🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karesel, Karekök Ve Rasyonel Fonksiyonların Niteliksel Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karesel, Karekök Ve Rasyonel Fonksiyonların Niteliksel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Karesel Fonksiyonlarda Tepe Noktası ve Yön
Aşağıda verilen \(f(x) = -2x^2 + 8x - 5\) karesel fonksiyonunun tepe noktasının koordinatlarını bulunuz ve kollarının yönünü belirtiniz.
Aşağıda verilen \(f(x) = -2x^2 + 8x - 5\) karesel fonksiyonunun tepe noktasının koordinatlarını bulunuz ve kollarının yönünü belirtiniz.
Çözüm:
Bu bir karesel fonksiyondur ve genel formu \(f(x) = ax^2 + bx + c\) şeklindedir. Burada \(a = -2\), \(b = 8\) ve \(c = -5\)'tir.
- 👉 Kolların Yönü:
Karesel fonksiyonlarda kolların yönünü belirleyen katsayı \(a\)'dır. Eğer \(a > 0\) ise kollar yukarıya, \(a < 0\) ise kollar aşağıya doğrudur. Bizim fonksiyonumuzda \(a = -2\) olduğu için \(a < 0\)'dır. Bu nedenle, parabolün kolları aşağıya doğru olacaktır. 👇 - 👉 Tepe Noktası Koordinatları:
Tepe noktasının koordinatları \(T(r, k)\) şeklinde gösterilir. Tepe noktasının apsisi \(r\), \(r = -\frac{b}{2a}\) formülü ile bulunur.
\[ r = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \] Tepe noktasının ordinatı \(k\), \(k = f(r)\) formülü ile bulunur. Yani \(x\) yerine \(r\) değerini yazarak \(k\)'yi buluruz.
\[ k = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 5 \] \[ k = -2(4) + 16 - 5 \] \[ k = -8 + 16 - 5 \] \[ k = 8 - 5 \] \[ k = 3 \] Buna göre, fonksiyonun tepe noktasının koordinatları \(T(2, 3)\)'tür. ✅
Örnek 2:
💡 Karesel Fonksiyonlarda Eksenleri Kesen Noktalar
\(f(x) = x^2 - 4x + 3\) fonksiyonunun koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulunuz ve bu noktaları kullanarak grafik taslağını çizin (çizim yerine noktaları belirtin).
\(f(x) = x^2 - 4x + 3\) fonksiyonunun koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulunuz ve bu noktaları kullanarak grafik taslağını çizin (çizim yerine noktaları belirtin).
Çözüm:
- 👉 \(y\)-eksenini Kestiği Nokta:
Bir fonksiyonun \(y\)-eksenini kestiği noktayı bulmak için \(x = 0\) yazılır.
\[ f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 \] \[ f(0) = 3 \] Buna göre, fonksiyon \(y\)-eksenini \((0, 3)\) noktasında keser. - 👉 \(x\)-eksenini Kestiği Noktalar (Kökler):
Bir fonksiyonun \(x\)-eksenini kestiği noktaları bulmak için \(f(x) = 0\) eşitliği çözülür.
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz:
\[ (x-1)(x-3) = 0 \] Buradan \(x-1 = 0 \implies x = 1\) ve \(x-3 = 0 \implies x = 3\) bulunur.
Buna göre, fonksiyon \(x\)-eksenini \((1, 0)\) ve \((3, 0)\) noktalarında keser. - 👉 Grafik Taslağı İçin Ek Bilgi (İsteğe Bağlı Tepe Noktası):
Kolların yönü \(a=1 > 0\) olduğu için yukarı doğrudur. Tepe noktası \(r = -\frac{-4}{2(1)} = 2\)'dir. \(k = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\). Yani tepe noktası \((2, -1)\)'dir. - ✅ Sonuç:
Fonksiyon \(y\)-eksenini \((0, 3)\) noktasında, \(x\)-eksenini ise \((1, 0)\) ve \((3, 0)\) noktalarında keser. Kollar yukarıya doğru, tepe noktası \((2, -1)\) olan bir paraboldür.
