📄 10. Sınıf Matematik: Karesel kök fonksiyonunun grafiği Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

1. Tanım Kümesi: Karekök içindeki ifade negatif olamaz. Bu nedenle \( x-1 \ge 0 \) olmalıdır. Buradan \( x \ge 1 \) elde edilir. Tanım kümesi \( [1, \infty) \) aralığıdır.



2. Görüntü Kümesi: \( \sqrt{x-1} \) ifadesi en az 0 değerini alabilir. Fonksiyona 2 eklendiğinde, \( \sqrt{x-1} + 2 \ge 0 + 2 \) olur. Bu da \( f(x) \ge 2 \) anlamına gelir. Görüntü kümesi \( [2, \infty) \) aralığıdır.



3. Grafik Çizimi: \( y = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği orijinden (0,0) başlar. \( f(x) = \sqrt{x-1} + 2 \) fonksiyonu, \( y = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğinin 1 birim sağa (x-1 teriminden dolayı) ve 2 birim yukarı ( +2 teriminden dolayı) ötelenmiş halidir. Bu öteleme sonucunda fonksiyonun başlangıç noktası (0,0)'dan (1,2)'ye kayar. Grafiği çizmek için birkaç nokta belirleyebiliriz:

- x = 1 için: \( f(1) = \sqrt{1-1} + 2 = \sqrt{0} + 2 = 2 \). Nokta: (1, 2)

- x = 2 için: \( f(2) = \sqrt{2-1} + 2 = \sqrt{1} + 2 = 3 \). Nokta: (2, 3)

- x = 5 için: \( f(5) = \sqrt{5-1} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4 \). Nokta: (5, 4)



Grafik, (1,2) noktasından başlayarak sağa doğru yavaşça yükselen bir eğri şeklinde olacaktır.

💡 Çözüm Adımları:

1. İlişki: \( y = -\sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği, \( y = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriğidir. Yani, \( y = \sqrt{x} \) grafiğindeki her noktanın y koordinatinin işareti değiştirilerek \( y = -\sqrt{x} \) grafiğindeki karşılık gelen nokta bulunur.



2. Tanım Kümeleri: Her iki fonksiyon için de karekök içindeki ifade \( x \) olduğundan, tanım kümesi \( x \ge 0 \) olmalıdır. Dolayısıyla, her iki fonksiyonun da tanım kümesi \( [0, \infty) \) aralığıdır.



3. Görüntü Kümeleri:

- \( y = \sqrt{x} \) fonksiyonunda, karekökün sonucu her zaman negatif olmayan bir reel sayıdır. Bu nedenle görüntü kümesi \( [0, \infty) \) aralığıdır.

- \( y = -\sqrt{x} \) fonksiyonunda ise, \( \sqrt{x} \) negatif olmayan bir değer aldığından, bu değerin negatifi alınır. Bu durumda sonuç her zaman negatif veya sıfır olur. Dolayısıyla görüntü kümesi \( (-\infty, 0] \) aralığıdır.



Karşılaştırma: Tanım kümeleri aynı iken, görüntü kümeleri x eksenine göre simetrik bir ilişki içindedir.

💡 Çözüm Adımları:

1. Dönüşüm: \( f(x) = \sqrt{2x-6} \) fonksiyonunu \( y = \sqrt{x} \) fonksiyonu ile ilişkilendirmek için ifadeyi biraz düzenleyebiliriz:

\( f(x) = \sqrt{2(x-3)} = \sqrt{2} \sqrt{x-3} \)

Bu ifade bize iki temel dönüşüm olduğunu gösterir:

a) Yatay Öteleme: \( \sqrt{x-3} \) terimi, \( y = \sqrt{x} \) grafiğinin 3 birim sağa ötelenmesi anlamına gelir.

b) Dikey Ölçeklendirme: \( \sqrt{2} \) ile çarpım, grafiğin y ekseni boyunca \( \sqrt{2} \) katı kadar daraltılması (veya sıkıştırılması) anlamına gelir. Bu, grafiğin daha dik olmasına neden olur.



Alternatif olarak, önce 2x terimine bakarsak, bu x ekseni boyunca bir sıkıştırma (1/2 katı) anlamına gelir. Ardından -6 terimi, bu sıkıştırılmış grafiğin 3 birim sağa ötelenmesi anlamına gelir.



2. Tanım Kümesi: Karekök içindeki ifade \( 2x-6 \) olduğundan, \( 2x-6 \ge 0 \) olmalıdır. Buradan \( 2x \ge 6 \) ve \( x \ge 3 \) elde edilir. Tanım kümesi \( [3, \infty) \) aralığıdır.



3. Grafiğin Başlangıç Noktası: Tanım kümesinin başladığı en küçük x değeri 3'tür. Bu değeri fonksiyonda yerine koyarsak:

\( f(3) = \sqrt{2(3)-6} = \sqrt{6-6} = \sqrt{0} = 0 \)

Bu nedenle, fonksiyonun grafiği \( (3, 0) \) noktasından başlar. Bu nokta, \( y = \sqrt{x} \) fonksiyonunun başlangıç noktası olan (0,0)'ın 3 birim sağa ötelenmiş halidir.