🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karesel Karekök Ve Rasyonel Referans Fonksiyonları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel Karekök Ve Rasyonel Referans Fonksiyonları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Merhaba sevgili öğrenciler! 👋
Bugünkü dersimizde karekök ve rasyonel fonksiyonların tanım kümelerini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.
📌 Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonu tanımlı yapan tüm \( x \) değerlerinin kümesidir.
Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz:
1. \( f(x) = \sqrt{2x-8} \) 2. \( g(x) = \frac{x+3}{x-5} \)
Bugünkü dersimizde karekök ve rasyonel fonksiyonların tanım kümelerini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.
📌 Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonu tanımlı yapan tüm \( x \) değerlerinin kümesidir.
Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz:
1. \( f(x) = \sqrt{2x-8} \) 2. \( g(x) = \frac{x+3}{x-5} \)
Çözüm:
Haydi, bu fonksiyonların tanım kümelerini adım adım bulalım! 🚀
-
1. \( f(x) = \sqrt{2x-8} \) fonksiyonunun tanım kümesi:
Karekök içindeki bir ifadenin gerçek sayı olabilmesi için, kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir. Yani negatif olamaz! 💡
- 👉 \( 2x-8 \ge 0 \) olmalıdır.
- 👉 Eşitsizliği çözelim: \( 2x \ge 8 \)
- 👉 Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( x \ge 4 \)
-
2. \( g(x) = \frac{x+3}{x-5} \) fonksiyonunun tanım kümesi:
Rasyonel bir ifadede (kesirli ifade), paydanın sıfır olmaması gerekir. Çünkü bir sayıyı sıfıra bölemeyiz! 🚫
- 👉 \( x-5 \ne 0 \) olmalıdır.
- 👉 Eşitsizliği çözelim: \( x \ne 5 \)
Örnek 2:
Şimdi biraz daha karmaşık bir karekök fonksiyonuna bakalım. 🤔
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 7x + 10} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 7x + 10} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu tür sorular, 10. sınıf ikinci dereceden eşitsizlikler konusunu da içerir. Haydi çözelim! 💪
-
1. Karekök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalı:
\( x^2 - 7x + 10 \ge 0 \) olmalıdır. -
2. İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
Çarpımları 10, toplamları -7 olan iki sayı -2 ve -5'tir.
Yani \( (x-2)(x-5) \ge 0 \) olur. -
3. Kökleri bulalım:
\( x-2 = 0 \implies x = 2 \)
\( x-5 = 0 \implies x = 5 \) -
4. Eşitsizlik işaret tablosu oluşturalım:
(Normalde tablo çizilir ama kurallar gereği metinsel ifade edeceğiz.)
Parabolün kolları yukarı doğrudur (çünkü \( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif).
Kökler 2 ve 5'tir.
- 👉 \( x < 2 \) için \( (x-2)(x-5) \) ifadesi pozitif (+) olur. (Örn: \( x=0 \implies (-2)(-5) = 10 \ge 0 \))
- 👉 \( 2 < x < 5 \) için \( (x-2)(x-5) \) ifadesi negatif (-) olur. (Örn: \( x=3 \implies (1)(-2) = -2 < 0 \))
- 👉 \( x > 5 \) için \( (x-2)(x-5) \) ifadesi pozitif (+) olur. (Örn: \( x=6 \implies (4)(1) = 4 \ge 0 \))
-
5. Eşitsizliği sağlayan aralığı belirleyelim:
Biz \( \ge 0 \) olan bölgeleri arıyoruz. Bu da \( x \le 2 \) veya \( x \ge 5 \) anlamına gelir.
Örnek 3:
Şimdi de karekök içindeki tam kare ifadelerin sadeleştirilmesine odaklanalım. 🧐
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 10x + 25} \) fonksiyonunun en sade halini bulunuz. Ayrıca, \( x=3 \) ve \( x=8 \) için \( f(x) \) değerlerini hesaplayınız.
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 10x + 25} \) fonksiyonunun en sade halini bulunuz. Ayrıca, \( x=3 \) ve \( x=8 \) için \( f(x) \) değerlerini hesaplayınız.
