) değerini bulmak için karekök alalım: \[ V_a = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10} \] cm.
- BC kenarına ait kenarortayın uzunluğu \( 2\sqrt{10} \) cm'dir. ✅
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde AB kenarının uzunluğu c = 6 cm, AC kenarının uzunluğu b = 8 cm'dir. BC kenarına ait kenarortayın uzunluğu \( V_a = 5 \) cm ise, BC kenarının uzunluğunu (a) bulunuz. 📏
Çözüm:
Yine Kenarortay Teoremi (Apollonius Teoremi)'ni kullanacağız. Formülümüz:
\[ b^2 + c^2 = 2V_a^2 + \frac{a^2}{2} \]
- Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
- \( b = 8 \) cm
- \( c = 6 \) cm
- \( V_a = 5 \) cm
- Formülü uygulayalım: \[ 8^2 + 6^2 = 2 \times 5^2 + \frac{a^2}{2} \] \[ 64 + 36 = 2 \times 25 + \frac{a^2}{2} \] \[ 100 = 50 + \frac{a^2}{2} \]
- Şimdi \( a^2 \) için denklemi çözelim: \[ 100 - 50 = \frac{a^2}{2} \] \[ 50 = \frac{a^2}{2} \] \[ a^2 = 50 \times 2 = 100 \]
- \( a \) değerini bulmak için karekök alalım: \[ a = \sqrt{100} = 10 \] cm.
- BC kenarının uzunluğu 10 cm'dir. ✅
Örnek 6:
Bir dik açılı ABC üçgeninde, A köşesi dik açıdır. AB kenarının uzunluğu 6 cm ve AC kenarının uzunluğu 8 cm'dir. Hipotenüse ait kenarortayın uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. Bu özelliğe "Muhteşem Üçlü" de denir.
- Öncelikle hipotenüsün (BC kenarının) uzunluğunu bulmalıyız. Pisagor Teoremi'ni kullanalım: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] \[ 6^2 + 8^2 = BC^2 \] \[ 36 + 64 = BC^2 \] \[ 100 = BC^2 \] \[ BC = \sqrt{100} = 10 \] cm.
- Hipotenüsün uzunluğu 10 cm'dir.
- Hipotenüse ait kenarortay (AD), hipotenüsün yarısıdır. \[ AD = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] cm.
- Bu durumda, hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu 5 cm'dir. ✅
Örnek 7:
Bir marangoz, üçgen şeklinde kesilmiş bir ahşap parçayı tek bir noktadan dengelemek istemektedir. Ahşap parçanın köşeleri A, B ve C noktalarıdır. Marangozun bu parçayı dengeleyebileceği noktanın geometrik adını ve bu noktanın önemini açıklayınız. Eğer A(2, 7), B(4, 2) ve C(9, 3) koordinatlarına sahipse, bu denge noktasının koordinatlarını hesaplayınız. 🌳
Çözüm:
Marangozun ahşap parçayı tek bir noktadan dengeleyebileceği nokta, üçgenin ağırlık merkezi (centroid)dir. Ağırlık merkezi, üçgenin kütle merkezidir ve tüm kenarortayların kesişim noktasıdır. Bu nokta, üçgenin simetrik bir şekilde dengede durmasını sağlar.
- Ağırlık merkezinin koordinatlarını bulmak için şu formülü kullanacağız: \[ G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right) \]
- Verilen koordinatları yerine yazalım:
- \( x_A = 2, x_B = 4, x_C = 9 \)
- \( y_A = 7, y_B = 2, y_C = 3 \)
- Ağırlık merkezinin x koordinatını hesaplayalım: \[ x_G = \frac{2+4+9}{3} = \frac{15}{3} = 5 \]
- Ağırlık merkezinin y koordinatını hesaplayalım: \[ y_G = \frac{7+2+3}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]
- Marangozun ahşap parçayı dengeleyeceği nokta, G(5, 4) koordinatlarına sahip ağırlık merkezidir. ✅ Bu nokta, üçgenin kütlesinin eşit dağıldığı varsayıldığında, üçgenin yatayda ve dikeyde dengede kalmasını sağlar.
Örnek 8:
Bir şehir planlamacısı, üç farklı mahalleye (A, B, C) eşit uzaklıkta veya bu mahallelere hizmet verecek merkezi bir konumda yeni bir topluluk merkezi inşa etmek istiyor. Mahallelerin harita üzerindeki konumları bir üçgenin köşeleri olarak düşünülebilir. Planlamacı, bu merkezi, her bir mahalleden gelen ana yolların (varsayımsal olarak kenarortayların) kesiştiği noktaya kurmaya karar veriyor. Bu noktanın geometrik adı nedir ve neden bu nokta tercih edilmiş olabilir? 🗺️
Çözüm:
Şehir planlamacısının bahsettiği ve her bir mahalleden gelen ana yolların (kenarortayların) kesiştiği nokta, üçgenin ağırlık merkezi (centroid)dir.
- Neden Ağırlık Merkezi Tercih Edilmiş Olabilir?
- Merkezilik: Ağırlık merkezi, üçgenin "geometrik merkezi" olarak kabul edilir. Bu, üç mahalleden de ulaşımın nispeten dengeli olmasını sağlayabilir.
- Ulaşım Kolaylığı: Kenarortaylar, her bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlar. Bu, merkezi konumu, her bir mahalle için "orta nokta" olarak kabul edilebilecek bir yere yaklaştırır.
- Denge: Tıpkı fiziksel bir objenin ağırlık merkezi gibi, bu nokta da hizmetlerin veya kaynakların üç mahalle arasında dengeli bir şekilde dağıtılabileceği bir "denge noktası" işlevi görebilir.
- Adillik: Mahallelere eşit uzaklıkta olmasa bile (bu ikizkenar/eşkenar üçgenlerde geçerli olabilir), ağırlık merkezi, toplam ulaşım mesafelerini minimize etme eğilimindedir, bu da hizmet erişiminde bir tür adillik sağlayabilir.
- Bu yaklaşım, teorik bir model olsa da, gerçek hayatta lojistik, hizmet dağıtımı veya altyapı projeleri için merkezi konum belirlemede kullanılan yöntemlere ilham verebilir. Örneğin, bir acil durum istasyonunun veya bir dağıtım merkezinin konumu belirlenirken benzer mantıklar kullanılabilir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-kenarortay/sorular