🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Referans Fonksiyonların Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel Referans Fonksiyonların Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Bir parabolün temel özelliklerini inceleyelim! Aşağıda verilen \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) karesel fonksiyonu için:
a) Parabolün kollarının yönünü belirleyiniz.
b) Tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
c) y-eksenini kestiği noktayı belirleyiniz.
Çözüm:
Bu karesel fonksiyonun özelliklerini adım adım inceleyelim:
Fonksiyonumuz \( f(x) = ax^2 + bx + c \) genel formundadır. Burada \( a=1 \), \( b=-6 \) ve \( c=5 \) değerleridir.
Fonksiyonumuz \( f(x) = ax^2 + bx + c \) genel formundadır. Burada \( a=1 \), \( b=-6 \) ve \( c=5 \) değerleridir.
-
a) Kolların Yönü:
👉 Karesel fonksiyonlarda \( a \) katsayısı kolların yönünü belirler.
✅ Eğer \( a > 0 \) ise kollar yukarıya doğru açılır.
✅ Eğer \( a < 0 \) ise kollar aşağıya doğru açılır.
Burada \( a=1 \) olduğu için \( a > 0 \) olduğundan, parabolün kolları yukarıya doğru açılır. ⬆️ -
b) Tepe Noktası Koordinatları:
📌 Tepe noktası \( T(r, k) \) olarak ifade edilir. \( r \) ve \( k \) değerlerini bulmak için şu formülleri kullanırız:
\( r = -\frac{b}{2a} \)
\( k = f(r) \)
Öncelikle \( r \) değerini bulalım:
\( r = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \)
Şimdi \( k \) değerini bulmak için \( x=3 \) değerini fonksiyonda yerine yazalım:
\( k = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 5 \)
\( k = 9 - 18 + 5 \)
\( k = -9 + 5 = -4 \)
Buna göre, parabolün tepe noktası \( T(3, -4) \)'tür. -
c) y-eksenini Kestiği Nokta:
👉 Bir fonksiyonun y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x=0 \) yazılır.
\( f(0) = (0)^2 - 6(0) + 5 \)
\( f(0) = 5 \)
Yani, parabol y-eksenini \( (0, 5) \) noktasında keser.
Örnek 2:
📈 Bir karesel fonksiyonun maksimum değerini bulalım!
\( f(x) = -2x^2 + 8x - 3 \) karesel fonksiyonunun en büyük değerini ve bu değeri aldığı x-değerini bulunuz. Ayrıca, parabolün simetri ekseni denklemini yazınız.
\( f(x) = -2x^2 + 8x - 3 \) karesel fonksiyonunun en büyük değerini ve bu değeri aldığı x-değerini bulunuz. Ayrıca, parabolün simetri ekseni denklemini yazınız.
Çözüm:
Fonksiyonumuz \( f(x) = ax^2 + bx + c \) formunda olup, \( a=-2 \), \( b=8 \) ve \( c=-3 \) değerlerine sahiptir.
-
En Büyük Değer (Maksimum Değer):
📌 \( a \) katsayısı \( -2 \) olduğu için \( a < 0 \) yani parabolün kolları aşağıya doğrudur. Bu durumda parabolün bir tepe noktası ve bu noktada bir maksimum değeri vardır.
Maksimum değer, tepe noktasının y-koordinatı olan \( k \) değeridir.
Önce tepe noktasının x-koordinatı \( r \) değerini bulalım:
\( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \)
Şimdi \( r=2 \) değerini fonksiyonda yerine yazarak \( k \) değerini (maksimum değeri) bulalım:
\( k = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 3 \)
\( k = -2(4) + 16 - 3 \)
\( k = -8 + 16 - 3 \)
\( k = 8 - 3 = 5 \)
Fonksiyonun en büyük değeri \( 5 \)'tir ve bu değeri \( x=2 \) iken alır. -
Simetri Ekseni:
👉 Parabolün simetri ekseni, tepe noktasının x-koordinatından geçen dikey doğrudur.
Tepe noktasının x-koordinatı \( r=2 \) olduğuna göre, simetri ekseni denklemi \( x=2 \)'dir.
Örnek 3:
✍️ Bir parabolün x-eksenini kestiği noktaları bulalım!
\( f(x) = x^2 - 7x + 10 \) karesel fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktaların apsislerini bulunuz.
\( f(x) = x^2 - 7x + 10 \) karesel fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktaların apsislerini bulunuz.
