💡 10. Sınıf Matematik: Karsel Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Fonksiyon olabilme şartlarını hatırlayalım:

• Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü olmalıdır.
• Tanım kümesindeki bir elemanın birden fazla görüntüsü olamaz.

Şimdi verilen bağıntıları inceleyelim:
I. \( f \) bağıntısında, tanım kümesi A'daki her elemanın (1, 2, 3) yalnız birer görüntüsü vardır (sırasıyla a, b, c). Bu nedenle \( f \) bir fonksiyondur. ✅ II. \( g \) bağıntısında, tanım kümesindeki 1 elemanının iki farklı görüntüsü (a ve b) vardır. Bu durum fonksiyon olma şartını bozduğu için \( g \) bir fonksiyon değildir. ❌ III. \( h \) bağıntısında, tanım kümesindeki 1 elemanının iki farklı görüntüsü (a ve c) vardır. Bu nedenle \( h \) bir fonksiyon değildir. ❌ Sonuç olarak, sadece \( f \) bir fonksiyondur. 👉

Fonksiyonun kuralını kullanarak \( x \) yerine 4 yazmalıyız.
\( f(x) = 3x - 2 \)
\( f(4) = 3 \times 4 - 2 \)
Hesaplamayı yapalım:

• \( 3 \times 4 = 12 \)
• \( 12 - 2 = 10 \)

Yani, \( f(4) = 10 \) bulunur. 💡

Fonksiyonun kuralını kullanarak \( g(a) \) ifadesini yazalım ve verilen değere eşitleyelim:
\( g(x) = x^2 + 1 \)
\( g(a) = a^2 + 1 \)
Soruda \( g(a) = 10 \) olarak verilmiş, bu yüzden:
\( a^2 + 1 = 10 \)
Şimdi \( a \)'yı bulmak için denklemi çözelim:

• \( a^2 = 10 - 1 \)
• \( a^2 = 9 \)

\( a^2 = 9 \) denklemini sağlayan \( a \) değerleri hem pozitif hem de negatif köklerdir:

• \( a = 3 \)
• \( a = -3 \)

\( a \)'nın alabileceği değerler 3 ve -3'tür. Bu değerlerin toplamı:
\( 3 + (-3) = 0 \)
Dolayısıyla, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı 0'dır. 📌

Fonksiyonun kuralı \( f(x) = x + 3 \) ve tanım kümesi \( A = \{-1, 0, 1\} \). Tanım kümesindeki her bir eleman için fonksiyonun değerini hesaplayarak sıralı ikilileri bulacağız.

• \( x = -1 \) için: \( f(-1) = -1 + 3 = 2 \). Sıralı ikili: \( (-1, 2) \)
• \( x = 0 \) için: \( f(0) = 0 + 3 = 3 \). Sıralı ikili: \( (0, 3) \)
• \( x = 1 \) için: \( f(1) = 1 + 3 = 4 \). Sıralı ikili: \( (1, 4) \)

Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için kullanacağımız noktalar \( (-1, 2) \), \( (0, 3) \) ve \( (1, 4) \)'tür. 👉

Elmaların fiyatı, ağırlığa göre doğrusal bir fonksiyon ise, \( f(x) = mx + n \) şeklinde yazılabilir. Burada \( x \) kilogram cinsinden ağırlığı, \( f(x) \) ise TL cinsinden fiyatı temsil eder. \( m \) eğim (birim fiyatı) ve \( n \) sabit terimdir.
Verilen bilgilerle iki nokta elde ederiz:

• (2 kg, 10 TL) yani \( (2, 10) \)
• (5 kg, 25 TL) yani \( (5, 25) \)

Doğrusal fonksiyonun eğimini (m) bulalım:
\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{25 - 10}{5 - 2} = \frac{15}{3} = 5 \)
Eğim \( m = 5 \) bulunur. Bu, 1 kg elmanın fiyatının 5 TL olduğu anlamına gelir.
Şimdi sabit terim \( n \)'i bulmak için noktalardan birini (örneğin (2, 10)) fonksiyonda yerine koyalım:
\( f(x) = 5x + n \)
\( 10 = 5 \times 2 + n \)
\( 10 = 10 + n \)
\( n = 0 \)
Sabit terim 0'dır. Bu, ağırlık 0 iken fiyatın da 0 olması gerektiğini gösterir (yani başlangıçta bir sabit ücret yok).
Bu durumda, 1 kg elmanın fiyatını veren fonksiyon:
\( f(x) = 5x \)
Burada \( x \) kilogram cinsinden elma ağırlığı ve \( f(x) \) TL cinsinden fiyatıdır. 💡

Bileşke fonksiyon \( (f \circ g)(x) \), \( f \) fonksiyonunun içine \( g(x) \) fonksiyonunu yazarak elde edilir. Yani \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \).
Verilen fonksiyonlar:

• \( f(x) = 2x + 1 \)
• \( g(x) = x - 3 \)