Örnek 3:
🌳 En Büyük Alan Problemi
Bir çiftçi, elindeki 40 metre tel ile dikdörtgen şeklinde bir bahçe çevirmek istiyor. Bahçenin bir kenarı zaten mevcut bir duvar olduğu için, bu kenara tel çekmeyecektir. Çiftçinin bu bahçe için elde edebileceği en büyük alan kaç metrekaredir?
Bir çiftçi, elindeki 40 metre tel ile dikdörtgen şeklinde bir bahçe çevirmek istiyor. Bahçenin bir kenarı zaten mevcut bir duvar olduğu için, bu kenara tel çekmeyecektir. Çiftçinin bu bahçe için elde edebileceği en büyük alan kaç metrekaredir?
Çözüm:
Bu problem, karesel fonksiyonların maksimum değerini bulma uygulamasıdır.
- 👉 Değişkenleri Tanımlama:
Dikdörtgenin duvar olmayan iki kenarına \(x\) diyelim. Duvara paralel olan kenara ise \(y\) diyelim. - 👉 Çevre ve Alan İlişkisi:
Çiftçi 40 metre tel kullanacak ve bir kenar duvar olduğu için telin toplam uzunluğu \(2x + y = 40\) olacaktır.
Bahçenin alanı \(A = x \cdot y\) ile hesaplanır. - 👉 Alanı Tek Değişkene Bağlama:
Çevre denkleminden \(y\)'yi çekip alan denkleminde yerine yazalım:
\(2x + y = 40 \implies y = 40 - 2x\)
Şimdi bu ifadeyi alan denkleminde yerine koyalım:
\[ A(x) = x \cdot (40 - 2x) \] \[ A(x) = 40x - 2x^2 \] Bu ifadeyi düzenlersek, \(A(x) = -2x^2 + 40x\) şeklinde bir karesel fonksiyon elde ederiz. - 👉 Maksimum Alanı Bulma:
Karesel fonksiyonlarda \(a < 0\) ise (burada \(a = -2\)), fonksiyonun bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, parabolün tepe noktasının ordinatıdır.
Tepe noktasının apsisi \(r = -\frac{b}{2a}\) formülü ile bulunur:
\[ r = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = -\frac{40}{-4} = 10 \] Bu \(x\) değeri, bahçenin en büyük alana sahip olması için kenar uzunluğu olmalıdır. Şimdi bu \(x\) değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak maksimum alanı bulalım:
\[ A(10) = -2(10)^2 + 40(10) \] \[ A(10) = -2(100) + 400 \] \[ A(10) = -200 + 400 \] \[ A(10) = 200 \] Buna göre, çiftçinin elde edebileceği en büyük alan 200 metrekaredir. ✅
Örnek 4:
⚽ Futbol Topunun Yüksekliği
Bir futbolcu topa vurduğunda, topun yerden yüksekliği (metre cinsinden) zaman \(t\) (saniye cinsinden) ile \(h(t) = -5t^2 + 20t\) fonksiyonu ile modellenmektedir.
Bu topun yerden maksimum yüksekliği kaç metre olur ve bu yüksekliğe kaç saniye sonra ulaşır?
Bir futbolcu topa vurduğunda, topun yerden yüksekliği (metre cinsinden) zaman \(t\) (saniye cinsinden) ile \(h(t) = -5t^2 + 20t\) fonksiyonu ile modellenmektedir.
Bu topun yerden maksimum yüksekliği kaç metre olur ve bu yüksekliğe kaç saniye sonra ulaşır?
Çözüm:
Bu problem, bir nesnenin dikey atış hareketini modelleyen karesel fonksiyonun maksimum değerini bulma uygulamasıdır.