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun x-eksenini kestiği noktaları bulmak için \( f(x)=0 \) denklemini çözmemiz gerekir. Yani, \( x^2 - 7x + 10 = 0 \) denkleminin köklerini bulacağız.
-
Denklemi Çözme:
👉 Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlara ayırma veya diskriminant yöntemi ile çözebiliriz.
Çarpanlara ayırma yöntemini deneyelim: Çarpımları \( 10 \), toplamları \( -7 \) olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar \( -2 \) ve \( -5 \)'tir.
Denklemi şu şekilde çarpanlarına ayırabiliriz:
\( (x-2)(x-5) = 0 \)
Buradan iki farklı kök elde ederiz:- \( x-2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2 \)
- \( x-5 = 0 \Rightarrow x_2 = 5 \)
Örnek 4:
🤔 Tepe noktası bilinen bir parabolün denklemini yazalım!
Tepe noktası \( T(1, 4) \) olan ve y-eksenini \( (0, 3) \) noktasında kesen parabolün denklemini bulunuz.
Tepe noktası \( T(1, 4) \) olan ve y-eksenini \( (0, 3) \) noktasında kesen parabolün denklemini bulunuz.
Çözüm:
Tepe noktası \( T(r, k) \) bilinen parabol denklemi \( y = a(x-r)^2 + k \) şeklinde yazılabilir.
-
Denklemi Oluşturma:
📌 Tepe noktası \( T(1, 4) \) verildiği için \( r=1 \) ve \( k=4 \) değerlerini genel denklemde yerine yazalım:
\( y = a(x-1)^2 + 4 \)
Şimdi \( a \) katsayısını bulmak için parabolün y-eksenini kestiği noktayı \( (0, 3) \) kullanalım. Bu nokta parabolün üzerindedir, yani \( x=0 \) iken \( y=3 \) olmalıdır.
Denklemde \( x=0 \) ve \( y=3 \) değerlerini yerine yazalım:
\( 3 = a(0-1)^2 + 4 \)
\( 3 = a(-1)^2 + 4 \)
\( 3 = a(1) + 4 \)
\( 3 = a + 4 \)
\( a = 3 - 4 \)
\( a = -1 \)
Bulduğumuz \( a=-1 \) değerini denkleme yerleştirelim:
\( y = -1(x-1)^2 + 4 \)
Bu ifadeyi açarak \( ax^2+bx+c \) formuna getirebiliriz:
\( y = -(x^2 - 2x + 1) + 4 \)
\( y = -x^2 + 2x - 1 + 4 \)
Parabolün denklemi \( y = -x^2 + 2x + 3 \)'tür. ✅
Örnek 5:
🔍 Bir parabolün x-eksenine teğet olma koşulunu inceleyelim!
\( f(x) = x^2 - (m+2)x + 16 \) karesel fonksiyonunun grafiği x-eksenine teğet olduğuna göre, \( m \) sayısının alabileceği değerleri bulunuz.
\( f(x) = x^2 - (m+2)x + 16 \) karesel fonksiyonunun grafiği x-eksenine teğet olduğuna göre, \( m \) sayısının alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun grafiği x-eksenine teğet ise, bu fonksiyonun tek bir gerçek kökü vardır. Bu durum, diskriminantın \( \Delta = 0 \) olmasına karşılık gelir.
-
Diskriminant Hesabı:
📌 Fonksiyonumuz \( f(x) = ax^2 + bx + c \) formunda olup, \( a=1 \), \( b=-(m+2) \) ve \( c=16 \) değerlerine sahiptir.
Diskriminant formülü \( \Delta = b^2 - 4ac \)'dir.
\( \Delta = (-(m+2))^2 - 4(1)(16) \)
\( \Delta = (m+2)^2 - 64 \)
Parabol x-eksenine teğet olduğu için \( \Delta = 0 \) olmalıdır:
\( (m+2)^2 - 64 = 0 \)
\( (m+2)^2 = 64 \)
Bu denklemi çözmek için her iki tarafın karekökünü alalım:
\( m+2 = \sqrt{64} \) veya \( m+2 = -\sqrt{64} \)
\( m+2 = 8 \) veya \( m+2 = -8 \)
Buradan \( m \) için iki farklı değer elde ederiz:- \( m+2 = 8 \Rightarrow m_1 = 8 - 2 = 6 \)
- \( m+2 = -8 \Rightarrow m_2 = -8 - 2 = -10 \)
Örnek 6:
🚀 Bir roketin fırlatılması!
