💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Referans Çözümlü Örnekler

Bir fonksiyonun karesel fonksiyon olabilmesi için \( ax^2 + bx + c \) şeklinde yazılabilmesi gerekir. Burada \( a, b, c \) birer reel sayı ve \( a \neq 0 \) olmalıdır. Yani, en yüksek dereceli terimin kuvveti 2 olmalıdır.

• 👉 A) \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \):
  • ✅ Bu bir karesel fonksiyondur çünkü en yüksek dereceli terim \( x^2 \) ve katsayısı \( 2 \neq 0 \)'dır.
  • y eksenini kestiği nokta için \( x=0 \) yazılır: \( f(0) = 2(0)^2 - 3(0) + 1 = 1 \).
    y eksenini \((0, 1)\) noktasında keser.
• 👉 B) \( g(x) = x^3 + 4x - 5 \):
  • ❌ Bu bir karesel fonksiyon değildir çünkü en yüksek dereceli terim \( x^3 \)'tür (kuvveti 3'tür).
• 👉 C) \( h(x) = -x^2 + 7 \):
  • ✅ Bu bir karesel fonksiyondur çünkü en yüksek dereceli terim \( x^2 \) ve katsayısı \( -1 \neq 0 \)'dır. (Burada \( b=0 \) ve \( c=7 \)'dir.)
  • y eksenini kestiği nokta için \( x=0 \) yazılır: \( h(0) = -(0)^2 + 7 = 7 \).
    y eksenini \((0, 7)\) noktasında keser.
• 👉 D) \( k(x) = 5x - 2 \):
  • ❌ Bu bir karesel fonksiyon değildir çünkü en yüksek dereceli terim \( x \)'tir (kuvveti 1'dir). Bu bir doğrusal fonksiyondur.

Bir karesel fonksiyon \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklinde verildiğinde, tepe noktasının koordinatları \((r, k)\) ile gösterilir.

Tepe noktasının apsisi (x değeri) \( r = -\frac{b}{2a} \) formülüyle bulunur.
Tepe noktasının ordinatı (y değeri) ise \( k = f(r) \) formülüyle bulunur.

Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \). Bu fonksiyonda:

• \( a = 1 \)
• \( b = -6 \)
• \( c = 5 \)

Şimdi tepe noktasının apsisini hesaplayalım:

• Adım 1: \( r \) değerini bulma.
  \[ r = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-6)}{2 \cdot 1} = -\frac{-6}{2} = 3 \]
• Adım 2: \( k \) değerini bulma.
  Bulduğumuz \( r=3 \) değerini \( f(x) \) fonksiyonunda yerine yazarak \( k \) değerini buluruz.
  \[ k = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 5 \] \[ k = 9 - 18 + 5 \] \[ k = -9 + 5 \] \[ k = -4 \]

Sonuç olarak, fonksiyonun tepe noktasının koordinatları \((3, -4)\)'tür. ✅

Bir fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulmak için \( f(x) = 0 \) denklemini çözmemiz gerekir. Bu, bir ikinci dereceden denklemi çözmek anlamına gelir.

Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 - 4x - 12 \). Denklemi \( x^2 - 4x - 12 = 0 \) şeklinde yazalım. Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz:

• Adım 1: Çarpanlara ayırma.
  Çarpımları \( -12 \) ve toplamları \( -4 \) olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar \( -6 \) ve \( 2 \)'dir.
  Dolayısıyla denklem şu şekilde çarpanlarına ayrılır:
  \[ (x - 6)(x + 2) = 0 \]
• Adım 2: Kökleri bulma.
  Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek x değerlerini buluruz.
  \[ x - 6 = 0 \implies x_1 = 6 \] \[ x + 2 = 0 \implies x_2 = -2 \]

Fonksiyonun x eksenini kestiği noktaların apsisleri \( 6 \) ve \( -2 \)'dir. ✅

Bir karesel fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Parabolün yönü ve tepe noktasının konumu, fonksiyonun katsayıları ile belirlenir.