- 👉 Fonksiyonu Analiz Etme:
Verilen fonksiyon \(h(t) = -5t^2 + 20t\) bir karesel fonksiyondur. Burada \(a = -5\), \(b = 20\) ve \(c = 0\)'dır. \(a = -5 < 0\) olduğu için, parabolün kolları aşağıya doğrudur ve bu fonksiyonun bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, topun ulaşabileceği en yüksek noktadır. - 👉 Maksimum Yüksekliğe Ulaşma Zamanı:
Maksimum yüksekliğe ulaşıldığı an, parabolün tepe noktasının apsisi \(t\) değeridir. Bu değeri \(r = -\frac{b}{2a}\) formülü ile buluruz:
\[ t = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \] Buna göre, top 2 saniye sonra maksimum yüksekliğe ulaşır. - 👉 Maksimum Yükseklik:
Topun ulaştığı maksimum yükseklik, tepe noktasının ordinatı \(h(t)\) değeridir. Bunu bulmak için \(t=2\) değerini fonksiyonumuzda yerine yazalım:
\[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) \] \[ h(2) = -5(4) + 40 \] \[ h(2) = -20 + 40 \] \[ h(2) = 20 \] Buna göre, topun yerden ulaşabileceği maksimum yükseklik 20 metredir. ✅
Örnek 5:
📝 Karekök Fonksiyonun Tanım Kümesi
\(f(x) = \sqrt{3x - 12}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
\(f(x) = \sqrt{3x - 12}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Karekök fonksiyonlarında, karekök içerisindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, karekök içerisindeki ifade sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.
- 👉 Eşitsizliği Kurma:
Fonksiyonumuz \(f(x) = \sqrt{3x - 12}\) olduğuna göre, karekök içerisindeki ifade \(3x - 12\)'dir. Bu ifadeyi sıfıra eşit veya sıfırdan büyük yapmalıyız:
\[ 3x - 12 \ge 0 \] - 👉 Eşitsizliği Çözme:
Şimdi bu basit eşitsizliği çözelim:
\[ 3x \ge 12 \] Her iki tarafı 3'e bölelim:
\[ x \ge \frac{12}{3} \] \[ x \ge 4 \] - ✅ Tanım Kümesi:
Buna göre, fonksiyonun en geniş tanım kümesi \([4, \infty)\) aralığıdır. Yani \(x\) değeri 4'e eşit veya 4'ten büyük tüm reel sayılar için fonksiyon tanımlıdır.
Örnek 6:
📈 Karekök Fonksiyonun Değer Aralığı ve Başlangıç Noktası
\(f(x) = 1 + \sqrt{x - 3}\) fonksiyonunun tanım kümesini ve değer aralığını bulunuz. Ayrıca, grafiğinin başlangıç noktasını belirtiniz.
\(f(x) = 1 + \sqrt{x - 3}\) fonksiyonunun tanım kümesini ve değer aralığını bulunuz. Ayrıca, grafiğinin başlangıç noktasını belirtiniz.
Çözüm:
Karekök fonksiyonları için tanım kümesi ve değer aralığı önemlidir.
- 👉 Tanım Kümesi:
Karekök içerisindeki ifade negatif olamaz. Bu nedenle \(x - 3 \ge 0\) olmalıdır.
\[ x - 3 \ge 0 \] \[ x \ge 3 \] Fonksiyonun tanım kümesi \([3, \infty)\)'dur. - 👉 Grafiğin Başlangıç Noktası:
Karekök içerisindeki ifadeyi sıfır yapan \(x\) değeri, grafiğin başlangıç noktasının apsisidir. \(x - 3 = 0 \implies x = 3\). Bu \(x\) değerini fonksiyonda yerine yazarak başlangıç noktasının ordinatını bulalım:
\[ f(3) = 1 + \sqrt{3 - 3} \] \[ f(3) = 1 + \sqrt{0} \] \[ f(3) = 1 + 0 \] \[ f(3) = 1 \] Buna göre, grafiğin başlangıç noktası \((3, 1)\)'dir. - 👉 Değer Aralığı:
Karekök fonksiyonunun değeri asla negatif olamaz, yani \(\sqrt{x - 3} \ge 0\)'dır. Fonksiyonumuz \(f(x) = 1 + \sqrt{x - 3}\) olduğuna göre, en küçük değeri \(\sqrt{x - 3}\) ifadesinin 0 olduğu durumda alır. Yani \(f(x) \ge 1 + 0 \implies f(x) \ge 1\).
\(x\) büyüdükçe \(\sqrt{x - 3}\) de büyüyeceği için \(f(x)\) de sonsuza doğru gidecektir.
