💡 10. Sınıf Matematik: Karesel kök fonksiyonunun grafiği Çözümlü Örnekler

Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için bazı noktaları belirleyelim:

• x = 0 için, \( f(0) = \sqrt{0} = 0 \). Nokta: (0, 0)
• x = 1 için, \( f(1) = \sqrt{1} = 1 \). Nokta: (1, 1)
• x = 4 için, \( f(4) = \sqrt{4} = 2 \). Nokta: (4, 2)
• x = 9 için, \( f(9) = \sqrt{9} = 3 \). Nokta: (9, 3)

Bu noktaları birleştirdiğimizde, grafiğin orijinden başlayıp sağa doğru yavaşça yükselen bir eğri olduğunu görürüz.

• Tanım Kümesi: Karesel kök içine negatif bir sayı yazılamayacağı için, tanım kümesi \( [0, \infty) \) yani negatif olmayan tüm reel sayılardır.
• Görüntü Kümesi: Fonksiyonun alabileceği en küçük değer 0'dır ve sonsuza kadar devam eder. Bu nedenle görüntü kümesi de \( [0, \infty) \) yani negatif olmayan tüm reel sayılardır.

💡 Karesel kök fonksiyonunun grafiği her zaman sağ üst çeyrekte yer alır ve orijinden başlar.

\( g(x) = \sqrt{x-2} \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için öncelikle tanım kümesini belirlemeliyiz.

• Tanım Kümesi: Kök içindeki ifade negatif olamaz. Yani, \( x-2 \ge 0 \) olmalıdır. Buradan \( x \ge 2 \) elde ederiz. Tanım kümesi \( [2, \infty) \) olur.

Bu, \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğinin x ekseninde 2 birim sağa ötelenmiş halidir. Grafiği çizmek için bazı noktalar seçelim:

• x = 2 için, \( g(2) = \sqrt{2-2} = \sqrt{0} = 0 \). Nokta: (2, 0)
• x = 3 için, \( g(3) = \sqrt{3-2} = \sqrt{1} = 1 \). Nokta: (3, 1)
• x = 6 için, \( g(6) = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2 \). Nokta: (6, 2)

Grafik, (2, 0) noktasından başlayıp sağa doğru yükselen bir eğridir. 👉 Fonksiyonun içindeki \( (x-a) \) ifadesi, grafiği 'a' birim sağa öteler.

\( h(x) = \sqrt{x} + 3 \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğinin y ekseninde 3 birim yukarı ötelenmiş halidir.

• Tanım Kümesi: Kök içi her zaman \( \ge 0 \) olmalıdır, yani \( x \ge 0 \). Tanım kümesi \( [0, \infty) \) olur.
• Görüntü Kümesi: \( \sqrt{x} \) ifadesi en az 0 değerini alabilir. Buna 3 eklediğimizde, fonksiyonun alabileceği en küçük değer \( 0 + 3 = 3 \) olur. Dolayısıyla görüntü kümesi \( [3, \infty) \) olur.

Grafiği çizmek için bazı noktalar:

• x = 0 için, \( h(0) = \sqrt{0} + 3 = 3 \). Nokta: (0, 3)
• x = 1 için, \( h(1) = \sqrt{1} + 3 = 4 \). Nokta: (1, 4)
• x = 4 için, \( h(4) = \sqrt{4} + 3 = 5 \). Nokta: (4, 5)

Grafik, (0, 3) noktasından başlayıp sağa doğru yükselen bir eğridir. 📌 Fonksiyonun dışındaki \( (+b) \) ifadesi, grafiği 'b' birim yukarı öteler.

\( k(x) = -\sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriğidir.

• Tanım Kümesi: Kök içi \( \ge 0 \) olmalıdır, yani \( x \ge 0 \). Tanım kümesi \( [0, \infty) \) olur.
• Görüntü Kümesi: \( \sqrt{x} \) ifadesi en az 0 değerini alır. Bu ifadenin önündeki eksi işareti, fonksiyonun değerlerini negatif yapar. En büyük değer 0'dır ve sonsuza kadar negatif yönde devam eder. Dolayısıyla görüntü kümesi \( (-\infty, 0] \) olur.