Çözüm:
Unutmayın, \( \sqrt{A^2} = |A| \) kuralı burada çok önemli! 💡
-
1. Karekök içindeki ifadeyi tam kare olarak yazalım:
\( x^2 - 10x + 25 \) ifadesi, \( (x-5)^2 \) şeklinde yazılabilir. (Çünkü \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \))
Buna göre, \( f(x) = \sqrt{(x-5)^2} \) olur. -
2. Karekök dışına çıkaralım:
\( \sqrt{(x-5)^2} = |x-5| \) dir.
Yani, \( f(x) = |x-5| \) fonksiyonun en sade halidir. ✅ -
3. \( x=3 \) için \( f(x) \) değerini hesaplayalım:
\( f(3) = |3-5| = |-2| = 2 \). -
4. \( x=8 \) için \( f(x) \) değerini hesaplayalım:
\( f(8) = |8-5| = |3| = 3 \).
Örnek 4:
Rasyonel fonksiyonların düşey ve yatay asimptotları, grafiklerini çizerken bize çok yardımcı olan önemli kavramlardır. 🧭
\( f(x) = \frac{3x+6}{x-2} \) fonksiyonunun düşey ve yatay asimptotlarını bulunuz.
\( f(x) = \frac{3x+6}{x-2} \) fonksiyonunun düşey ve yatay asimptotlarını bulunuz.
Çözüm:
Asimptotlar, fonksiyonun sonsuza giderken yaklaştığı çizgilerdir. Hadi bulalım! 🎢
-
1. Düşey Asimptot (Dikey Asimptot):
Düşey asimptot, paydanın sıfır olduğu \( x \) değerlerinde oluşur (payı sıfır yapmıyorsa).
- 👉 Paydayı sıfıra eşitleyelim: \( x-2 = 0 \)
- 👉 Buradan \( x = 2 \) bulunur.
- 👉 \( x=2 \) değerini payda yerine koyduğumuzda \( 3(2)+6 = 12 \ne 0 \) olduğu için, \( x=2 \) bir düşey asimptottur.
-
2. Yatay Asimptot:
Yatay asimptotu bulmak için pay ve paydadaki polinomların derecelerine bakarız.
- 👉 Paydaki polinom \( 3x+6 \) (derecesi 1).
- 👉 Paydadaki polinom \( x-2 \) (derecesi 1).
- 👉 Pay ve paydanın dereceleri eşit olduğunda, yatay asimptot, baş katsayılarının oranına eşittir.
- 👉 Payın baş katsayısı 3, paydanın baş katsayısı 1'dir.
- 👉 Oran: \( y = \frac{3}{1} = 3 \).
Örnek 5:
Biraz daha detaylı bir rasyonel fonksiyon grafiği yorumlayalım. 📈
\( f(x) = \frac{2x-1}{x+3} \) fonksiyonunun
a) Tanım kümesini,
b) Düşey ve yatay asimptotlarını,
c) \( x \)-eksenini kestiği noktayı,
d) \( y \)-eksenini kestiği noktayı bulunuz.
\( f(x) = \frac{2x-1}{x+3} \) fonksiyonunun
a) Tanım kümesini,
b) Düşey ve yatay asimptotlarını,
c) \( x \)-eksenini kestiği noktayı,
d) \( y \)-eksenini kestiği noktayı bulunuz.
Çözüm:
Bu adımlar, bir rasyonel fonksiyonun grafiğini çizerken bize yol gösterir. 🗺️
-
a) Tanım Kümesi:
Paydayı sıfır yapan değerleri kümeden çıkarmalıyız.
- 👉 \( x+3 \ne 0 \implies x \ne -3 \)
-
b) Düşey ve Yatay Asimptotlar:
- 👉 Düşey Asimptot: Paydayı sıfır yapan \( x \) değeri: \( x+3=0 \implies x=-3 \). (Payı \( 2(-3)-1 = -7 \ne 0 \) yapar.)