Bu nedenle, fonksiyonun değer aralığı \([1, \infty)\)'dur. ✅
Örnek 7:
🔍 Rasyonel Fonksiyonun Tanım Kümesi
\(f(x) = \frac{x + 5}{x - 4}\) rasyonel fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
\(f(x) = \frac{x + 5}{x - 4}\) rasyonel fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Rasyonel fonksiyonlarda, paydanın sıfır olması durumunda fonksiyon tanımsız olur. Bu nedenle, paydanın sıfır olmamasını sağlamalıyız.
- 👉 Paydayı Sıfır Yapan Değeri Bulma:
Fonksiyonumuz \(f(x) = \frac{x + 5}{x - 4}\) olduğuna göre, payda \(x - 4\)'tür. Paydayı sıfır yapan değeri bulmak için \(x - 4 = 0\) denklemini çözelim:
\[ x - 4 = 0 \] \[ x = 4 \] Bu durumda \(x = 4\) değeri için fonksiyon tanımsızdır. - ✅ Tanım Kümesi:
Fonksiyon, \(x = 4\) dışındaki tüm reel sayılar için tanımlıdır. Bu durumu matematiksel olarak \(R \setminus \{4\}\) şeklinde ifade ederiz. Yani "reel sayılar kümesinden 4 sayısını çıkar".
Örnek 8:
🏭 Ortalama Üretim Maliyeti
Bir fabrikada üretilen \(x\) adet ürünün toplam maliyeti (TL cinsinden) \(M(x) = 200 + 10x\) fonksiyonu ile verilmektedir. Bu ürünlerin ortalama maliyeti ise \(O(x) = \frac{M(x)}{x}\) fonksiyonu ile hesaplanır.
Buna göre, ortalama maliyet fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Bu tanım kümesinin günlük hayattaki anlamını açıklayınız.
Bir fabrikada üretilen \(x\) adet ürünün toplam maliyeti (TL cinsinden) \(M(x) = 200 + 10x\) fonksiyonu ile verilmektedir. Bu ürünlerin ortalama maliyeti ise \(O(x) = \frac{M(x)}{x}\) fonksiyonu ile hesaplanır.
Buna göre, ortalama maliyet fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Bu tanım kümesinin günlük hayattaki anlamını açıklayınız.
Çözüm:
Bu problem, rasyonel fonksiyonların tanım kümesinin günlük hayattaki uygulamasıdır.
- 👉 Ortalama Maliyet Fonksiyonunu Oluşturma:
Toplam maliyet fonksiyonu \(M(x) = 200 + 10x\)'tir.
Ortalama maliyet fonksiyonu \(O(x) = \frac{M(x)}{x}\) olduğuna göre, \(M(x)\)'i yerine yazalım:
\[ O(x) = \frac{200 + 10x}{x} \] - 👉 Tanım Kümesini Bulma:
Rasyonel fonksiyonlarda payda sıfır olamaz. Burada payda \(x\)'tir. Bu nedenle, \(x \neq 0\) olmalıdır. - 👉 Günlük Hayattaki Anlamı:
\(x\), üretilen ürün adedini temsil etmektedir. Ürün adedi negatif olamayacağı gibi, 0 adet ürün üretmek de ortalama maliyet kavramı için anlamsızdır (0 ürünü 0'a bölme durumu). Bu nedenle, \(x\) değeri pozitif bir tam sayı olmalıdır. - ✅ Tanım Kümesi ve Anlamı:
Matematiksel olarak ortalama maliyet fonksiyonunun en geniş tanım kümesi \(R \setminus \{0\}\)'dır. Ancak, günlük hayatta ürün adedi \(x\) pozitif bir tam sayı olmak zorundadır. Yani \(x \in \mathbb{Z}^+\) (pozitif tam sayılar) olmalıdır. Bu, hiç ürün üretilmediğinde ortalama maliyetin hesaplanamayacağı veya negatif sayıda ürün üretilemeyeceği anlamına gelir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karesel-karekok-ve-rasyonel-fonksiyonlarin-niteliksel-ozellikleri/sorular