Grafiği çizmek için bazı noktalar:

• x = 0 için, \( k(0) = -\sqrt{0} = 0 \). Nokta: (0, 0)
• x = 1 için, \( k(1) = -\sqrt{1} = -1 \). Nokta: (1, -1)
• x = 4 için, \( k(4) = -\sqrt{4} = -2 \). Nokta: (4, -2)

Grafik, orijinden başlayıp sağ aşağı doğru inen bir eğridir. 💡 Bir fonksiyonun grafiğini x eksenine göre simetriğini almak için, fonksiyonun tüm değerlerini eksi ile çarparsınız.

\( m(x) = \sqrt{-x} \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için öncelikle tanım kümesini belirlemeliyiz.

• Tanım Kümesi: Kök içindeki ifade negatif olamaz. Yani, \( -x \ge 0 \) olmalıdır. Bu eşitsizliği -1 ile çarparsak, eşitsizlik yön değiştirir: \( x \le 0 \). Tanım kümesi \( (-\infty, 0] \) olur.

Bu, \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriğidir. Grafiği çizmek için bazı noktalar seçelim:

• x = 0 için, \( m(0) = \sqrt{-0} = 0 \). Nokta: (0, 0)
• x = -1 için, \( m(-1) = \sqrt{-(-1)} = \sqrt{1} = 1 \). Nokta: (-1, 1)
• x = -4 için, \( m(-4) = \sqrt{-(-4)} = \sqrt{4} = 2 \). Nokta: (-4, 2)

Grafik, orijinden başlayıp sol yukarı doğru yükselen bir eğridir. 👉 \( \sqrt{-x} \) fonksiyonunun grafiği, \( \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriğidir.

Tarlanın nehir kenarına paralel olan kenarı \( x \) metre ise, diğer iki kenarı da \( x \) metre olacaktır (çünkü nehir kenarına paralel kenar hariç üç kenar çevriliyor ve tarlanın dikdörtgen olduğu varsayılırsa). Tarlanın nehir kenarına dik olan kenarının uzunluğuna \( y \) diyelim.

• Kullanılan toplam tel miktarı: \( x + x + y = 100 \) metre.
• Bu denklemden \( y \) 'yi \( x \) cinsinden bulalım: \( 2x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - 2x \).
• Tarlanın alanı \( A = \text{taban} \times \text{yükseklik} \) formülüyle bulunur. Burada taban \( x \) ve yükseklik \( y \) 'dir.
• Alanı \( x \) cinsinden veren fonksiyon: \( A(x) = x \times y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2 \).

Bu bir parabol denklemidir, ancak soruda karesel kök fonksiyonunun grafiği sorulduğu için, bu problemde karesel kök fonksiyonu doğrudan kullanılmamıştır. Ancak, alanın \( x \) ile ilişkisi \( x \) 'in karesel bir fonksiyonu olarak ifade edilmiştir. Eğer soru, tel miktarı \( \sqrt{A} \) gibi bir karesel kök ile ilgili olsaydı, o zaman karesel kök fonksiyonunun grafiği devreye girerdi. Bu soruda verilen bilgilerle alan fonksiyonu \( A(x) = 100x - 2x^2 \) olarak bulunur. Bu fonksiyonun grafiği, kolları aşağı doğru olan bir paraboldür. 💡 Bu tür problemler, karesel fonksiyonların ve optimizasyonun günlük hayattaki uygulamalarını gösterir.

Verilen formül: \( h = \frac{1}{2}gt^2 \) Amacımız \( t \)'yi \( h \) cinsinden ifade etmektir.

• Her iki tarafı 2 ile çarpalım: \( 2h = gt^2 \).
• Her iki tarafı \( g \)'ye bölelim: \( \frac{2h}{g} = t^2 \).
• Her iki tarafın karekökünü alalım. Zaman \( t \) pozitif olacağı için pozitif kökü alırız: \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \).