Yer seviyesinden fırlatılan bir roketin yerden yüksekliği (metre cinsinden) \( t \) saniye sonra \( h(t) = -t^2 + 20t \) fonksiyonu ile modellenmiştir.
Yer seviyesinden fırlatılan bir roketin yerden yüksekliği (metre cinsinden) \( t \) saniye sonra \( h(t) = -t^2 + 20t \) fonksiyonu ile modellenmiştir.
a) Roket en yüksek noktaya kaçıncı saniyede ulaşır?
b) Roketin ulaştığı maksimum yükseklik kaç metredir?
c) Roket kaç saniye sonra tekrar yere düşer?
Çözüm:
Roketin hareketini modelleyen fonksiyon bir karesel fonksiyondur: \( h(t) = -t^2 + 20t \). Burada \( a=-1 \), \( b=20 \) ve \( c=0 \).
-
a) En Yüksek Noktaya Ulaşma Süresi:
📌 Roketin en yüksek noktaya ulaşması, parabolün tepe noktasının x-koordinatına (burada t-koordinatı) karşılık gelir. Yani \( r \) değerini bulacağız.
\( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-1)} = -\frac{20}{-2} = 10 \)
Roket 10. saniyede en yüksek noktasına ulaşır. -
b) Maksimum Yükseklik:
👉 Roketin ulaştığı maksimum yükseklik, tepe noktasının y-koordinatına (burada h(t) değeri) karşılık gelir. Yani \( k \) değerini bulacağız.
\( k = h(10) = -(10)^2 + 20(10) \)
\( k = -100 + 200 \)
\( k = 100 \)
Roketin ulaştığı maksimum yükseklik 100 metredir. -
c) Tekrar Yere Düşme Süresi:
👉 Roketin yere düşmesi demek, yerden yüksekliğinin \( 0 \) olması demektir. Yani \( h(t)=0 \) denklemini çözmeliyiz.
\( -t^2 + 20t = 0 \)
Denklemi \( -t \) parantezine alalım:
\( -t(t - 20) = 0 \)
Buradan iki farklı kök elde ederiz:- \( -t = 0 \Rightarrow t_1 = 0 \) (Bu, roketin fırlatıldığı an)
- \( t - 20 = 0 \Rightarrow t_2 = 20 \)
Örnek 7:
🌉 Bir köprü kemerinin tasarımı!
Bir mühendis, parabolik bir köprü kemerinin şeklini \( y = -\frac{1}{100}x^2 + 2x \) denklemiyle modellemiştir. Burada \( y \) kemerin yüksekliğini (metre cinsinden), \( x \) ise yatay uzaklığı (metre cinsinden) göstermektedir.
Bir mühendis, parabolik bir köprü kemerinin şeklini \( y = -\frac{1}{100}x^2 + 2x \) denklemiyle modellemiştir. Burada \( y \) kemerin yüksekliğini (metre cinsinden), \( x \) ise yatay uzaklığı (metre cinsinden) göstermektedir.
a) Kemerin en yüksek noktasının yerden yüksekliği kaç metredir?
b) Kemerin uç noktaları arasındaki yatay uzaklık kaç metredir?
Çözüm:
Kemerin şekli bir karesel fonksiyonla modellenmiştir: \( y = -\frac{1}{100}x^2 + 2x \). Burada \( a=-\frac{1}{100} \), \( b=2 \) ve \( c=0 \).
-
a) Kemerin Maksimum Yüksekliği:
📌 Kemerin en yüksek noktası, parabolün tepe noktasının y-koordinatıdır (maksimum değer). Öncelikle tepe noktasının x-koordinatını bulalım:
\( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{100})} = -\frac{2}{-\frac{2}{100}} = -\frac{2}{1} \cdot (-\frac{100}{2}) = 100 \)
Şimdi \( x=100 \) değerini fonksiyonda yerine yazarak maksimum yüksekliği bulalım:
\( y = -\frac{1}{100}(100)^2 + 2(100) \)
\( y = -\frac{1}{100}(10000) + 200 \)
\( y = -100 + 200 \)
\( y = 100 \)
Kemerin en yüksek noktasının yerden yüksekliği 100 metredir. -
b) Kemerin Uç Noktaları Arasındaki Yatay Uzaklık:
👉 Kemerin uç noktaları, yüksekliğin \( 0 \) olduğu noktalardır. Yani \( y=0 \) denklemini çözmeliyiz.