Yani \( \mathbf{x = -3} \) düşey asimptottur. - 👉 Yatay Asimptot: Pay ve payda dereceleri eşit (ikisi de 1). Baş katsayılarının oranı: \( y = \frac{2}{1} = 2 \).
Yani \( \mathbf{y = 2} \) yatay asimptottur.
- 👉 Düşey Asimptot: Paydayı sıfır yapan \( x \) değeri: \( x+3=0 \implies x=-3 \). (Payı \( 2(-3)-1 = -7 \ne 0 \) yapar.)
-
c) \( x \)-eksenini kestiği nokta:
\( y=0 \) iken \( x \) değeridir (fonksiyonun kökü).
- 👉 \( \frac{2x-1}{x+3} = 0 \implies 2x-1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \)
-
d) \( y \)-eksenini kestiği nokta:
\( x=0 \) iken \( y \) değeridir.
- 👉 \( f(0) = \frac{2(0)-1}{0+3} = \frac{-1}{3} \)
Örnek 6:
Bir mühendislik firması, bir köprü inşaatında kullanılacak özel bir metal alaşımının mukavemetini (dayanıklılığını) test etmektedir. 🌉
Alaşımın mukavemeti \( M(x) \) (birim: Newton/mm\(^2\)) ve alaşımdaki ana bileşenin yüzdesi \( x \) (0 ile 100 arasında) arasında aşağıdaki ilişki bulunmuştur:
\[ M(x) = \frac{100x}{x+10} \] Buna göre:
a) Alaşımdaki ana bileşen yüzdesi 90 olduğunda mukavemet kaç olur?
b) Ana bileşen yüzdesi çok yüksek değerlere yaklaştığında (yani \( x \to 100 \)), alaşımın mukavemeti hangi değere yaklaşır? Bu durumun fiziksel anlamı nedir?
Alaşımın mukavemeti \( M(x) \) (birim: Newton/mm\(^2\)) ve alaşımdaki ana bileşenin yüzdesi \( x \) (0 ile 100 arasında) arasında aşağıdaki ilişki bulunmuştur:
\[ M(x) = \frac{100x}{x+10} \] Buna göre:
a) Alaşımdaki ana bileşen yüzdesi 90 olduğunda mukavemet kaç olur?
b) Ana bileşen yüzdesi çok yüksek değerlere yaklaştığında (yani \( x \to 100 \)), alaşımın mukavemeti hangi değere yaklaşır? Bu durumun fiziksel anlamı nedir?
Çözüm:
Bu, rasyonel fonksiyonların gerçek dünya problemlerinde nasıl kullanıldığına dair güzel bir örnektir! 🛠️
-
a) Ana bileşen yüzdesi 90 olduğunda mukavemet:
\( x=90 \) değerini \( M(x) \) fonksiyonuna yerine koyarak hesaplayalım.
- 👉 \( M(90) = \frac{100 \times 90}{90+10} \)
- 👉 \( M(90) = \frac{9000}{100} \)
- 👉 \( M(90) = 90 \)
-
b) Ana bileşen yüzdesi çok yüksek değerlere yaklaştığında mukavemet:
Bu soru aslında fonksiyonun \( x \to \infty \) iken yatay asimptotuna yaklaşıp yaklaşmadığını sormaktadır. Ancak burada \( x \) bir yüzde olduğu için \( x \to 100 \) durumuna bakmalıyız. Fonksiyonun yatay asimptotu, \( x \) çok büyük değerlere giderken fonksiyonun yaklaştığı değeri verir.
\( M(x) = \frac{100x}{x+10} \) fonksiyonunda pay ve paydanın dereceleri eşittir (ikisi de 1).
Yatay asimptot, baş katsayılarının oranıdır.
- 👉 Baş katsayılar: Payda 100, paydada 1.
- 👉 Yatay asimptot: \( y = \frac{100}{1} = 100 \).
