🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Kenaorta Dikme Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Kenaorta Dikme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir doğru parçasının uç noktaları A(2, 3) ve B(6, 7) olarak verilmiştir. Bu doğru parçasının kenar orta dikme doğrusunun denklem sistemini bulunuz. 💡
Çözüm:
- Adım 1: Doğru parçasının orta noktasını bulalım. Orta noktanın koordinatları \( M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \) formülü ile bulunur.
- \( M = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3 + 7}{2} \right) = \left( \frac{8}{2}, \frac{10}{2} \right) = (4, 5) \)
- Adım 2: AB doğru parçasının eğimini bulalım. Eğim \( m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) formülü ile bulunur.
- \( m_{AB} = \frac{7 - 3}{6 - 2} = \frac{4}{4} = 1 \)
- Adım 3: Kenar orta dikme doğrusu, AB doğru parçasına dik olduğu için eğimleri çarpımı -1 olmalıdır. Kenar orta dikme doğrusunun eğimi \( m_{dik} \) olsun.
- \( m_{AB} \times m_{dik} = -1 \)
- \( 1 \times m_{dik} = -1 \implies m_{dik} = -1 \)
- Adım 4: Kenar orta dikme doğrusunun denklemini yazalım. Doğrunun eğimi \( m_{dik} = -1 \) ve geçtiği nokta M(4, 5) olduğundan, \( y - y_0 = m(x - x_0) \) formülü kullanılır.
- \( y - 5 = -1(x - 4) \)
- \( y - 5 = -x + 4 \)
- \( y = -x + 9 \) veya \( x + y - 9 = 0 \)
Örnek 2:
Köşe koordinatları A(-1, 2), B(3, 5) ve C(7, 1) olan bir ABC üçgeninin AB kenarına ait kenar orta dikme doğrusunun denklemini bulunuz. 📐
Çözüm:
- Adım 1: AB doğru parçasının orta noktasını bulalım.
- \( M_{AB} = \left( \frac{-1 + 3}{2}, \frac{2 + 5}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{7}{2} \right) = (1, \frac{7}{2}) \)
- Adım 2: AB doğru parçasının eğimini bulalım.
- \( m_{AB} = \frac{5 - 2}{3 - (-1)} = \frac{3}{4} \)
- Adım 3: AB kenarına ait kenar orta dikme doğrusunun eğimini bulalım.
- \( m_{dik} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3} \)
- Adım 4: Kenar orta dikme doğrusunun denklemini yazalım. M(1, \(\frac{7}{2}\)) noktasından geçen ve eğimi \( -\frac{4}{3} \) olan doğru.
- \( y - \frac{7}{2} = -\frac{4}{3}(x - 1) \)
- \( y - \frac{7}{2} = -\frac{4}{3}x + \frac{4}{3} \)
- Her iki tarafı 6 ile çarparak paydalardan kurtulalım:
- \( 6y - 21 = -8x + 8 \)
- \( 8x + 6y - 29 = 0 \)
Örnek 3:
Orijin (0, 0) noktasından geçen ve A(4, -2) noktasının kenar orta dikmesi olan doğrunun denklemini bulunuz. 🌟
Çözüm:
- Adım 1: Bu soruda kenar orta dikme doğrusunun geçtiği nokta verilmemiş, ancak orijinden geçtiği belirtilmiş. Bir doğru orijinden geçiyorsa denklemi \( y = mx \) şeklindedir.
- Adım 2: Kenar orta dikme doğrusu, A(4, -2) noktasının kenar orta dikmesidir. Bu şu anlama gelir: Kenar orta dikme doğrusu, A noktasından geçen ve orijinden de geçen bir doğrudur. Dolayısıyla, kenar orta dikme doğrusu OA doğru parçasına dik olmalıdır.
- Adım 3: OA doğru parçasının eğimini bulalım.
- \( m_{OA} = \frac{-2 - 0}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)
- Adım 4: Kenar orta dikme doğrusunun eğimi, OA doğrusunun eğimine dik olmalıdır.
- \( m_{dik} = -\frac{1}{m_{OA}} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2 \)
- Adım 5: Kenar orta dikme doğrusu orijinden geçtiği için \( y = mx \) denkleminde \( m = 2 \) olur.
