📄 10. Sınıf Matematik: Karesel Referans Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

* **Tepe Noktası:**
\(a = 1, b = -6, c = 8\).
Apsis \(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3\).
Ordinat \(k = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1\).
Tepe noktası \( (3, -1) \).
* **Y eksenini kestiği nokta:**
\(x = 0\) için \(f(0) = (0)^2 - 6(0) + 8 = 8\).
Y eksenini kestiği nokta \( (0, 8) \).
* **X eksenini kestiği noktalar:**
\(f(x) = 0\) için \(x^2 - 6x + 8 = 0\).
Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözelim: \( (x - 2)(x - 4) = 0 \).
\(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\).
\(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\).
X eksenini kestiği noktalar \( (2, 0) \) ve \( (4, 0) \).
* **Sonuç:** Tepe noktası \( (3, -1) \), y eksenini kestiği nokta \( (0, 8) \), x eksenini kestiği noktalar \( (2, 0) \) ve \( (4, 0) \). Bu noktalar kullanılarak parabol çizilebilir.

💡 Çözüm Adımları:

Bir karesel fonksiyonun tepe noktası bilindiğinde denklemi \(f(x) = a(x - r)^2 + k\) şeklinde yazılabilir.
Burada tepe noktası \( (r, k) = (1, -4) \) olduğundan, denklem \(f(x) = a(x - 1)^2 - 4\) olur.
Fonksiyonun \( (0, -3) \) noktasından geçtiği bilgisi verilmiştir. Bu noktayı denklemde yerine koyarak \(a\) değerini bulabiliriz:
\(-3 = a(0 - 1)^2 - 4\)
\(-3 = a(-1)^2 - 4\)
\(-3 = a(1) - 4\)
\(-3 = a - 4\)
\(a = -3 + 4\)
\(a = 1\).
Buna göre, karesel fonksiyonun denklemi \(f(x) = 1(x - 1)^2 - 4\), yani \(f(x) = (x - 1)^2 - 4\) şeklindedir.
Denklemi açarsak: \(f(x) = x^2 - 2x + 1 - 4 \Rightarrow f(x) = x^2 - 2x - 3\).

💡 Çözüm Adımları:

Bir karesel fonksiyonda \(a < 0\) ise parabolün kolları aşağı doğru olup, fonksiyon tepe noktasında en büyük değerini alır.
Verilen fonksiyonda \(a = -2\) (yani \(a < 0\)) olduğu için fonksiyonun bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, tepe noktasının ordinatıdır (\(k\)).
Önce tepe noktasının apsisini (\(r\)) bulalım:
\(r = -\frac{b}{2a}\) formülünü kullanalım. \(a = -2\) ve \(b = 12\).
\(r = -\frac{12}{2 \times (-2)} = -\frac{12}{-4} = 3\).
Şimdi tepe noktasının ordinatını (\(k\)), yani fonksiyonun en büyük değerini bulmak için \(r = 3\) değerini fonksiyonda yerine koyalım:
\(k = f(3) = -2(3)^2 + 12(3) - 7\)
\(k = -2(9) + 36 - 7\)
\(k = -18 + 36 - 7\)
\(k = 18 - 7\)
\(k = 11\).
Dolayısıyla, fonksiyonun alabileceği en büyük değer \(11\)'dir.