Fiziksel anlamı: Bu durum, alaşımdaki ana bileşenin yüzdesi arttıkça mukavemetin belirli bir üst sınıra (100 Newton/mm\(^2\)) yaklaştığını gösterir. Yani, bu bileşenden sonsuz miktarda ekleseniz bile, alaşımın dayanıklılığı 100'ü geçemez. Bu, malzemenin doğal bir dayanıklılık limitine sahip olduğunu ifade eder. 💡
Örnek 7:
Bir havuzun dolum süresi, havuzu dolduran musluğun debisine (birim zamanda akıttığı su miktarı) bağlıdır. 💧
5000 litrelik bir havuzu doldurmak için kullanılan musluğun debisi \( x \) litre/dakika olsun. Havuzun dolması için geçen süre \( T(x) \) dakika olarak ifade edilmektedir.
a) Dolum süresini \( x \) cinsinden ifade eden \( T(x) \) fonksiyonunu yazınız.
b) Musluğun debisi 100 litre/dakika olduğunda havuz kaç dakikada dolar?
c) Musluğun debisi çok arttığında (yani \( x \to \infty \)), dolum süresi ne olur? Bu durumun anlamı nedir?
5000 litrelik bir havuzu doldurmak için kullanılan musluğun debisi \( x \) litre/dakika olsun. Havuzun dolması için geçen süre \( T(x) \) dakika olarak ifade edilmektedir.
a) Dolum süresini \( x \) cinsinden ifade eden \( T(x) \) fonksiyonunu yazınız.
b) Musluğun debisi 100 litre/dakika olduğunda havuz kaç dakikada dolar?
c) Musluğun debisi çok arttığında (yani \( x \to \infty \)), dolum süresi ne olur? Bu durumun anlamı nedir?
Çözüm:
Bu problem, ters orantı ilişkisini ve rasyonel fonksiyonların günlük hayattaki uygulamasını gösterir. 🕰️
-
a) Dolum süresini \( T(x) \) fonksiyonu olarak yazma:
Toplam hacim 5000 litre, debi \( x \) litre/dakika.
Süre = Toplam Hacim / Debi
- 👉 \( T(x) = \frac{5000}{x} \)
-
b) Debi 100 litre/dakika olduğunda dolum süresi:
\( x=100 \) değerini \( T(x) \) fonksiyonuna yerine koyalım.
- 👉 \( T(100) = \frac{5000}{100} \)
- 👉 \( T(100) = 50 \)
-
c) Debi çok arttığında dolum süresi:
Bu, \( x \to \infty \) durumunda \( T(x) \) fonksiyonunun davranışını incelemektir. Rasyonel fonksiyonun yatay asimptotuyla ilişkilidir.
\[ T(x) = \frac{5000}{x} \] Bu fonksiyonda payın derecesi (0) paydanın derecesinden (1) küçüktür.
- 👉 Bu durumda yatay asimptot \( y=0 \) doğrusudur.
Anlamı: Bu, debi ne kadar artarsa havuzun o kadar kısa sürede dolacağı ve teorik olarak debi sonsuz olduğunda anında dolacağı anlamına gelir. Gerçek hayatta bu mümkün olmasa da, bize debi ile dolum süresi arasındaki ters orantılı ilişkiyi ve bir limit değerini gösterir. 🚀
Örnek 8:
Bir araba kiralama şirketi, araçlarının ortalama yakıt tüketimini \( C(v) \) (litre/100 km) olarak, aracın ortalama hızı \( v \) (km/saat) ile ilişkilendiren bir model geliştirmiştir. 🚗💨
Model aşağıdaki gibidir:
\[ C(v) = \frac{200}{v} + 0.1v \] Bu model, özellikle şehir içi ve şehirlerarası sürüş koşulları için geçerlidir.
a) Saatte 50 km hızla giden bir aracın 100 km'deki ortalama yakıt tüketimi kaç litredir?
b) Bu fonksiyonun tanım kümesi hakkında ne söyleyebilirsiniz? (Pratik birimler açısından)
Model aşağıdaki gibidir:
\[ C(v) = \frac{200}{v} + 0.1v \] Bu model, özellikle şehir içi ve şehirlerarası sürüş koşulları için geçerlidir.
a) Saatte 50 km hızla giden bir aracın 100 km'deki ortalama yakıt tüketimi kaç litredir?
b) Bu fonksiyonun tanım kümesi hakkında ne söyleyebilirsiniz? (Pratik birimler açısından)
Çözüm:
Bu, rasyonel ve doğrusal fonksiyonların birleşimiyle oluşan bir modeldir. ✨
-
a) Saatte 50 km hızla giden aracın yakıt tüketimi:
\( v=50 \) değerini \( C(v) \) fonksiyonuna yerine koyalım.
