🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Referans Fonksiyonların Nitel Özellikleri ve Grafik Dönüşümlerinin Cebirsel Temsile Etkisi Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel Referans Fonksiyonların Nitel Özellikleri ve Grafik Dönüşümlerinin Cebirsel Temsile Etkisi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğinin tepe noktasını, simetri eksenini ve kollarının yönünü belirleyiniz.
Çözüm:
- Parabolün genel denklemi \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindedir.
- Burada \( a=1 \), \( b=0 \), \( c=0 \).
- 👉 Kolların yönü: \( a > 0 \) olduğu için parabolün kolları yukarı doğru açılır. ✅
- Tepe Noktası (T(r, k)):
- Tepe noktasının apsisi \( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0 \).
- Tepe noktasının ordinatı \( k = f(r) = f(0) = 0^2 = 0 \).
- Tepe noktasının apsisi \( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0 \).
- Simetri Ekseni:
- Simetri ekseni \( x = r \) doğrusudur.
- Simetri ekseni \( x = r \) doğrusudur.
Örnek 2:
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği, y ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelenirse oluşan yeni fonksiyonun denklemini ve tepe noktasını bulunuz.
Çözüm:
- Bir fonksiyonun grafiği y ekseni boyunca \( k \) birim yukarı ötelenirse, yeni fonksiyon \( g(x) = f(x) + k \) şeklinde olur.
- Burada \( f(x) = x^2 \) ve \( k=3 \).
- Yeni fonksiyonun denklemi: \( g(x) = x^2 + 3 \). ✅
- Yeni fonksiyonun tepe noktasını bulalım:
- \( g(x) = x^2 + 3 \) denkleminde \( a=1 \), \( b=0 \), \( c=3 \).
- Tepe noktasının apsisi \( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0 \).
- Tepe noktasının ordinatı \( k = g(r) = g(0) = 0^2 + 3 = 3 \).
- \( g(x) = x^2 + 3 \) denkleminde \( a=1 \), \( b=0 \), \( c=3 \).
Örnek 3:
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği, x ekseni boyunca 2 birim sağa ötelenirse oluşan yeni fonksiyonun denklemini ve tepe noktasını bulunuz.
Çözüm:
- Bir fonksiyonun grafiği x ekseni boyunca \( h \) birim sağa ötelenirse, yeni fonksiyon \( g(x) = f(x-h) \) şeklinde olur.
- Burada \( f(x) = x^2 \) ve \( h=2 \).
- Yeni fonksiyonun denklemi: \( g(x) = (x-2)^2 \). ✅
- Yeni fonksiyonun tepe noktasını bulalım:
- \( g(x) = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \) denkleminde \( a=1 \), \( b=-4 \), \( c=4 \).
- Tepe noktasının apsisi \( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \).
- Tepe noktasının ordinatı \( k = g(r) = g(2) = (2-2)^2 = 0^2 = 0 \).
- \( g(x) = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \) denkleminde \( a=1 \), \( b=-4 \), \( c=4 \).
Örnek 4:
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği, dikey olarak 2 kat gerilir ve ardından x eksenine göre simetriği alınırsa oluşan yeni fonksiyonun denklemini ve kollarının yönünü bulunuz.
Çözüm:
- Başlangıç fonksiyonu: \( f(x) = x^2 \).
- 👉 Dikey olarak 2 kat gerilmesi: Fonksiyonun önüne 2 katsayısı gelir. Yeni fonksiyon \( g(x) = 2x^2 \) olur.
- 👉 x eksenine göre simetriği alınması: Fonksiyonun önüne eksi işareti gelir. Yeni fonksiyon \( h(x) = -g(x) = -2x^2 \) olur. ✅
- Kollarının yönü:
- \( h(x) = -2x^2 \) denkleminde \( a = -2 \).
- \( h(x) = -2x^2 \) denkleminde \( a = -2 \).
Örnek 5:
Tepe noktası \( T(1, -4) \) olan ve kolları yukarı doğru açılan bir parabolün denklemi \( f(x) = a(x-r)^2 + k \) şeklinde ifade edilebilir. Eğer bu parabol \( f(x) = x^2 \) parabolünün bir dönüşümü ise, oluşan yeni fonksiyonun denklemini yazınız.