Şimdi \( f \) fonksiyonunda \( x \) gördüğümüz her yere \( g(x) \) ifadesini yazalım:
\( f(g(x)) = 2(g(x)) + 1 \)
\( g(x) \) yerine \( x - 3 \) yazalım:
\( f(g(x)) = 2(x - 3) + 1 \)
Parantezi açarak ifadeyi sadeleştirelim:

• \( 2 \times x = 2x \)
• \( 2 \times (-3) = -6 \)

Yani, \( f(g(x)) = 2x - 6 + 1 \)
Son olarak, sabit terimleri toplayalım:
\( 2x - 6 + 1 = 2x - 5 \)
Dolayısıyla, \( (f \circ g)(x) = 2x - 5 \) olarak bulunur. ✅

Bu durumu bir fonksiyon ile modelleyebiliriz. Fonksiyonumuz, yapılan konuşma süresine (dakika) göre toplam aylık ücreti versin.
Tanım kümesi: Aylık konuşma süresi (dakika)
Görüntü kümesi: Toplam aylık ücret (TL)
Fonksiyon kuralı \( f(x) \) olsun, burada \( x \) dakika cinsinden konuşma süresini temsil etsin.
Sabit ücret: 50 TL
Dakika başına ücret: 2 TL
Toplam ücret = Sabit ücret + (Dakika başına ücret × Konuşma süresi)
Bu ilişkiyi fonksiyon olarak yazarsak:
\( f(x) = 50 + 2x \)
Burada:

• \( x \): Bir ay içinde yapılan toplam konuşma süresi (dakika)
• \( f(x) \): O ay ödenen toplam cep telefonu ücreti (TL)

Örneğin, bir ay içinde 100 dakika konuşulursa, ödenecek ücret:
\( f(100) = 50 + 2 \times 100 = 50 + 200 = 250 \) TL olur. 💰

Üretim maliyetini, üretim miktarına bağlı doğrusal bir fonksiyon \( M(x) = ax + b \) ile ifade edelim. Burada \( x \) üretilen ürün miktarı ve \( M(x) \) toplam maliyettir.
Verilen bilgilerden iki nokta elde ederiz:

• (100 birim, 5000 TL) yani \( (100, 5000) \)
• (300 birim, 11000 TL) yani \( (300, 11000) \)

Doğrusal fonksiyonun eğimini (birim başına maliyeti) bulalım:
\( a = \frac{M(x_2) - M(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{11000 - 5000}{300 - 100} = \frac{6000}{200} = 30 \)
Eğim \( a = 30 \) bulunur. Bu, her bir ek ürünün maliyetinin 30 TL olduğunu gösterir.
Şimdi sabit maliyeti (b) bulmak için noktalardan birini (örneğin (100, 5000)) fonksiyonda yerine koyalım:
\( M(x) = 30x + b \)
\( 5000 = 30 \times 100 + b \)
\( 5000 = 3000 + b \)
\( b = 5000 - 3000 = 2000 \)
Sabit maliyet 2000 TL'dir (bu, üretim başlamadan önceki sabit giderler olabilir).
Maliyet fonksiyonu: \( M(x) = 30x + 2000 \)
Şimdi 500 birim ürünün maliyetini hesaplayalım:
\( M(500) = 30 \times 500 + 2000 \)
\( M(500) = 15000 + 2000 \)
\( M(500) = 17000 \)
Dolayısıyla, 500 birim ürünün maliyeti 17000 TL'dir. 📈

Bu soruda, \( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine önce \( x+1 \), sonra \( x-1 \) yazıp elde ettiğimiz ifadeleri birbirinden çıkaracağız.
Verilen fonksiyon: \( f(x) = x^2 - 4 \)
1. \( f(x+1) \) ifadesini bulalım:
\( f(x+1) = (x+1)^2 - 4 \)
\( (x+1)^2 \) ifadesini açalım: \( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \)
Dolayısıyla, \( f(x+1) = x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 + 2x - 3 \)
2. \( f(x-1) \) ifadesini bulalım:
\( f(x-1) = (x-1)^2 - 4 \)
\( (x-1)^2 \) ifadesini açalım: \( (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 \)
Dolayısıyla, \( f(x-1) = x^2 - 2x + 1 - 4 = x^2 - 2x - 3 \)
3. Şimdi \( f(x+1) - f(x-1) \) işlemini yapalım:
\( (x^2 + 2x - 3) - (x^2 - 2x - 3) \)
Parantezleri açarken ikinci ifadenin işaretlerini değiştirmeyi unutmayalım:
\( x^2 + 2x - 3 - x^2 + 2x + 3 \)
Benzer terimleri bir araya getirelim ve sadeleştirelim:
\( (x^2 - x^2) + (2x + 2x) + (-3 + 3) \)
\( 0 + 4x + 0 \)
\( 4x \)
Sonuç olarak, \( f(x+1) - f(x-1) = 4x \) olarak bulunur. 💯