- 👉 \( C(50) = \frac{200}{50} + 0.1 \times 50 \)
- 👉 \( C(50) = 4 + 5 \)
- 👉 \( C(50) = 9 \)
-
b) Fonksiyonun tanım kümesi hakkında yorum:
Matematiksel olarak, rasyonel kısım olan \( \frac{200}{v} \) için \( v \ne 0 \) olmalıdır.
Pratik birimler açısından düşündüğümüzde, hız (v) negatif olamaz çünkü bu bir sürüş hızıdır. Ayrıca, sıfır hızda yakıt tüketimi tanımsız olur (araç hareket etmezken yakıt tüketimi farklı bir modelle açıklanır).
- 👉 Bu nedenle, pratik olarak \( v > 0 \) olmalıdır.
- 👉 Ayrıca, bir aracın hızının belirli bir üst limiti vardır (örneğin 200 km/saat veya yasal hız sınırları).
Örnek 9:
Bir bilim insanı, bir radyoaktif maddenin bozunma sürecini gözlemliyor. ☢️
Maddenin kalan miktarını (gram cinsinden) \( M(t) \) ve geçen süreyi (yıl cinsinden) \( t \) ile ifade eden bir model geliştiriyor:
\[ M(t) = 100 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^t \] Bu modelde \( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^t \) ifadesi, maddenin her yıl \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) katına düştüğünü göstermektedir.
a) Başlangıçta (yani \( t=0 \) anında) maddeden kaç gram vardır?
b) 2 yıl sonra maddeden kaç gram kalır?
c) Bu fonksiyonun tanım kümesi hakkında ne söyleyebilirsiniz?
Maddenin kalan miktarını (gram cinsinden) \( M(t) \) ve geçen süreyi (yıl cinsinden) \( t \) ile ifade eden bir model geliştiriyor:
\[ M(t) = 100 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^t \] Bu modelde \( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^t \) ifadesi, maddenin her yıl \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) katına düştüğünü göstermektedir.
a) Başlangıçta (yani \( t=0 \) anında) maddeden kaç gram vardır?
b) 2 yıl sonra maddeden kaç gram kalır?
c) Bu fonksiyonun tanım kümesi hakkında ne söyleyebilirsiniz?
Çözüm:
Karekök içeren üslü ifadeler ve bozunma modelleri, fen bilimlerinde sıkça karşımıza çıkar. ⚛️
-
a) Başlangıçta ( \( t=0 \) anında) madde miktarı:
\( t=0 \) değerini \( M(t) \) fonksiyonuna yerine koyalım.
- 👉 \( M(0) = 100 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^0 \)
- 👉 Herhangi bir sayının 0. kuvveti 1'dir. Yani \( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^0 = 1 \).
- 👉 \( M(0) = 100 \times 1 = 100 \)
-
b) 2 yıl sonra kalan madde miktarı:
\( t=2 \) değerini \( M(t) \) fonksiyonuna yerine koyalım.
- 👉 \( M(2) = 100 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \)
- 👉 \( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2} \)
- 👉 \( M(2) = 100 \times \frac{1}{2} = 50 \)
-
c) Fonksiyonun tanım kümesi hakkında yorum:
Zaman \( t \), geçmişe doğru gidemeyeceği için negatif olamaz. Bu tür bozunma modellerinde zaman genellikle sıfırdan başlar ve geleceğe doğru ilerler.
- 👉 Bu nedenle, \( t \ge 0 \) olmalıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-karekok-ve-rasyonel-referans-fonksiyonlari/sorular