- \( y = 2x \)
Örnek 4:
Bir geometrik çizimde, P(a, b) ve Q(c, d) noktalarını birleştiren doğru parçasının kenar orta dikmesi, R(x, y) noktasından geçmektedir. Eğer P(1, 2) ve Q(5, 6) ise, R noktasının koordinatları için aşağıdaki ifadelerden hangisi daima doğrudur? 🧐
Çözüm:
- Adım 1: PQ doğru parçasının orta noktasını bulalım.
- \( M_{PQ} = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{8}{2} \right) = (3, 4) \)
- Adım 2: PQ doğru parçasının eğimini bulalım.
- \( m_{PQ} = \frac{6 - 2}{5 - 1} = \frac{4}{4} = 1 \)
- Adım 3: Kenar orta dikme doğrusunun eğimini bulalım.
- \( m_{dik} = -\frac{1}{m_{PQ}} = -\frac{1}{1} = -1 \)
- Adım 4: Kenar orta dikme doğrusunun denklemini yazalım. (3, 4) noktasından geçen ve eğimi -1 olan doğru.
- \( y - 4 = -1(x - 3) \)
- \( y - 4 = -x + 3 \)
- \( y = -x + 7 \)
- Adım 5: R(x, y) noktası bu doğrunun üzerinde olduğundan, R noktasının koordinatları bu denklemi sağlamalıdır.
- \( y = -x + 7 \)
- Bu ifade, R noktasının koordinatları arasındaki ilişkiyi gösterir.
Örnek 5:
Bir mahallede iki farklı ev (A ve B) bulunmaktadır. A evinin konumu (1, 2) ve B evinin konumu (7, 10) olarak koordinat sisteminde gösterilmiştir. Belediyenin, bu iki ev arasındaki mesafenin tam ortasında ve her iki eve de eşit uzaklıkta olacak şekilde bir park inşa etmek istediği düşünülüyor. Parkın inşa edileceği yerin koordinatları, A ve B evlerini birleştiren doğru parçasının kenar orta dikmesi üzerinde olmalıdır. Eğer parkın inşa edileceği yerin x-koordinatı 4 ise, y-koordinatı ne olur? 🌳
Çözüm:
- Adım 1: A(1, 2) ve B(7, 10) noktalarının orta noktasını bulalım.
- \( M_{AB} = \left( \frac{1 + 7}{2}, \frac{2 + 10}{2} \right) = \left( \frac{8}{2}, \frac{12}{2} \right) = (4, 6) \)
- Adım 2: AB doğru parçasının eğimini bulalım.
- \( m_{AB} = \frac{10 - 2}{7 - 1} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)
- Adım 3: Kenar orta dikme doğrusunun eğimini bulalım.
- \( m_{dik} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \)
- Adım 4: Kenar orta dikme doğrusunun denklemini yazalım. (4, 6) noktasından geçen ve eğimi \( -\frac{3}{4} \) olan doğru.
- \( y - 6 = -\frac{3}{4}(x - 4) \)
- \( y - 6 = -\frac{3}{4}x + 3 \)
- \( y = -\frac{3}{4}x + 9 \)
- Adım 5: Parkın inşa edileceği yerin x-koordinatı 4 olarak verilmiş. Bu değeri denklemde yerine koyarak y-koordinatını bulalım.
- \( y = -\frac{3}{4}(4) + 9 \)
- \( y = -3 + 9 \)
- \( y = 6 \)
Örnek 6:
Kenar orta dikme denklemi \( 2x + y - 5 = 0 \) olan bir doğru parçası verilmiştir. Bu doğru parçasının uç noktalarından biri A(1, 3) ise, diğer uç noktasının B(x, y) koordinatlarını bulunuz. 🔍
Çözüm:
- Adım 1: Kenar orta dikme doğrusunun eğimi \( m_{dik} \) ve geçtiği noktayı bulalım. Denklem \( y = -2x + 5 \) şeklinde yazılırsa, eğim \( m_{dik} = -2 \) olur.
- Adım 2: Kenar orta dikme doğrusu, doğru parçasının orta noktasından geçer. Bu orta noktanın koordinatlarını bulmak için, kenar orta dikme doğrusu üzerindeki bir noktayı bilmemiz gerekir. Ancak, kenar orta dikme doğrusu üzerindeki bir noktayı doğrudan bulmak yerine, doğru parçasının kendisinin eğimini kullanabiliriz.