\( -\frac{1}{100}x^2 + 2x = 0 \)
Denklemi \( x \) parantezine alalım:
\( x(-\frac{1}{100}x + 2) = 0 \)
Buradan iki farklı kök elde ederiz:- \( x_1 = 0 \) (Bu, kemerin bir ucunun başlangıç noktası)
- \( -\frac{1}{100}x + 2 = 0 \Rightarrow \frac{1}{100}x = 2 \Rightarrow x_2 = 200 \) (Bu, kemerin diğer ucunun başlangıçtan yatay uzaklığı)
Örnek 8:
💰 Bir şirketin kar analizi!
Bir şirket, ürettiği bir ürünün satış fiyatı \( x \) TL olduğunda elde edeceği karı (bin TL cinsinden) \( K(x) = -x^2 + 12x - 20 \) fonksiyonu ile modellemektedir.
Bir şirket, ürettiği bir ürünün satış fiyatı \( x \) TL olduğunda elde edeceği karı (bin TL cinsinden) \( K(x) = -x^2 + 12x - 20 \) fonksiyonu ile modellemektedir.
a) Maksimum karı elde etmek için ürün kaç TL'ye satılmalıdır?
b) Şirketin elde edeceği maksimum kar kaç bin TL'dir?
Çözüm:
Şirketin kar fonksiyonu bir karesel fonksiyondur: \( K(x) = -x^2 + 12x - 20 \). Burada \( a=-1 \), \( b=12 \) ve \( c=-20 \).
-
a) Maksimum Kar İçin Satış Fiyatı:
📌 Kar fonksiyonunun katsayısı \( a=-1 \) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğrudur ve bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum karı elde etmek için ürünün satılması gereken fiyat, tepe noktasının x-koordinatıdır (\( r \)).
\( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = -\frac{12}{-2} = 6 \)
Maksimum karı elde etmek için ürün 6 TL'ye satılmalıdır. -
b) Maksimum Kar Miktarı:
👉 Maksimum kar miktarı, tepe noktasının y-koordinatıdır (\( k \)). \( x=6 \) değerini kar fonksiyonunda yerine yazarak bulalım:
\( K(6) = -(6)^2 + 12(6) - 20 \)
\( K(6) = -36 + 72 - 20 \)
\( K(6) = 36 - 20 \)
\( K(6) = 16 \)
Şirketin elde edeceği maksimum kar 16 bin TL'dir. ✅
Örnek 9:
🎯 Bir futbol topunun yörüngesi!
Bir futbolcunun vurduğu topun yerden yüksekliği (metre cinsinden) \( d \) yatay uzaklığına (metre cinsinden) bağlı olarak \( h(d) = -0.1d^2 + 3d \) fonksiyonu ile modellenmiştir.
Bir futbolcunun vurduğu topun yerden yüksekliği (metre cinsinden) \( d \) yatay uzaklığına (metre cinsinden) bağlı olarak \( h(d) = -0.1d^2 + 3d \) fonksiyonu ile modellenmiştir.
Topun yerden yüksekliği en fazla kaç metre olur?
Çözüm:
Topun yüksekliğini modelleyen fonksiyon bir karesel fonksiyondur: \( h(d) = -0.1d^2 + 3d \). Burada \( a=-0.1 \), \( b=3 \) ve \( c=0 \).
-
Maksimum Yükseklik:
📌 \( a \) katsayısı \( -0.1 \) olduğu için \( a < 0 \) yani parabolün kolları aşağıya doğrudur. Bu durumda topun ulaşacağı bir maksimum yükseklik vardır.
Maksimum yükseklik, tepe noktasının y-koordinatı olan \( k \) değeridir.
Önce tepe noktasının x-koordinatı \( r \) değerini bulalım:
\( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-0.1)} = -\frac{3}{-0.2} = \frac{3}{0.2} = \frac{30}{2} = 15 \)
Şimdi \( d=15 \) değerini fonksiyonda yerine yazarak \( k \) değerini (maksimum yüksekliği) bulalım:
\( k = h(15) = -0.1(15)^2 + 3(15) \)
\( k = -0.1(225) + 45 \)
\( k = -22.5 + 45 \)
\( k = 22.5 \)
Topun yerden yüksekliği en fazla 22.5 metre olur. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-referans-fonksiyonlarin-nitel-ozellikleri/sorular