Çözüm:
- Bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) ise, denklemi \( f(x) = a(x-r)^2 + k \) şeklinde yazılabilir.
- Verilen tepe noktası \( T(1, -4) \) olduğundan, \( r=1 \) ve \( k=-4 \).
- Kolların yukarı doğru açıldığı belirtildiğinden ve \( f(x) = x^2 \) parabolünün bir dönüşümü olduğu için \( a \) değeri pozitif olmalı ve genellikle \( a=1 \) alınır (genişleme/daralma belirtilmediği sürece).
- Bu durumda, yeni fonksiyonun denklemi: \( f(x) = 1 \cdot (x-1)^2 + (-4) \).
- Yani \( f(x) = (x-1)^2 - 4 \). ✅
- İstenirse bu denklem açılabilir: \( f(x) = x^2 - 2x + 1 - 4 = x^2 - 2x - 3 \). ✅
Örnek 6:
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği önce x eksenine göre simetriği alınmış, ardından x ekseni boyunca 3 birim sola ve y ekseni boyunca 5 birim aşağı ötelenmiştir. Oluşan yeni fonksiyonun denklemini ve tepe noktasını bulunuz.
Çözüm:
- Başlangıç fonksiyonu: \( f(x) = x^2 \).
- 1. Adım: x eksenine göre simetriği alınması.
- Bu işlem fonksiyonu \( -f(x) \) yapar.
- Yeni fonksiyon: \( g(x) = -x^2 \).
- Bu işlem fonksiyonu \( -f(x) \) yapar.
- 2. Adım: x ekseni boyunca 3 birim sola ötelenmesi.
- Bu işlem \( x \) yerine \( (x+3) \) yazmayı gerektirir.
- Yeni fonksiyon: \( h(x) = -(x+3)^2 \).
- Bu işlem \( x \) yerine \( (x+3) \) yazmayı gerektirir.
- 3. Adım: y ekseni boyunca 5 birim aşağı ötelenmesi.
- Bu işlem fonksiyondan 5 çıkarmayı gerektirir.
- Yeni fonksiyon: \( k(x) = -(x+3)^2 - 5 \). ✅
- Bu işlem fonksiyondan 5 çıkarmayı gerektirir.
- Oluşan yeni fonksiyonun denklemi: \( k(x) = -(x+3)^2 - 5 \).
- Tepe noktasını bulalım:
- Fonksiyon \( y = a(x-r)^2 + k \) formunda olduğunda tepe noktası \( T(r, k) \) olur.
- Burada \( a=-1 \), \( r=-3 \) (çünkü \( x-(-3) = x+3 \)), \( k=-5 \).
- Fonksiyon \( y = a(x-r)^2 + k \) formunda olduğunda tepe noktası \( T(r, k) \) olur.
Örnek 7:
Aşağıda \( y = x^2 \) fonksiyonunun grafiği ile bu grafikten elde edilen bir \( g(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. (Şekil çizilemeyeceğinden, lütfen hayal ediniz.)
A) \( g(x) = -(x+2)^2 + 1 \)
B) \( g(x) = -(x-2)^2 + 1 \)
C) \( g(x) = (x-2)^2 + 1 \)
D) \( g(x) = -(x-1)^2 + 2 \)
E) \( g(x) = -(x+1)^2 + 2 \)
- Orijinal \( y = x^2 \) grafiğinin tepe noktası orijindedir ve kolları yukarı doğrudur.
- \( g(x) \) grafiğinin tepe noktası \( (2, 1) \) noktasındadır ve kolları aşağı doğrudur.
A) \( g(x) = -(x+2)^2 + 1 \)
B) \( g(x) = -(x-2)^2 + 1 \)
C) \( g(x) = (x-2)^2 + 1 \)
D) \( g(x) = -(x-1)^2 + 2 \)
E) \( g(x) = -(x+1)^2 + 2 \)
Çözüm:
- \( g(x) \) fonksiyonunun tepe noktası \( T(2, 1) \) olarak verilmiştir. Bu durumda \( r=2 \) ve \( k=1 \).