Dolayısıyla, cismin aldığı yol \( h \) iken geçen süreyi veren fonksiyon \( t(h) = \sqrt{\frac{2h}{g}} \) olur. Bu, bir karesel kök fonksiyonudur. Grafiği hakkında düşünürsek:

• Tanım Kümesi: Alınan yol \( h \) negatif olamaz, yani \( h \ge 0 \).
• Görüntü Kümesi: Zaman \( t \) negatif olamaz, yani \( t \ge 0 \).

Grafik, orijinden başlayıp sağa doğru yükselen bir eğri olacaktır. ✅ Bu, karesel kök fonksiyonlarının fiziksel olayları modellemede nasıl kullanıldığının güzel bir örneğidir.

Temel fonksiyonumuz \( y = \sqrt{x} \) grafiğidir. Bu grafiğe aşağıdaki dönüşümler uygulanarak \( y = \sqrt{x+1} - 2 \) fonksiyonunun grafiği elde edilir:

• \( x+1 \) terimi: Fonksiyonun içindeki \( x \) yerine \( x+1 \) yazılması, grafiği x ekseninde 1 birim sola kaydırır.
• \( -2 \) terimi: Fonksiyonun dışındaki \( -2 \) terimi, grafiği y ekseninde 2 birim aşağı kaydırır.

Yani, \( y = \sqrt{x} \) grafiği önce 1 birim sola, sonra 2 birim aşağı ötelendiğinde \( y = \sqrt{x+1} - 2 \) fonksiyonunun grafiği elde edilir. Başlangıç noktası (0,0) olan \( y = \sqrt{x} \) grafiği, bu dönüşümler sonucunda (-1, -2) noktasından başlayan bir grafik haline gelir. 📌 Dönüşümleri doğru anlamak, fonksiyon grafiklerini hızlıca çizmeyi sağlar.

Hareketlinin hızının zamana bağlı değişimi \( v(t) = \sqrt{t} \) olarak verilmiştir. Alınan yol, hızın zamana göre integralini alarak bulunur. Ancak 10. sınıf müfredatında integral konusu henüz işlenmediği için, bu soruyu hızın bir fonksiyonu olarak düşünerek ve grafik alanını kullanarak yorumlayabiliriz. Eğer hız sabit olsaydı, yol = hız x zaman olurdu. Ancak hız değiştiği için, bu durum daha karmaşıktır. Bu seviyede, hızın zamana göre değişimini gösteren grafiğin altındaki alanın alınan yolu temsil ettiği bilgisi verilebilir. Ancak \( v(t) = \sqrt{t} \) fonksiyonunun grafiğinin altındaki alanı hesaplamak için integral bilgisi gereklidir. Bu soruyu, karesel kök fonksiyonunun kendisini ve özelliklerini vurgulayacak şekilde yeniden düzenleyelim: Yeniden Düzenlenmiş Soru: Bir hareketlinin aldığı yol \( s(t) = \sqrt{t} \) fonksiyonu ile verilmektedir. Bu hareketlinin 0 ile 9. saniye arasında aldığı yolu bulunuz. Çözüm (Yeniden Düzenlenmiş Soru İçin): Alınan yolun zamana bağlı fonksiyonu \( s(t) = \sqrt{t} \) olarak verilmiştir. 0 ile 9. saniye arasında alınan yolu bulmak için, bu zaman aralığındaki yol fonksiyonunun değerlerini incelemeliyiz.

• t = 0 anında alınan yol: \( s(0) = \sqrt{0} = 0 \) metre.
• t = 9 anında alınan yol: \( s(9) = \sqrt{9} = 3 \) metre.

Bu, hareketlinin 0. saniyede 0 metre yol aldığını ve 9. saniyede toplamda 3 metre yol aldığını gösterir. Eğer soru, 0 ile 9. saniye arasındaki toplam yol değişimini soruyorsa, bu \( s(9) - s(0) \) olacaktır. \( s(9) - s(0) = 3 - 0 = 3 \) metre. Bu şekilde, karesel kök fonksiyonunun değerini belirli bir noktada hesaplama becerisi ölçülmüş olur. 💡 Karesel kök fonksiyonları, zamanla artan ancak artış hızı azalan durumları modellemede kullanılabilir.