- Adım 3: Kenar orta dikme doğrusunun eğimi -2 olduğuna göre, doğru parçasının eğimi \( m_{AB} \) bu doğruya dik olmalıdır.
- \( m_{AB} \times m_{dik} = -1 \)
- \( m_{AB} \times (-2) = -1 \implies m_{AB} = \frac{1}{2} \)
- Adım 4: A(1, 3) noktasından geçen ve eğimi \( \frac{1}{2} \) olan doğru parçasının denklemini yazalım.
- \( y - 3 = \frac{1}{2}(x - 1) \)
- \( 2(y - 3) = x - 1 \)
- \( 2y - 6 = x - 1 \)
- \( x - 2y + 5 = 0 \)
- Adım 5: Diğer uç nokta B(x, y) bu doğru üzerinde olmalıdır. Ayrıca, kenar orta dikme doğrusu \( 2x + y - 5 = 0 \) denklemini de sağlamalıdır. Bu iki denklemi ortak çözerek B noktasının koordinatlarını bulabiliriz.
- Denklem 1: \( x - 2y + 5 = 0 \implies x = 2y - 5 \)
- Denklem 2: \( 2x + y - 5 = 0 \)
- Denklem 1'deki x'i Denklem 2'de yerine koyalım:
- \( 2(2y - 5) + y - 5 = 0 \)
- \( 4y - 10 + y - 5 = 0 \)
- \( 5y - 15 = 0 \implies 5y = 15 \implies y = 3 \)
- Bulduğumuz y değerini \( x = 2y - 5 \) denkleminde yerine koyalım:
- \( x = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1 \)
- Bu sonuç, A noktasının koordinatları ile aynıdır. Bu bir hata olduğunu gösterir. Tekrar kontrol edelim.
- Düzeltme: Kenar orta dikme doğrusu, doğru parçasının orta noktasından geçer. B(x, y) noktası, A(1, 3) noktası ve kenar orta dikme doğrusunun orta noktası M'yi kullanarak B'yi bulmalıyız.
- Kenar orta dikme doğrusunun orta noktası M'nin koordinatları \( M = \left( \frac{1+x}{2}, \frac{3+y}{2} \right) \) olur.
- Bu M noktası \( 2x + y - 5 = 0 \) denklemini sağlamalıdır.
- \( 2\left(\frac{1+x}{2}\right) + \left(\frac{3+y}{2}\right) - 5 = 0 \)
- \( (1+x) + \frac{3+y}{2} - 5 = 0 \)
- \( 1 + x + \frac{3}{2} + \frac{y}{2} - 5 = 0 \)
- \( x + \frac{y}{2} - \frac{5}{2} = 0 \)
- \( 2x + y - 5 = 0 \) (Bu, zaten bildiğimiz kenar orta dikme denklemidir. Bu yaklaşım da doğrudan B'yi vermez.)
- Doğru Yaklaşım:
- Kenar orta dikme doğrusu \( 2x + y - 5 = 0 \) ise, doğru parçasının eğimi \( m_{AB} = \frac{1}{2} \).
- A(1, 3) noktasından geçen ve eğimi \( \frac{1}{2} \) olan doğru denklemi: \( y - 3 = \frac{1}{2}(x - 1) \implies 2y - 6 = x - 1 \implies x - 2y + 5 = 0 \).
- Bu doğru üzerindeki herhangi bir nokta, A'dan başlayıp kenar orta dikme doğrusuna ulaşan bir noktadır.
- Kenar orta dikme doğrusunun kendisi üzerindeki bir noktayı bulalım. Örneğin, x=2 alırsak \( 2(2) + y - 5 = 0 \implies 4 + y - 5 = 0 \implies y = 1 \). Yani kenar orta dikme doğrusu (2, 1) noktasından geçer.
- Bu (2, 1) noktası, A(1, 3) ve B(x, y) noktalarının orta noktasıdır.
- \( M = \left( \frac{1+x}{2}, \frac{3+y}{2} \right) = (2, 1) \)
- \( \frac{1+x}{2} = 2 \implies 1+x = 4 \implies x = 3 \)
- \( \frac{3+y}{2} = 1 \implies 3+y = 2 \implies y = -1 \)
Örnek 7:
Analitik düzlemde P(-3, 4) ve Q(5, -2) noktaları veriliyor. Bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının kenar orta dikme doğrusunun eğimini bulunuz. 📏
Çözüm:
- Adım 1: PQ doğru parçasının eğimini hesaplayalım.
