🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karesel, ters, karekök ve rasyonel fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel, ters, karekök ve rasyonel fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir f(x) = \(x^2 + 3\) fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun \(x = 2\) noktasındaki değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu bir karesel fonksiyondur. Fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak için o noktanın değerini fonksiyonda yerine yazarız.
- Fonksiyonumuz: \(f(x) = x^2 + 3\)
- Bulmak istediğimiz değer: \(x = 2\)
- \(x\) yerine 2 yazalım: \(f(2) = (2)^2 + 3\)
- Hesaplayalım: \(f(2) = 4 + 3\)
- Sonuç: \(f(2) = 7\)
Örnek 2:
Bir g(x) = \(-\frac{1}{x}\) fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun ters fonksiyonunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bir fonksiyonun tersini bulmak için öncelikle fonksiyonu \(y = g(x)\) şeklinde yazarız. Ardından \(x\) ile \(y\) yer değiştirilir ve \(y\) yalnız bırakılır.
- Fonksiyonumuz: \(y = -\frac{1}{x}\)
- \(x\) ile \(y\) yer değiştirelim: \(x = -\frac{1}{y}\)
- \(y\)'yi yalnız bırakalım: \(xy = -1\)
- \(y = \frac{-1}{x}\)
Örnek 3:
H(x) = \(\sqrt{x - 4}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 📏
Çözüm:
Karekök fonksiyonlarının içi negatif olamaz. Bu nedenle, karekök içindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir.
- Karekök içindeki ifade: \(x - 4\)
- Bu ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir: \(x - 4 \ge 0\)
- Eşitsizliği çözelim: \(x \ge 4\)
Örnek 4:
Bir K(x) = \(\frac{2x + 1}{x - 3}\) rasyonel fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun paydasını sıfır yapan \(x\) değerini bulunuz. 🚫
Çözüm:
Rasyonel fonksiyonlarda payda sıfır olamaz. Bu nedenle, paydanın sıfıra eşit olduğu \(x\) değerleri fonksiyonun tanım kümesinde yer almaz.
- Fonksiyonumuzun paydası: \(x - 3\)
- Paydayı sıfıra eşitleyelim: \(x - 3 = 0\)
- \(x\)'i bulalım: \(x = 3\)
Örnek 5:
Bir sporcu, koştuğu mesafeyi metre cinsinden \(m\), harcadığı enerjiyi kalori cinsinden \(E(m)\) ile gösteren bir fonksiyon tanımlıyor. Fonksiyon \(E(m) = 5m^2 - 10m + 20\) şeklindedir. Sporcu 3 kilometre (yani 3000 metre) koştuğunda kaç kalori harcar? 🏃♀️
Çözüm:
Bu bir karesel fonksiyon problemidir. Sporcunun harcadığı enerjiyi bulmak için verilen mesafeyi fonksiyonda yerine koymalıyız.
- Fonksiyonumuz: \(E(m) = 5m^2 - 10m + 20\)
- Verilen mesafe: \(m = 3000\) metre
- Fonksiyonda yerine koyalım: \(E(3000) = 5(3000)^2 - 10(3000) + 20\)
- Hesaplayalım: \(E(3000) = 5(9000000) - 30000 + 20\)
- \(E(3000) = 45000000 - 30000 + 20\)
- \(E(3000) = 44970020\)
Örnek 6:
Bir teknoloji firması, ürettiği bir ürünün satış fiyatını \(f(x) = \frac{1000}{x-5}\) TL olarak belirlemiştir, burada \(x\) ürünün üretim maliyetidir (TL cinsinden). Eğer bir ürünün üretim maliyeti 25 TL ise, satış fiyatı kaç TL olur? 💰
Çözüm:
Bu bir rasyonel fonksiyon problemidir. Üretim maliyeti verildiğinde satış fiyatını bulmak için bu değeri fonksiyonda yerine koymalıyız.
- Fonksiyonumuz: \(f(x) = \frac{1000}{x-5}\)
- Üretim maliyeti: \(x = 25\) TL
- Fonksiyonda yerine koyalım: \(f(25) = \frac{1000}{25-5}\)
- Hesaplayalım: \(f(25) = \frac{1000}{20}\)
- \(f(25) = 50\)
Örnek 7:
Bir aracın hızını sabitlediği ve belirli bir mesafeyi ne kadar sürede gideceğini hesapladığı bir senaryo düşünelim. Eğer aracın gideceği mesafenin yarısı, bu mesafeyi gitme süresinin tersi ile orantılıysa ve belirli bir mesafeyi 2 saatte gidiyorsa, mesafenin yarısını kaç saatte gider? (Basit bir ters orantı örneği) 🚗
Çözüm:
Bu soruda, bir miktar ters orantı mantığı kullanılabilir. Mesafenin yarısı ile sürenin tersi orantılıysa, bu aslında mesafenin yarısı ile sürenin doğru orantılı olduğu anlamına gelir (çünkü ters orantının tersi doğru orantıdır).
- Diyelim ki toplam mesafe \(M\) ve toplam süre \(T\).
- Soruda verilenler: Mesafenin yarısı (\(M/2\)) ile sürenin tersi (\(1/t\)) orantılı. Bu, \(M/2 = k \cdot (1/t)\) veya \(t \cdot (M/2) = k\) şeklinde yazılabilir.
- Bu ifade, \(t \cdot M = 2k\) anlamına gelir. Yani, süre ile mesafenin kendisi doğru orantılıdır.
- Toplam mesafeyi \(M\) ve toplam süreyi \(T = 2\) saat olarak biliyoruz.
- Mesafenin yarısı (\(M/2\)) için gereken süre \(t\) olsun.
- Doğru orantı gereği: \(\frac{M/2}{t} = \frac{M}{T}\)
- Yerine koyalım: \(\frac{M/2}{t} = \frac{M}{2}\)
- Sadeleştirme yaparsak: \(\frac{1}{2t} = \frac{1}{2}\)
- Buradan \(2t = 2\) ve \(t = 1\) bulunur.
Örnek 8:
f(x) = \(\sqrt{2x - 6}\) ve g(x) = \(x^2 + 1\) fonksiyonları veriliyor. (g o f)(x) bileşke fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 🧩
Çözüm:
Bileşke fonksiyonun tanım kümesini bulmak için öncelikle içteki fonksiyonun tanım kümesini ve ardından dıştaki fonksiyonun, içteki fonksiyonun çıktılarını alabilmesi için gereken koşulları incelemeliyiz.
- İçteki fonksiyon f(x) = \(\sqrt{2x - 6}\).
- f(x)'in tanım kümesi için: \(2x - 6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3\). Yani tanım kümesi \([3, \infty)\).
- Şimdi (g o f)(x) = g(f(x)) fonksiyonunu inceleyelim.
- g(y) = \(y^2 + 1\). Bu fonksiyon her reel sayı için tanımlıdır.
- Ancak g(f(x))'in tanımlı olması için f(x)'in reel sayı olması gerekir.
- f(x) = \(\sqrt{2x - 6}\) ifadesi, \(x \ge 3\) için reeldir.
- Bu reel çıkan değerler g fonksiyonuna girdi olarak verilecektir. g(f(x)) = \((\sqrt{2x - 6})^2 + 1 = (2x - 6) + 1 = 2x - 5\).
- Bu son fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılardır.
- Ancak bileşke fonksiyonun tanım kümesi, en kısıtlayıcı koşul olan içteki fonksiyonun tanım kümesi ile belirlenir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-ters-karekok-ve-rasyonel-fonksiyonlar/sorular