- Parabolün denklemi tepe noktası formunda \( g(x) = a(x-r)^2 + k \) şeklindedir.
- Bu bilgiyi kullanarak: \( g(x) = a(x-2)^2 + 1 \).
- Kollarının aşağı doğru olduğu belirtilmiştir. Bu durum, \( a \) katsayısının negatif olması gerektiğini gösterir. 👉 Seçeneklere baktığımızda, C şıkkı hariç diğer tüm şıklarda \( a \) değeri negatiftir (veya \( -1 \) olarak alınmıştır).
- Bu durumda doğru seçenek, tepe noktası \( (2,1) \) olan ve katsayısı negatif olan şıktır.
- Seçenekleri inceleyelim:
- A) \( g(x) = -(x+2)^2 + 1 \): Tepe noktası \( (-2, 1) \). Yanlış.
- B) \( g(x) = -(x-2)^2 + 1 \): Tepe noktası \( (2, 1) \) ve \( a = -1 \) (negatif). ✅ Bu doğru cevaptır.
- C) \( g(x) = (x-2)^2 + 1 \): Tepe noktası \( (2, 1) \) fakat \( a = 1 \) (pozitif, kollar yukarı). Yanlış.
- D) \( g(x) = -(x-1)^2 + 2 \): Tepe noktası \( (1, 2) \). Yanlış.
- E) \( g(x) = -(x+1)^2 + 2 \): Tepe noktası \( (-1, 2) \). Yanlış.
- A) \( g(x) = -(x+2)^2 + 1 \): Tepe noktası \( (-2, 1) \). Yanlış.
- Dolayısıyla doğru cevap B seçeneğidir. ✅
Örnek 8:
Bir mühendis, bir nehrin üzerine inşa edilecek bir köprünün kemerini parabolik bir şekilde tasarlıyor. Kemerin en yüksek noktasının (tepe noktasının) nehir yüzeyinden 10 metre yükseklikte ve köprünün başlangıç noktasından yatayda 20 metre uzaklıkta olmasını planlıyor. Köprünün başlangıç noktasını orijin \( (0,0) \) olarak kabul edersek, kemerin denklemini \( y = a(x-r)^2 + k \) şeklinde nasıl ifade edebiliriz? (Kemerin kolları aşağı doğru açılmaktadır.)
Çözüm:
- Verilen bilgilere göre, köprü kemerinin en yüksek noktası aynı zamanda parabolün tepe noktasıdır.
- Tepe noktasının koordinatları: Nehir yüzeyinden 10 metre yükseklikte (y değeri) ve başlangıç noktasından yatayda 20 metre uzaklıkta (x değeri).
- Yani tepe noktası \( T(r, k) = (20, 10) \) olarak belirlenmiştir. 👉 Bu durumda \( r=20 \) ve \( k=10 \).
- Kemerin kolları aşağı doğru açıldığı belirtilmiştir. Bu da parabolün denklemi olan \( y = a(x-r)^2 + k \) formundaki \( a \) katsayısının negatif olması gerektiği anlamına gelir.
- Soruda \( a \) değeri hakkında spesifik bir bilgi verilmediği için, genellikle en basit durum olan \( a=-1 \) veya sadece \( a \) olarak bırakılır. Burada denklemin genel ifadesi istendiği için \( a \) olarak bırakabiliriz, ancak negatif olduğunu belirtmeliyiz.
- Bu bilgilerle parabolün denklemini yazarsak:
\[ y = a(x-20)^2 + 10 \] - 📌 Burada \( a < 0 \) olmalıdır. Örneğin, \( a=-1 \) kabul edilirse denklem \( y = -(x-20)^2 + 10 \) olur. ✅
- Bu denklem, köprü kemerinin parabolik şeklini matematiksel olarak temsil eder ve mühendislerin tasarımda kullanabileceği bir model sunar.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-referans-fonksiyonlarin-nitel-ozellikleri-ve-grafik-donusumlerinin-cebirsel-temsile-etkisi/sorular