- \( m_{PQ} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{5 - (-3)} = \frac{-6}{5 + 3} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \)
- Adım 2: Kenar orta dikme doğrusu, PQ doğru parçasına diktir. Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir. Kenar orta dikme doğrusunun eğimi \( m_{dik} \) olsun.
- \( m_{PQ} \times m_{dik} = -1 \)
- \( -\frac{3}{4} \times m_{dik} = -1 \)
- \( m_{dik} = -1 \div \left(-\frac{3}{4}\right) = -1 \times \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \)
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde A(0, 6), B(4, 0) ve C(8, 6) noktaları verilmiştir. BC kenarına ait kenar orta dikme doğrusunun denklemini yazınız. ✍️
Çözüm:
- Adım 1: BC doğru parçasının orta noktasını bulalım.
- \( M_{BC} = \left( \frac{4 + 8}{2}, \frac{0 + 6}{2} \right) = \left( \frac{12}{2}, \frac{6}{2} \right) = (6, 3) \)
- Adım 2: BC doğru parçasının eğimini bulalım.
- \( m_{BC} = \frac{6 - 0}{8 - 4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
- Adım 3: BC kenarına ait kenar orta dikme doğrusunun eğimini bulalım.
- \( m_{dik} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3} \)
- Adım 4: Kenar orta dikme doğrusunun denklemini yazalım. (6, 3) noktasından geçen ve eğimi \( -\frac{2}{3} \) olan doğru.
- \( y - 3 = -\frac{2}{3}(x - 6) \)
- \( y - 3 = -\frac{2}{3}x + 4 \)
- \( y = -\frac{2}{3}x + 7 \)
- Veya paydalardan kurtulmak için denklemi düzenleyebiliriz:
- \( 3y = -2x + 21 \)
- \( 2x + 3y - 21 = 0 \)
Örnek 9:
İki bilgisayar oyunundaki karakterin başlangıç konumları P(2, 1) ve Q(8, 5) olarak verilmiştir. Bir görev, bu iki karakterin tam ortasında ve her ikisine de eşit uzaklıkta olan bir noktada tamamlanacaktır. Bu görev noktasının koordinatları, PQ doğru parçasının kenar orta dikmesi üzerinde yer alacaktır. Eğer görev noktasının y-koordinatı 4 ise, x-koordinatı ne olur? 🎮
Çözüm:
- Adım 1: PQ doğru parçasının orta noktasını bulalım.
- \( M_{PQ} = \left( \frac{2 + 8}{2}, \frac{1 + 5}{2} \right) = \left( \frac{10}{2}, \frac{6}{2} \right) = (5, 3) \)
- Adım 2: PQ doğru parçasının eğimini bulalım.
- \( m_{PQ} = \frac{5 - 1}{8 - 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
- Adım 3: Kenar orta dikme doğrusunun eğimini bulalım.
- \( m_{dik} = -\frac{1}{m_{PQ}} = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2} \)
- Adım 4: Kenar orta dikme doğrusunun denklemini yazalım. (5, 3) noktasından geçen ve eğimi \( -\frac{3}{2} \) olan doğru.
- \( y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 5) \)
- \( y - 3 = -\frac{3}{2}x + \frac{15}{2} \)
- Adım 5: Görev noktasının y-koordinatı 4 olarak verilmiş. Bu değeri denklemde yerine koyarak x-koordinatını bulalım.
- \( 4 - 3 = -\frac{3}{2}x + \frac{15}{2} \)
- \( 1 = -\frac{3}{2}x + \frac{15}{2} \)
- Her iki taraftan \( \frac{15}{2} \) çıkaralım:
- \( 1 - \frac{15}{2} = -\frac{3}{2}x \)
- \( \frac{2}{2} - \frac{15}{2} = -\frac{3}{2}x \)
- \( -\frac{13}{2} = -\frac{3}{2}x \)
- Her iki tarafı \( -\frac{2}{3} \) ile çarpalım:
- \( x = \left(-\frac{13}{2}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-kenaorta-dikme/sorular