💡 10. Sınıf Matematik: Karesel karekök ve rasyonel fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Karesel karekök, bir sayının karesini aldığımızda elde ettiğimiz sayının orijinal sayısını bulma işlemidir. Karekök sembolü \( \sqrt{} \) ile gösterilir. a) \( \sqrt{64} \) : Hangi sayının karesi 64 eder? Bu sayı 8'dir. Çünkü \( 8^2 = 64 \). ✅ Sonuç: \( \sqrt{64} = 8 \) b) \( \sqrt{121} \) : Hangi sayının karesi 121 eder? Bu sayı 11'dir. Çünkü \( 11^2 = 121 \). ✅ Sonuç: \( \sqrt{121} = 11 \) c) \( \sqrt{0.25} \) : Hangi sayının karesi 0.25 eder? Bu sayı 0.5'tir. Çünkü \( (0.5)^2 = 0.25 \). ✅ Sonuç: \( \sqrt{0.25} = 0.5 \)

Matematikte, reel sayılar kümesinde negatif bir sayının karekökü tanımsızdır. Bunun nedeni, hiçbir reel sayının karesinin negatif olmamasıdır. Bir sayının karesi her zaman pozitif veya sıfırdır. 📌 Örneğin, \( \sqrt{-9} \) ifadesi reel sayılar kümesinde bir çözüme sahip değildir. 👉 Eğer karmaşık sayılar kümesine geçersek, \( \sqrt{-1} \) için \( i \) gibi sanal birimler tanımlanır. Ancak 10. Sınıf müfredatında reel sayılarla çalışılır. ✅ Sonuç: Negatif sayıların reel sayılar kümesinde karekökü alınamaz.

Karekök tanımından dolayı, \( \sqrt{x^2} = |x| \) şeklinde ifade edilir. Bu, \( \sqrt{x^2} \)'nin her zaman \( x \)'in mutlak değerine eşit olduğu anlamına gelir. Mutlak değer, sayının işaretinden bağımsız olarak pozitif değerini verir. * Eğer \( a \ge 0 \) ise, \( |a| = a \) olur. Bu durumda \( \sqrt{a^2} = a \) olur. * Eğer \( a < 0 \) ise, \( |a| = -a \) olur. Bu durumda \( \sqrt{a^2} = -a \) olur. 💡 Özetle: * \( a \) pozitif veya sıfır ise \( \sqrt{a^2} = a \) * \( a \) negatif ise \( \sqrt{a^2} = -a \)

Bir rasyonel fonksiyonun paydası asla sıfır olamaz. Bu nedenle, fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş aralığı bulmak için paydanın sıfır olmadığı değerleri belirlemeliyiz. 1. Paydayı sıfıra eşitleyelim: \( x-2 = 0 \) 2. Bu denklemi çözelim: \( x = 2 \) Bu, \( x=2 \) değeri için fonksiyonun tanımsız olacağı anlamına gelir. Diğer tüm reel sayılar için fonksiyon tanımlıdır. ✅ Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} - \{2\} \) veya \( (-\infty, 2) \cup (2, \infty) \)

Rasyonel fonksiyonun paydası sıfır olmamalıdır. Paydayı sıfıra eşitleyerek fonksiyonun tanımsız olduğu noktaları bulalım. 1. Paydayı sıfıra eşitleyelim: \( x^2 - 9 = 0 \) 2. Bu denklemi çözelim: * \( x^2 = 9 \) * Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( x = \sqrt{9} \) veya \( x = -\sqrt{9} \) * Yani, \( x = 3 \) veya \( x = -3 \) Bu değerler için fonksiyon tanımsızdır. Diğer tüm reel sayılar için fonksiyon tanımlıdır. ✅ Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} - \{-3, 3\} \) veya \( (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, \infty) \)

Karenin alanı formülü \( A = a^2 \) olarak verilmiştir. Bize alanın \( 36 \, m^2 \) olduğu söyleniyor. Kenar uzunluğunu bulmak için bu bilgiyi kullanacağız. 1. Formülde verilen alan değerini yerine koyalım: \( 36 = a^2 \) 2. Kenar uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{36} = \sqrt{a^2} \) 3. Karekök alma işlemini yapalım: \( 6 = |a| \) 4. Kenar uzunluğu negatif olamayacağı için \( a \) pozitif olmalıdır. Bu durumda \( |a| = a \) olur. ✅ Sonuç: \( a = 6 \) metre. Karenin bir kenar uzunluğu 6 metredir.

Bu problem, toplam alanı ve her bir parselin alanını kullanarak kaç parsel elde edileceğini bulmayı gerektirir. 1. Toplam tarla alanını belirleyelim: \( \text{Toplam Alan} = 100 \, m^2 \) 2. Her bir parselin alanını belirleyelim: \( \text{Parsel Alanı} = 25 \, m^2 \) 3. Elde edilecek parsel sayısını bulmak için toplam alanı bir parselin alanına bölelim: \( \text{Parsel Sayısı} = \frac{\text{Toplam Alan}}{\text{Parsel Alanı}} \) 4. Değerleri yerine koyalım: \( \text{Parsel Sayısı} = \frac{100 \, m^2}{25 \, m^2} \) 5. Bölme işlemini yapalım: \( \text{Parsel Sayısı} = 4 \) 💡 Bu hesaplamada, her bir parselin kare şeklinde olması ve toplam alanın bu parsellere tam olarak bölünmesi varsayılmıştır. ✅ Sonuç: Çiftçi 4 adet parsel elde edebilir.

Bu fonksiyonun tanımlı olabilmesi için iki koşulun aynı anda sağlanması gerekir: 1. Karekök içindeki ifade negatif olmamalıdır: \( x-3 \ge 0 \) 2. Payda sıfır olmamalıdır: \( x-5 \ne 0 \) Şimdi bu koşulları ayrı ayrı inceleyelim: 1. Karekök koşulu: * \( x-3 \ge 0 \) * \( x \ge 3 \) Bu, \( x \) değerlerinin 3'ten büyük veya 3'e eşit olması gerektiğini gösterir. Yani, \( [3, \infty) \) aralığı. 2. Payda koşulu: * \( x-5 \ne 0 \) * \( x \ne 5 \) Bu, \( x \) değerinin 5 olamayacağını gösterir. Şimdi bu iki koşulu birleştirelim. \( x \) hem 3'ten büyük veya eşit olmalı hem de 5'ten farklı olmalıdır. * \( x \ge 3 \) aralığını düşünelim: \( [3, \infty) \) * Bu aralıktan 5'i çıkarmamız gerekiyor. ✅ Tanım Kümesi: \( [3, 5) \cup (5, \infty) \)