🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonların nitel özellikleri ve grafik dönüşümleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonların nitel özellikleri ve grafik dönüşümleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. \( g(x) = x^2 + 3 \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğine göre nasıl bir dönüşüm geçirir? 💡
Çözüm:
- Temel karesel fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 \)'dir. Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür.
- Yeni fonksiyonumuz \( g(x) = x^2 + 3 \)'tür.
- Fonksiyonlara sabit bir sayı eklemek, grafiği düşeyde öteleme hareketine sokar.
- Eğer sabit sayı pozitifse, grafik yukarı doğru ötelenecektir.
- Bu durumda, \( g(x) = x^2 + 3 \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğinin 3 birim yukarı ötelenmiş halidir. ✅
Örnek 2:
\( h(x) = (x-2)^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğine göre nasıl bir dönüşüm geçirir? 👉
Çözüm:
- Temel karesel fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 \)'dir.
- Yeni fonksiyonumuz \( h(x) = (x-2)^2 \)'dir.
- Fonksiyonun içindeki \( x \) yerine \( (x-a) \) yazmak, grafiği yatayda öteleme hareketine sokar.
- Eğer \( (x-a) \) şeklinde ise, grafik \( a \) birim sağa ötelenir.
- Bu durumda, \( h(x) = (x-2)^2 \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğinin 2 birim sağa ötelenmiş halidir. 📌
Örnek 3:
\( y = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. \( y = \sqrt{x+4} - 1 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğine göre hangi dönüşümleri geçirir? Açıklayınız. 📝
Çözüm:
- Temel karekök fonksiyonumuz \( y = \sqrt{x} \)'dir.
- Fonksiyonun içindeki \( x \) yerine \( (x+4) \) yazılması, grafiği 4 birim sola öteleme anlamına gelir.
- Fonksiyonun tamamına \( -1 \) eklenmesi ise, grafiği 1 birim aşağı öteleme anlamına gelir.
- Dolayısıyla, \( y = \sqrt{x+4} - 1 \) fonksiyonunun grafiği, \( y = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğinin 4 birim sola ve 1 birim aşağı ötelenmiş halidir. 🚀
Örnek 4:
\( f(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. \( g(x) = \frac{1}{x-3} + 2 \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğine göre nasıl bir dönüşüm geçirir? 🔄
Çözüm:
- Temel rasyonel fonksiyonumuz \( f(x) = \frac{1}{x} \)'dir.
- \( x \) yerine \( (x-3) \) yazılması, grafiğin 3 birim sağa ötelenmesi demektir.
- Fonksiyona \( +2 \) eklenmesi ise, grafiğin 2 birim yukarı ötelenmesi demektir.
- Sonuç olarak, \( g(x) = \frac{1}{x-3} + 2 \) fonksiyonunun grafiği, \( f(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonunun grafiğinin 3 birim sağa ve 2 birim yukarı ötelenmiş halidir. 👍
Örnek 5:
Bir grafik tasarımcısı, \( y = x^2 \) fonksiyonunun grafiğini kullanarak bir logo tasarlamaktadır. Tasarımda, \( y = x^2 \) grafiğini önce 2 birim sağa, ardından 3 birim aşağı öteleyerek yeni bir eğri elde ediyor. Bu yeni eğrinin fonksiyon denklemini bulunuz. 🎨
Çözüm:
- Başlangıç fonksiyonumuz \( y = x^2 \)'dir.
- Fonksiyonu 2 birim sağa ötelemek için \( x \) yerine \( (x-2) \) yazarız: \( y = (x-2)^2 \).
- Elde edilen bu yeni fonksiyonu 3 birim aşağı ötelemek için fonksiyondan 3 çıkarırız: \( y = (x-2)^2 - 3 \).
- Bu nedenle, yeni eğrinin fonksiyon denklemi \( y = (x-2)^2 - 3 \)'tür. ⭐
Örnek 6:
Bir yazılım mühendisi, bir oyunun zeminini oluşturmak için \( y = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğini kullanacaktır. Ancak zeminin başlangıç noktasının \( (-5, 2) \) olmasını istemektedir. Mühendisin kullanacağı fonksiyonun denklemini bulunuz. 🎮
Çözüm:
- Temel fonksiyonumuz \( y = \sqrt{x} \)'dir.
- Başlangıç noktasının \( (-5, 2) \) olması için, grafiğin hem yatay hem de düşeyde ötelenmesi gerekmektedir.
- Başlangıç noktasının x-koordinatının -5 olması için, \( x \) yerine \( (x+5) \) yazarız (5 birim sola öteleme). Fonksiyonumuz \( y = \sqrt{x+5} \) olur.
- Başlangıç noktasının y-koordinatının 2 olması için, fonksiyonun tamamına 2 ekleriz (2 birim yukarı öteleme). Fonksiyonumuz \( y = \sqrt{x+5} + 2 \) olur.
- Kullanılacak fonksiyon denklemi \( y = \sqrt{x+5} + 2 \)'dir. 💡
Örnek 7:
Bir akıllı telefon uygulamasında, bir grafik çizilmektedir. Başlangıçta çizilen grafik \( y = \frac{1}{x} \) fonksiyonuna benzemektedir. Uygulama, bu grafiği 1 birim sola ve 4 birim aşağı öteleyerek kullanıcıya farklı bir görünüm sunmaktadır. Yeni grafiğin fonksiyon denklemi nedir? 📱
Çözüm:
- Temel fonksiyonumuz \( y = \frac{1}{x} \)'dir.
- Grafiği 1 birim sola ötelemek için \( x \) yerine \( (x+1) \) yazarız: \( y = \frac{1}{x+1} \).
- Elde edilen bu yeni fonksiyonu 4 birim aşağı ötelemek için fonksiyondan 4 çıkarırız: \( y = \frac{1}{x+1} - 4 \).
- Yeni grafiğin fonksiyon denklemi \( y = \frac{1}{x+1} - 4 \)'tür. 📈
Örnek 8:
Bir inşaat mühendisi, bir yapının temelini tasarlarken \( y = x^2 \) fonksiyonunun grafiğini bir referans olarak kullanmaktadır. Ancak yapının tabanının \( x=1 \) noktasından başlamasını ve en alt noktasının \( y=-2 \) olmasını istemektedir. Mühendisin kullanacağı fonksiyonun denklemini bulunuz. 🏗️
Çözüm:
- Referans fonksiyonumuz \( y = x^2 \)'dir.
- En alt noktasının \( y=-2 \) olması için, fonksiyonun 2 birim aşağı ötelenmesi gerekir. Bu durumda fonksiyon \( y = x^2 - 2 \) olur.
- Bu ötelenmiş fonksiyonun tabanının \( x=1 \) noktasından başlaması için, \( x \) yerine \( (x-1) \) yazarız (1 birim sağa öteleme).
- Bu işlem sonucunda elde edeceğimiz fonksiyon denklemi \( y = (x-1)^2 - 2 \)'dir. 📐
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-karekok-ve-rasyonel-referans-fonksiyonlarin-nitel-ozellikleri-ve-grafik-donusumleri/sorular