Fonksiyonumuz \( f(x) = -2x^2 + 8x - 5 \). Bu fonksiyonda:

• \( a = -2 \)
• \( b = 8 \)
• \( c = -5 \)

Şimdi grafiğin yönünü ve tepe noktasının konumunu inceleyelim:

• Adım 1: Grafiğin yönünü belirleme.
  Karesel fonksiyonlarda \( x^2 \) teriminin katsayısı olan \( a \) değeri, parabolün kollarının yönünü belirler.
  
  • Eğer \( a > 0 \) ise, parabolün kolları yukarı doğru açılır (U şeklinde).
  • Eğer \( a < 0 \) ise, parabolün kolları aşağı doğru açılır (ters U şeklinde).
  Bizim fonksiyonumuzda \( a = -2 \)'dir. \( -2 < 0 \) olduğundan, parabolün kolları aşağıya doğru açılır. 👇
• Adım 2: Tepe noktasının y eksenine göre konumunu belirleme.
  Tepe noktasının apsisi \( r = -\frac{b}{2a} \) formülüyle bulunur. Bu değer, tepe noktasının y ekseninin sağında mı, solunda mı yoksa üzerinde mi olduğunu gösterir.
  \[ r = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \] Tepe noktasının apsisi \( r = 2 \)'dir. Bu değer pozitif olduğu için, tepe noktası y ekseninin sağında yer alır. ✅

Maliyet fonksiyonu \( M(x) = x^2 - 10x + 30 \) bir karesel fonksiyondur. Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. \( x^2 \) teriminin katsayısı \( a = 1 \) ve \( a > 0 \) olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur. Bu da fonksiyonun bir minimum değere sahip olduğu anlamına gelir. Minimum değer, parabolün tepe noktasında gerçekleşir.

Tepe noktasının koordinatları \((r, k)\) ile bulunur. \( r \) bize minimum maliyeti veren ürün miktarını, \( k \) ise bu minimum maliyeti verecektir.
Fonksiyonda:

• \( a = 1 \)
• \( b = -10 \)
• \( c = 30 \)

• Adım 1: En az maliyeti veren ürün miktarını (\( r \)) bulma.
  \[ r = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-10)}{2 \cdot 1} = -\frac{-10}{2} = 5 \] Yani, 5 adet ürün üretildiğinde maliyet en az olacaktır.
• Adım 2: Minimum maliyet değerini (\( k \)) bulma.
  Bulduğumuz \( r=5 \) değerini maliyet fonksiyonunda yerine yazarak minimum maliyeti buluruz.
  \[ k = M(5) = (5)^2 - 10(5) + 30 \] \[ k = 25 - 50 + 30 \] \[ k = -25 + 30 \] \[ k = 5 \] Yani, minimum maliyet 5 TL'dir.

Sonuç olarak, 5 adet ürün üretildiğinde minimum maliyet 5 TL olur. ✅

Bu bir optimizasyon problemidir ve karesel fonksiyonlar yardımıyla çözülebilir.

Dikdörtgenin kenar uzunluklarını \( x \) ve \( y \) olarak adlandıralım. Mevcut duvarın olduğu kenarı \( y \) olarak kabul edelim. Bu durumda, tel örgü ile çevrilecek kenarlar \( x, y, x \) olacaktır. (Veya \( x, x, y \) de olabilir, önemli olan bir kenarın duvar olması).
Tel örgünün toplam uzunluğu 40 metre olduğundan:

• Adım 1: Denklemi kurma.
  \( 2x + y = 40 \) (tel örgü uzunluğu)
  Buradan \( y \) kenarını \( x \) cinsinden ifade edelim: \( y = 40 - 2x \).
  Bahçenin alanı \( A \) ise, \( A = x \cdot y \) formülüyle bulunur.
  \( y \) yerine \( 40 - 2x \) yazarsak, alan fonksiyonunu \( x \) cinsinden elde ederiz:
  \[ A(x) = x(40 - 2x) \] \[ A(x) = 40x - 2x^2 \] Bu bir karesel fonksiyondur: \( A(x) = -2x^2 + 40x \).
• Adım 2: Maksimum alanı bulma.
  Karesel fonksiyonumuzda \( a = -2 \) olduğundan, parabolün kolları aşağıya doğrudur ve fonksiyonun bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, tepe noktasında gerçekleşir.
  Tepe noktasının apsisi \( r = -\frac{b}{2a} \) formülüyle bulunur.
  \[ r = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = -\frac{40}{-4} = 10 \] Yani, \( x \) kenarı 10 metre olduğunda alan en büyük olur.
• Adım 3: Diğer kenar uzunluğunu ve maksimum alanı bulma.
  \( x = 10 \) metre ise, \( y = 40 - 2x = 40 - 2(10) = 40 - 20 = 20 \) metre olur.
  En büyük alan ise:
  \[ A_{max} = A(10) = -2(10)^2 + 40(10) \] \[ A_{max} = -2(100) + 400 \] \[ A_{max} = -200 + 400 \] \[ A_{max} = 200 \]

Sonuç olarak, bahçenin kenar uzunlukları 10 metre ve 20 metre olduğunda (duvara paralel kenar 20m, diğer iki kenar 10m) alan en büyük olur ve bu en büyük alan 200 metrekaredir. ✅

Topun yerden yüksekliğini veren fonksiyon \( h(t) = -t^2 + 6t \) bir karesel fonksiyondur. Burada \( t \) zamanı, \( h(t) \) ise yüksekliği temsil eder.
Fonksiyonda \( a = -1 \) (yani \( a < 0 \)) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğrudur. Bu da fonksiyonun bir maksimum değere sahip olduğu anlamına gelir. Topun ulaştığı en yüksek nokta, parabolün tepe noktasıdır.

Tepe noktasının koordinatları \((r, k)\) ile bulunur. Burada \( r \) topun en yüksek noktaya ulaşma süresini, \( k \) ise bu en yüksek noktayı (maksimum yüksekliği) temsil eder.
Fonksiyonda:

• \( a = -1 \)
• \( b = 6 \)
• \( c = 0 \)

• Adım 1: Topun en yüksek noktaya ulaşma süresini (\( r \)) bulma.
  \[ r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \] Yani, top 3 saniye sonra en yüksek noktaya ulaşır.
• Adım 2: Topun ulaştığı maksimum yüksekliği (\( k \)) bulma.
  Bulduğumuz \( r=3 \) değerini yükseklik fonksiyonunda yerine yazarak maksimum yüksekliği buluruz.
  \[ k = h(3) = -(3)^2 + 6(3) \] \[ k = -9 + 18 \] \[ k = 9 \]

Sonuç olarak, top yerden en fazla 9 metre yüksekliğe çıkmıştır. ✅

Bir karesel fonksiyonun değer kümesi, fonksiyonun alabileceği tüm y değerlerini ifade eder. Bu, parabolün tepe noktasına ve kollarının yönüne bağlıdır.

Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \).

• \( a = 1 \)
• \( b = -2 \)
• \( c = 3 \)

• Adım 1: Parabolün kollarının yönünü belirleme.
  \( a = 1 \) ve \( a > 0 \) olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur. Bu durumda fonksiyonun bir minimum değeri vardır ve bu minimum değer tepe noktasında gerçekleşir. Değer kümesi bu minimum değerden başlayarak \( \infty \)'a kadar gider.
• Adım 2: Tepe noktasının ordinatını (minimum değeri) bulma.
  Öncelikle tepe noktasının apsisini (\( r \)) bulalım:
  \[ r = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-2)}{2 \cdot 1} = -\frac{-2}{2} = 1 \] Şimdi bu \( r \) değerini fonksiyonda yerine yazarak tepe noktasının ordinatını (\( k \)), yani minimum değeri bulalım:
  \[ k = f(1) = (1)^2 - 2(1) + 3 \] \[ k = 1 - 2 + 3 \] \[ k = 2 \]

Fonksiyonun minimum değeri \( 2 \)'dir. Parabolün kolları yukarı doğru açıldığı için, fonksiyonun alabileceği en küçük değer \( 2 \)'dir ve daha büyük tüm değerleri alabilir.
Dolayısıyla, fonksiyonun değer kümesi \( [2, \infty) \)'dur. ✅